énoncé

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Ecole Normale Sup´erieure Topologie, analyse et calcul diff´erentiel
20 novembre 2014
Feuille d’exercices no8
Exercice 1 : propri´et´e de Banach-Saks
Soit Hun espace de Hilbert.
Soit (un)n∈Nune suite born´ee d’´el´ements de H.
Montrer qu’il existe une extraction φ:N→Ntelle que, si on pose :
vN=uφ(0) +... +uφ(N−1)
N∀N∈N∗
alors la suite (vN)N∈Nest convergente.
Exercice 2 : fonction `a d´eriv´ees successives prescrites
On rappelle que le support d’une fonction f:R→Rest l’adh´erence de f−1(R− {0}). Dans
cet exercice, on souhaite montrer le r´esultat suivant, dˆu `a Borel :
Soient (cn)n∈Nune suite de r´eels et Iun voisinage ouvert de 0 dans R. Il existe
f∈ C∞(R), `a support dans I, tel que : ∀n∈N, f (n)(0) = cn.
1. Montrer qu’il existe une fonction ϕ∈ C∞(R), `a support dans ] −1,1[, qui vaut 1 au voisinage
de 0.
2. On introduit, pour εnsuffisamment petit pour que ] −εn, εn[⊂I, la fonction
gn(x) = cnϕÇx
εnåxn n!.
Montrer que si εnest assez petit, on a 
g(α)
n(x)
≤2−nsur R,pour tout α∈ {0, . . . , n −1}.
3. Conclure, en utilisant la fonction f(x) := +∞
P
n=0 gn(x).
Exercice 3 : un th´eor`eme de Whitney
Soit Fun ferm´e de Rn. Un th´eor`eme de Whitney ´etablit que Fest le lieu des z´eros d’une
fonctions r´eelle de classe C∞, c’est-`a-dire qu’il existe une fonction f:Rn→Rde classe C∞telle
que F=f−1({0}).
1. Montrer qu’il existe une famille d´enombrable de boules (Bi)i∈Net d’applications fi∈ C∞(Rn,R)
telles que F=Rn−S
i∈N
Biet, pour tout i∈N:
{x∈Rntq fi(x) = 0}=Rn−Bi
2. Construire l’application recherch´ee `a partir des fi.
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Exercice 4 : isom´etries de Rn
On munit Rnde sa norme euclidienne. Rappelons que f:Rn→Rnest une isom´etrie si, pour
tous x, y ∈Rn, on a ||f(y)−f(x)|| =||y−x||.
Soit fune application de classe C2de Rndans lui-mˆeme. On va montrer que fest une isom´etrie
si et seulement si sa diff´erentielle est une isom´etrie en tout point.
1. Si fest une isom´etrie, d´emontrer que sa diff´erentielle l’est ´egalement.
2. ` A partir de maintenant, on suppose que la diff´erentielle de fest une isom´etrie en tout point.
Montrer que, pour tous h, k, l ∈Rnet pour tout x∈Rn, on a :
hd(2)f(x).(h, l), df(x).ki+hdf(x).h, d(2)f(x).(k, l)i= 0
3. On note g(h, k, l) = hd(2)f(x).(h, l), df(x).ki. D´eduire de la question pr´ec´edente que g(h, k, l) =
−g(k, h, l) puis montrer que g(h, k, l) = 0.
4. Conclure.
Exercice 5 : th´eor`eme de Lax-Milgram
Soit Hun espace de Hilbert.
Soit a:H×H→Rune application bilin´eaire continue. On suppose que aest coercive,
c’est-`a-dire qu’il existe c > 0 tel que :
∀x∈H, a(x, x)≥c||x||2
On va montrer que, pour toute forme lin´eaire continue φ∈H0, il existe un unique u∈Htel
que :
∀v∈H, a(u, v) = φ(v)
1. Montrer que si uexiste, il est n´ecessairement unique.
2. a) Montrer qu’il existe une application lin´eaire et continue A:H→Htelle que, pour tous
u, v ∈H:
a(u, v) = hA(u), vi
b) Montrer qu’il existe γ > 0 tel que :
∀u∈H, ||A(u)|| ≥ γ||u||
c) Montrer que l’image de Aest ferm´ee dans H.
d) Montrer que Aest surjective et conclure.
Exercice 6 : op´erateurs compacts
Soient E, F deux espaces de Banach. On dit qu’une application lin´eaire continue u:E→F
est compacte si l’image par ude la boule unit´e de Eest d’adh´erence compacte dans F.
1. a) Montrer que tout op´erateur de rang fini est compact.
b) Soit u∈ Lc(E, F ). Montrer que s’il existe une suite (un)n∈Nd’op´erateurs de rang fini telle
que ||u−un|| → 0, alors uest compact.
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2. Pour u∈ Lc(E, F ), on d´efinit l’adjoint de u, qu’on note u∗, par :
u∗:F0→E0
l→l◦u
(o`u E0(resp. F0) d´esigne le dual topologique de E(resp. F), c’est-`a-dire l’ensemble des formes
lin´eaires continues sur E(resp. F))
Dans cette question, on suppose que uest compact et on montre que u∗l’est aussi.
a) Posons K=u(BE(0,1)) ⊂F.
Soit i:F0→ C(K, R) l’application qui `a une fonction lassocie l|K. Montrer qu’il existe une
isom´etrie entre i(B0
F(0,1)) et u∗(BF0(0,1)).
b) En d´eduire que u∗(BF0(0,1)) est pr´ecompacte, puis que u∗est compact.
3. On suppose maintenant que u∗est compact et on montre que uest compact.
a) Montrer que u∗∗ :E00 →F00 est compact.
b) On note JE:E→E00 l’application telle que JE(x)(l) = l(x) pour tous x∈E, l ∈E0. On
d´efinit de mˆeme JF:F→F00. On a vu la semaine derni`ere que JEet JF´etaient des isom´etries
vers leurs images.
Montrer que u∗∗ ◦JE=JF◦u.
c) Conclure.
4. On suppose maintenant E=F.
a) Montrer que si uest compact, alors Ker (IdE−u) est de dimension finie.
[Indication : penser `a un th´eor`eme de Riesz.]
b) Montrer que Im (IdE−u) est ferm´ee.
[Indication : montrer qu’il existe α > 0 tel que, pour tout y∈(Ker (IdE−u))⊥, on ait ||(IdE−
u)(y)|| ≥ α||y||.]
c) Montrer que {l∈E0tq l(x) = 0 pour tout x∈Im (IdE−u)}= Ker (IdE0−u∗).
d) En d´eduire que Im (IdE−u) est de codimension finie.
[Remarque : on peut d’ailleurs d´emontrer que la dimension de Ker (IdE−u) et la codimension
de Im (IdE−u) sont ´egales.]
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