Polynômes - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 1
Feuille d’exercices sur les POLYNÔMES
Divers
Exercice 1 (Un vrai-faux)
1. Soit P∈R[X]. Si deg P>3, alors Padmet au moins une racine réelle.
2. Soit P∈R[X]. On a deg P(X2) = 2 deg P.
3. Soit Pet Qdans R[X]. Si Pet Qcoïncident en une infinité de valeurs, alors P=Q.
4. Soit fet gdes fonctions dérivables sur R. Si fet gcoïncident en une infinité de valeurs alors f=g.
5. Si P=X3−(1 + 3i)X2+ 2iX −2 alors la somme des racines de Pvaut 1 + 3i.
6. Soit P∈R[X]. Un réel aest racine double de Psi et seulement si aest racine simple de P′.
Exercice 2 (Deux équations) Déterminer les polynômes Pde K[X] tels que :
1. P(2X) = P2. P(X2) = (X2+ 1)P3. P−XP ′=X
Exercice 3 (Deux équations, mais plus dur) Déterminer les polynômes Pde K[X] tels que :
1. P(X+ 1) = P(X) (polynômes 1-périodiques). 2. (X−16)P(2X) = 16(X−1)P
Exercice 4 Existe-t-il un polynôme P∈R[X] tel que (les questions sont indépendantes) :
1. ∀n∈N, P (n) = n22. ∀n∈N, P (n) = n2+ (−1)n
3. ∀x∈R,ex=P(x) 4. ∀x∈]0,1[, P (x) = √x.
Exercice 5
1. Résultat préliminaire : soit P∈Z[X], démontrer que pour tout entier xet y,x−ydivise P(x)−P(y)
(interprétation graphique : le taux d’accroissement de Pentre deux entiers est encore un entier).
2. Déterminer les polynômes à coefficients entiers tels qu’il existe des entiers relatifs deux à deux distincts
a, b, c, d vérfiant P(a) = P(b) = P(c) = 3 et P(d) = 4.
Exercice 6 (Une version «réelle» de D’Alembert Gauss) Soit Pune fonction polynomiale sur Rde de-
gré impair.
1. Démontrer que Ps’annule au moins une fois.
2. Le résultat reste-il vrai si le degré de Pest pair ?
Divisibilité
Exercice 7 (Un autre vrai-faux)
1. Les diviseurs du polynôme Xsont les polynômes λX avec λ∈K.
2. Soit Aet Bdans K[X] tels que Adivise Bet Bdivise A. A-t-on A=B?
3. Soit Aet Bdans K[X] tels que Adivise B. Alors deg A6deg B.
4. Un polynôme de K[X] qui admet une racine n’est pas irréductible.
5. Un polynôme de R[X] qui n’admet pas de racine dans Rest irréductible.
6. Un polynôme de K[X] de degré 2 ou 3 qui n’admet pas de racine est irréductible.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 2
7. Le polynôme X2−2 est irréductible dans Q[X].
Exercice 8 (Polynômes inversibles ) Un polynôme Ade K[X] est dit inversible s’il existe un polynôme
B∈K[X] tel que AB = 1.
1. Déterminer les polynômes inversibles de K[X].
2. Soit Aet Bdeux polynômes de K[X] tels que A|Bet B|A. Que dire de Aet B?
Exercice 9 Le reste de la division euclidienne de Ppar X2−1 est X+ 1. Quels sont les restes de la division
de Ppar : a) X−1 b) X+ 1 ?
Exercice 10 Trouver le reste de la division euclidienne de Apar B
1. A= (X−2)n+ (X−1)n−2 et B=X2−3X+ 2 avec n>1.
2. A= (X−2)n+ (X−1)n−2 et B= (X−1)2avec n>2 (on pourra dériver et attention au cas n= 1).
Racines et factorisations
Exercice 11 Pour quelles valeurs de n, 1 + X+X2divise X2n+Xn+ 1 ?
Exercice 12 Factoriser dans Cpuis dans Rles polynômes suivants :
1. X3−3X−2 2. X4−4 3. X4+X2+ 1 4. X7−2X6+X−2 5. X6+ 1
Exercice 13 Déterminer les entiers naturels ntels que n4+ 4 est un nombre premier.
Exercice 14 Soit n∈N∗, factoriser le polynôme Pn= 1 + X
1+X(X+ 1) 2! +···+X(X+ 1) ...(X+n−1) n!.
Exercice 15 Soient θ∈Ret n∈N∗. Décomposer en produit de polynômes irréductibles dans C[X], puis dans
R[X] le polynôme
P=X2n−2Xncos(nθ) + 1.
Exercice 16 (Une application des relations coefficients racines) Le but de l’exercice est de résoudre le
système suivant :
(S)
x+y+z= 1
x2+y2+z2= 9
1
x+1 y+1 z= 1
.
Soit (x, y, z) une solution de (S). On pose P= (X−x)(X−y)(X−z)∈C[X].
1. Exprimer les quantités x2+y2+z2et 1
x+1 y+1 zà l’aide de σ1, σ2, σ3les fonctions symétriques élementaires
associées aux racines de P.
2. En déduire les valeurs de σ1, σ2, σ3.
3. Conclure.
Exercice 17 Déterminer tous les polynômes de degré 5 de R[X] ayant dans C[X] une racine double 1 −i√2.
Exercice 18 Déterminer tous les polynômes Ptels que :
P(2) = 6, P ′(2) = 1, P ′′(2) = 4 et ∀n>3, P (n)(2) = 0.
Exercice 19 Soit n>2 un entier. Déterminer les racines triples du polynôme
P=nXn+2 −(n+ 2)Xn+1 + (n+ 2)X−n.
