2. On dit qu’un espace topologique est de Kolmogoroff (ou T0) s’il satisfait que pour deux points distincts x
et y, il existe un voisinage de l’un de ces points qui ne contient pas l’autre. Montrer que tout espace s´epar´e
est de Kolmogoroff. La r´eciproque est-elle vraie ?2
3. Montrer qu’un ensemble ordonn´e muni de la topologie droite est de Kolmogoroff.
4. Soit `a pr´esent Xun espace de Kolmogoroff qui satisfait qu’une intersection d’ouverts est toujours ouverte.
Montrer que la relation
yRx⇐⇒ x∈ {y},
est une relation d’ordre et que la topologie sur Xest la topologie droite associ´ee `a cette relation.
5. En d´eduire que si Xest un espace de Kolmogoroff, toute partie finie non vide de Xposs`ede au moins un
point isol´e. Montrer que si Xn’a pas de point isol´e, alors toute partie ouverte est infinie.
12 - Axiomes de s´eparation3
Soit Xun espace topologique.
(T0)Xest T0(ou de Kolmogoroff) si pour tout point x6=y, il existe un ouvert contenant l’un des points et
pas l’autre.
(T1)Xest dit4T1si pour tout points x6=y, il existe un ouvert Uxcontenant xet pas yet un ouvert Uy
contenant yet pas x.
(T2)Xest T2si il est s´epar´e (on dit aussi que Xest Hausdorff).
(T3)Xest T3ou r´egulier s’il est T0et v´erifie en plus la propri´et´e ( e
T3): pour tout ferm´e Fet point x /∈F,
il existe des ouverts Ox,OFdisjoints contenant respectivement xet F.
(T4)Xest T4ou normal s’il est T1et v´erifie en plus la propri´et´e ( e
T4): si A,Bsont des ferm´es disjoints
dans X, il existe des ouverts OA,OBdisjoints contenant respectivement Aet B.
1. Etudier les diff´erentes relations d’implication entre les axiomes T0,T1,T2,( e
T3) et ( e
T4) (donner des con-
trexemples s’il n’y a pas de relation d’implication; ne pas comparer ( e
T3) et ( e
T4)). Montrer qu’il existe des
espaces qui ne satisfont aucun de ces axiomes et des espaces satisfaisant ces axiomes.
2. Montrer qu’un espace Xest (T1) si et seulement si les points de Xsont ferm´es. Montrer que si Xest
r´egulier, alors Xest s´epar´e. Montrer qu’un espace normal (i.e. (T4)) est r´egulier (i.e. (T3)). La d´efinition
donn´ee est-elle ´equivalente `a celle du cours ?
3. Montrer qu’un produit ΠXid’espaces est r´egulier si et seulement si chaque Xiest r´egulier et qu’un
sous-espace d’un espace r´egulier est r´egulier.
4. Montrer que si Xcontient un sous-ensemble d´enombrable dense (i.e. est s´eparable) et un sous-ensemble
discret ferm´e non-d´enombrable, alors Xn’est pas normal. En d´eduire que (R, τlim sup)×(R, τlim sup) est
r´egulier mais pas normal.
5. Montrer qu’un espace topologique X(T1) est normal si et seulement si pour tout ferm´e A,B, il existe
existe des ouverts UA⊃A,UB⊃Btels que UA∩UB=∅
6. On munit le demi-plan H={(x, y)∈R2, y ≥0}de la topologie engendr´ee par les ouverts euclidiens
usuels sur H={(x, y)∈R2, y > 0}et pour tout zsur l’axe y= 0 et > 0 par les ensembles {z} ∪ Dz, o`u
2Un espace s´epar´e est parfois appel´e T2. On reviendra sur diff´erentes notions de s´eparation dans la feuille de TD no3
3Attention : la terminologie concernant les propri´et´es de s´eparation n’est pas compl`etement standardis´ee, et peu varier
suivant les auteurs.
4parfois appel´e de Fr´echet, mais c’est une terminologie ambigu¨e et non-univoque qu’il vaut mieux proscrire