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Ecole Normale Sup´erieure Topologie, analyse et calcul diff´erentiel
20 novembre 2014
Feuille d’exercices no8
Exercice 1 : propri´et´e de Banach-Saks
Soit Hun espace de Hilbert.
Soit (un)nNune suite born´ee d’´el´ements de H.
Montrer qu’il existe une extraction φ:NNtelle que, si on pose :
vN=uφ(0) +... +uφ(N1)
NNN
alors la suite (vN)NNest convergente.
Exercice 2 : fonction `a d´eriv´ees successives prescrites
On rappelle que le support d’une fonction f:RRest l’adh´erence de f1(R− {0}). Dans
cet exercice, on souhaite montrer le r´esultat suivant, dˆu `a Borel :
Soient (cn)nNune suite de r´eels et Iun voisinage ouvert de 0 dans R. Il existe
f∈ C(R), `a support dans I, tel que : nN, f (n)(0) = cn.
1. Montrer qu’il existe une fonction ϕ∈ C(R), `a support dans ] 1,1[, qui vaut 1 au voisinage
de 0.
2. On introduit, pour εnsuffisamment petit pour que ] εn, εn[I, la fonction
gn(x) = cnϕÇx
εnåxn
n!.
Montrer que si εnest assez petit, on a
g(α)
n(x)
2nsur R,pour tout α∈ {0, . . . , n 1}.
3. Conclure, en utilisant la fonction f(x) := +
P
n=0 gn(x).
Exercice 3 : un th´eor`eme de Whitney
Soit Fun ferm´e de Rn. Un th´eor`eme de Whitney ´etablit que Fest le lieu des z´eros d’une
fonctions r´eelle de classe C, c’est-`a-dire qu’il existe une fonction f:RnRde classe Ctelle
que F=f1({0}).
1. Montrer qu’il existe une famille d´enombrable de boules (Bi)iNet d’applications fi∈ C(Rn,R)
telles que F=RnS
iN
Biet, pour tout iN:
{xRntq fi(x) = 0}=RnBi
2. Construire l’application recherch´ee `a partir des fi.
1
Exercice 4 : isom´etries de Rn
On munit Rnde sa norme euclidienne. Rappelons que f:RnRnest une isom´etrie si, pour
tous x, y Rn, on a ||f(y)f(x)|| =||yx||.
Soit fune application de classe C2de Rndans lui-mˆeme. On va montrer que fest une isom´etrie
si et seulement si sa diff´erentielle est une isom´etrie en tout point.
1. Si fest une isom´etrie, d´emontrer que sa diff´erentielle l’est ´egalement.
2. `
A partir de maintenant, on suppose que la diff´erentielle de fest une isom´etrie en tout point.
Montrer que, pour tous h, k, l Rnet pour tout xRn, on a :
hd(2)f(x).(h, l), df(x).ki+hdf(x).h, d(2)f(x).(k, l)i= 0
3. On note g(h, k, l) = hd(2)f(x).(h, l), df(x).ki. D´eduire de la question pr´ec´edente que g(h, k, l) =
g(k, h, l) puis montrer que g(h, k, l) = 0.
4. Conclure.
Exercice 5 : th´eor`eme de Lax-Milgram
Soit Hun espace de Hilbert.
Soit a:H×HRune application bilin´eaire continue. On suppose que aest coercive,
c’est-`a-dire qu’il existe c > 0 tel que :
xH, a(x, x)c||x||2
On va montrer que, pour toute forme lin´eaire continue φH0, il existe un unique uHtel
que :
vH, a(u, v) = φ(v)
1. Montrer que si uexiste, il est n´ecessairement unique.
2. a) Montrer qu’il existe une application lin´eaire et continue A:HHtelle que, pour tous
u, v H:
a(u, v) = hA(u), vi
b) Montrer qu’il existe γ > 0 tel que :
uH, ||A(u)|| ≥ γ||u||
c) Montrer que l’image de Aest ferm´ee dans H.
d) Montrer que Aest surjective et conclure.
Exercice 6 : op´erateurs compacts
Soient E, F deux espaces de Banach. On dit qu’une application lin´eaire continue u:EF
est compacte si l’image par ude la boule unit´e de Eest d’adh´erence compacte dans F.
1. a) Montrer que tout op´erateur de rang fini est compact.
b) Soit u∈ Lc(E, F ). Montrer que s’il existe une suite (un)nNd’op´erateurs de rang fini telle
que ||uun|| → 0, alors uest compact.
2
2. Pour u∈ Lc(E, F ), on d´efinit l’adjoint de u, qu’on note u, par :
u:F0E0
llu
(o`u E0(resp. F0) d´esigne le dual topologique de E(resp. F), c’est-`a-dire l’ensemble des formes
lin´eaires continues sur E(resp. F))
Dans cette question, on suppose que uest compact et on montre que ul’est aussi.
a) Posons K=u(BE(0,1)) F.
Soit i:F0→ C(K, R) l’application qui `a une fonction lassocie l|K. Montrer qu’il existe une
isom´etrie entre i(B0
F(0,1)) et u(BF0(0,1)).
b) En d´eduire que u(BF0(0,1)) est pr´ecompacte, puis que uest compact.
3. On suppose maintenant que uest compact et on montre que uest compact.
a) Montrer que u∗∗ :E00 F00 est compact.
b) On note JE:EE00 l’application telle que JE(x)(l) = l(x) pour tous xE, l E0. On
d´efinit de mˆeme JF:FF00. On a vu la semaine derni`ere que JEet JF´etaient des isom´etries
vers leurs images.
Montrer que u∗∗ JE=JFu.
c) Conclure.
4. On suppose maintenant E=F.
a) Montrer que si uest compact, alors Ker (IdEu) est de dimension finie.
[Indication : penser `a un th´eor`eme de Riesz.]
b) Montrer que Im (IdEu) est ferm´ee.
[Indication : montrer qu’il existe α > 0 tel que, pour tout y(Ker (IdEu)), on ait ||(IdE
u)(y)|| ≥ α||y||.]
c) Montrer que {lE0tq l(x) = 0 pour tout xIm (IdEu)}= Ker (IdE0u).
d) En d´eduire que Im (IdEu) est de codimension finie.
[Remarque : on peut d’ailleurs d´emontrer que la dimension de Ker (IdEu) et la codimension
de Im (IdEu) sont ´egales.]
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