Exercice 20 Soit n∈N. Démontrer que le polynôme Pn=
n
X
k=0
Xk
k!n’admet pas de racines multiples dans C.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 3
Exercices plus longs
Exercice 21 (Valeur exacte de cos 2π
5)On considère le polynôme P=X5−1 de R[X].
Le but de cet exercice 1est de déterminer la valeur exacte du réel α= cos 2π
5. On pose aussi β= cos 4π 5.
1. Décomposer dans R[X] le polynôme P.
2. Justifier que le polynôme X−1 divise le polynôme X5−1 et déterminer le quotient Q=X5−1
X−1. On
donnera l’expression développée du polynôme Q.
3. En déduire sans aucun calcul l’écriture factorisée de Qdans R[X].
4. Développer cette dernière expression, et en déduire la valeur des réels α+βet αβ.
5. En déduire la valeur exacte de α.
Exercice 22 Le but de l’exercice est de déterminer tous les polynômes P∈R[X] vérifiant
(X−1)P=XP (X−1).
Soit Pune solution du problème.
1. Déterminer une racine évidente de P
2. Démontrer que si a∈C∗est racine de P, alors a+ 1 est encore racine. En déduire que Pest scindé sur R.
3. Conclure
Exercice 23 (Polynôme interpolateur de Lagrange) Soit n∈N∗et x0< x1<··· < xndes réels. On
note Rn[X] l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.
Pour tout entier ide J0, nK, on définit le polynôme lipar :
li(X) =
n
Y
j=0
j6=i
X−xj
xi−xj
.
1. Un exemple : dans cette question uniquement, on prend n= 2.
(a) Écrire l0, l1et l2, puis donner la valeur des réels
l0(x0), l0(x1), l0(x2)
l1(x0), l1(x1), l1(x2)
l2(x0), l2(x1), l2(x2)
.
(b) On considère le polynôme L= 5l0−2l1+ 7l2. Que valent L(x0), L(x1) et L(x2) ?
2. Soit iet jdans J0, nK. Donner la valeur de li(xj).
3. Soit y0, y1,...,yndes réels.
(a) Déterminer à l’aide des polynômes liun polynôme Pde Rn[X] tel que :
∀i∈J0, nK, P (xi) = yi.
1. Nous savons que cos π
3=1 2et cos π 4=√2 2. Par la formule de duplication cos θ=1 2(1 + cos 2θ), on en déduit les valeurs
exactes de cos π
6,cos π 12 ...Peut-on calculer une valeur exacte de cos π 5? Il semble que oui puisque Maple renvoie √5+1 4. Cet exercice
propose une méthode de calcul de cos 2π
5à l’aide d’une factorisation sur Rdu polynôme X5−1.
Signalons enfin que la valeur exacte que l’on obtient pour cos 2π
5permet de construire à «la règle et au compas» un heptagone
régulier.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 4
(b) Démontrer l’unicité d’un tel polynôme. Un tel polynôme est appelé polynôme interpolateur de La-
grange.
Exercice 24 (Oral ⋆)Soit P∈R[X] tel que P(Q)⊂Q. Démontrer que P∈Q[X], c’est-à-dire que Pest à
coefficients rationnels (on pourra déterminer un polynôme L∈Q[X] tel que ∀i∈J0, nK, L(i) = P(i)).
Exercice 25 (Fonctions polynomiales injectives ou surjectives)
1. Démontrer que les fonctions polynomiales P:C→Csurjectives sont les fonctions polynomiales non
constantes.
2. Soit P:C→Cune fonction polynomiale injective.
(a) Que dire du nombre de racines de P?
(b) Démontrer que pour tout n>2 et a∈C, la fonction z7→ (z−a)nn’est pas injective puis conclure.
Exercice 26 (Oral ⋆Polynômes positifs) Soit P∈R[X] tel que ∀x∈R, P (x)>0. Le but de l’exercice
est de démontrer qu’il existe des polynômes Aet Bde R[X] tels que P=A2+B2.
1. Démontrer le résultat lorsque Pest un polynôme irréductible sur Rde degré 2.
2. Soit αune réelle de Pde multiplicité r>1. Justifier que l’on a P(x)∼
x→αK(x−α)ravec K∈R. En
déduire que rest pair.
3. Soit a, b, c, d des réels. Démontrer que (a2+b2)(c2+d2) est encore une somme de deux carrés de réels.
4. Conclure.
Exercice 27 (Une factorisation délicate) Soit n∈N∗, on pose P= (X+ 1)n−(X−1)n.
1. Déterminer le degré de Pet préciser son coefficient dominant.
2. Justifier que la fonction cotan : x7→ cos x
sin xest injective sur ]0, π[.
3. Démontrer que les racines complexes de Psont les nombres
γk=−icotan kπ
n, k ∈ {1,...,n−1}.
4. Représenter graphiquement ces racines, on distinguera les cas npair et nimpair.
5. En déduire avec soin une factorisation de Pdans R[X].
6. On considère les deux fonctions symétriques élémentaires suivantes :
σ1=
n−1
X
k=1
γket σ2=X
16p<q6n−1
γpγq
qui sont respectivement la somme des racines de Pet la somme des produits de 2 racines distinctes de P
(sans répétition).
(a) À l’aide des relations coefficients/racines, donner la valeur de σ1et σ2.
(b) Déterminer une relation entre
n−1
X
k=1
γ2
ket σ1et σ2.
(c) En déduire que
n−1
X
k=1
cotan2kπ
n=(n−1)(n−2) 3.