Exercice 4 : isom´etries de Rn
On munit Rnde sa norme euclidienne. Rappelons que f:Rn→Rnest une isom´etrie si, pour
tous x, y ∈Rn, on a ||f(y)−f(x)|| =||y−x||.
Soit fune application de classe C2de Rndans lui-mˆeme. On va montrer que fest une isom´etrie
si et seulement si sa diff´erentielle est une isom´etrie en tout point.
1. Si fest une isom´etrie, d´emontrer que sa diff´erentielle l’est ´egalement.
2. `
A partir de maintenant, on suppose que la diff´erentielle de fest une isom´etrie en tout point.
Montrer que, pour tous h, k, l ∈Rnet pour tout x∈Rn, on a :
hd(2)f(x).(h, l), df(x).ki+hdf(x).h, d(2)f(x).(k, l)i= 0
3. On note g(h, k, l) = hd(2)f(x).(h, l), df(x).ki. D´eduire de la question pr´ec´edente que g(h, k, l) =
−g(k, h, l) puis montrer que g(h, k, l) = 0.
4. Conclure.
Exercice 5 : th´eor`eme de Lax-Milgram
Soit Hun espace de Hilbert.
Soit a:H×H→Rune application bilin´eaire continue. On suppose que aest coercive,
c’est-`a-dire qu’il existe c > 0 tel que :
∀x∈H, a(x, x)≥c||x||2
On va montrer que, pour toute forme lin´eaire continue φ∈H0, il existe un unique u∈Htel
que :
∀v∈H, a(u, v) = φ(v)
1. Montrer que si uexiste, il est n´ecessairement unique.
2. a) Montrer qu’il existe une application lin´eaire et continue A:H→Htelle que, pour tous
u, v ∈H:
a(u, v) = hA(u), vi
b) Montrer qu’il existe γ > 0 tel que :
∀u∈H, ||A(u)|| ≥ γ||u||
c) Montrer que l’image de Aest ferm´ee dans H.
d) Montrer que Aest surjective et conclure.
Exercice 6 : op´erateurs compacts
Soient E, F deux espaces de Banach. On dit qu’une application lin´eaire continue u:E→F
est compacte si l’image par ude la boule unit´e de Eest d’adh´erence compacte dans F.
1. a) Montrer que tout op´erateur de rang fini est compact.
b) Soit u∈ Lc(E, F ). Montrer que s’il existe une suite (un)n∈Nd’op´erateurs de rang fini telle
que ||u−un|| → 0, alors uest compact.
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