Licence de Mathématiques A Université Joseph Fourier Topologie

Licence de Math´ematiques A Universit´e Joseph Fourier
Topologie 2012-2013
Contrˆole continu n◦3du 10 d´ecembre 2012 (2h)
Documents et calculatrices interdits.
Les exercices sont ind´ependants et peuvent ˆetre trait´es dans n’importe quel ordre.
Question de cours Soit (Ei)i∈Iune famille d’espaces topologiques (chacun muni d’une
topologie Oi). Donner la d´efinition de la topologie produit sur Qi∈IEi.
Exercice 1 Soit El’espace des fonctions r´eelles continues de carr´e int´egrable, muni de la
norme N2d´efinie par N2(f) = RR|f(t)|2dt
1
2pour f∈E. Soit Φ une fonction continue
born´ee sur R.
1. Montrer que l’application uΦ:f7→ Φfd´efinit une application lin´eaire continue
de Edans Eet en d´eduire que |||uΦ||| ≤ ||Φ||∞.
2. Montrer que |||uΦ||| =||Φ||∞.
indication : On pourra consid´erer la suite de fonctions fnvalant 1en x0∈Efix´e et affine
sur [x0−1/n, x0]et [x0, x0+ 1/n], nulle ailleurs.
3. On note Fl’ensemble des fonctions continues born´ees sur R, muni de la norme
de la convergence uniforme N∞. L’application F−→ R,Φ7→ |||uΦ||| est-elle continue ?
Exercice 2 On dit qu’un espace topologique (X, O) est localement connexe si pour tout
x∈Xet tout voisinage Vde x, il existe un voisinage Ude xcontenu dans Vet connexe.
1. Montrer les assertions suivantes :
a) Tout espace vectoriel norm´e est localement connexe.
b) Tout ouvert d’un espace topologique localement connexe est localement con-
nexe.
c) Les composantes connexes d’un espace topologique localement connexe sont
ouvertes.
2. On consid`ere dans R2(muni de la distance euclidienne) la partie X=A∪B, o`u
A= (]0,1] × {0})∪[
n∈N∗
({1
n} × [−1,1]) et B={0} × [1/2,1] .
La partie X(munie de la topologie induite) est-elle connexe par arcs ? connexe ?
localement connexe ?
1

Exercice 3 Soit Eun ensemble infini. On note
O={A⊂Etel que Acest fini} ∪ {∅}.
1. Montrer que Oest une topologie non-s´epar´ee sur E(on l’appelle topologie cofinie,
ou bien topologie de Zariski sur E).
2. Montrer que Emuni de la topologie cofinie est connexe et localement connexe1.
3. On munit Nde la topologie cofinie. On note Opla topologie produit sur N2=
N×N. Soit Ola topologie cofinie sur N2.
a) Un singleton {(a, b)}est-il ferm´e, ouvert, pour la topologie Op? Et pour O?
b) En d´eduire l’inclusion O ⊆ Op. Est ce une ´egalit´e ?
Exercice 4 Pour n∈N, on munit Kn={0,1}de la topologie discr`ete. Soit
K=Y
n∈N
Kn={0,1}N.
K est donc l’espace des suites `a valeurs dans {0,1}(muni de la topologie produit).
1. Montrer que la topologie produit sur Kest m´etrisable.
indication : on pourra utiliser la distance d´efinie par
d(a, b) = sup
n∈N
|an−bn|
n+ 1 ,o`u a= (an)n∈N∈Ket b= (bn)n∈N∈K .
2. Montrer qu’une suite (x(k))k∈N, o`u x(k)= (x(k)
n)n∈N∈K, est convergente si et
seulement si elle se stabilise progressivement, c’est-`a-dire :
∀m∈N∃N∈Ntel que ∀k≥N, ∀n= 0, . . . , m, x(k)
n=x(N) n.
3. En d´eduire que K est un compact.
1Voir la d´efinition dans l’Exercice 2.
2