avec
lim
||h1,h2,h3||A→0²(h1,h2,h3) = 0
La fonction (h1,h2,h3)→Ah1+Bh2+Ch3est bien une application lin´eaire et ainsi
(A,B,C).d´efinit notre op´erateur lin´eaire (le point repr´esentant le produit scalaire).
Exemple 1 Soit une fonctionnelle fde IR2dans IR, d´efinie par :
f(x,y) = x4+ 3x2y
Pla¸cons nous au point (1,−1) :
f(1 + h1,−1 + h2)−f(1,−1) = (1 + h1)4+ 3(1 + h1)2(−1 + h2)+2
= 1 + 4h1+ 6h2
1+ 4h3
1+h4
1+ (3 + 6h1+ 3h2
1)(−1 + h2)+2
= 1 −3 + 2 + (4 −6)h1+ 3h2+ [6h2
1+ 4h3
1+h4
1−3h2
1
+6h1h2+ 3h2
1h2]
=−2h1+ 3h2+||(h1,h2)||²(h1,h2)
On v´erifie bien que ²(h1,h2)→0quand (h1,h2)→(0,0).
Donc fest diff´erentiable au point (1,−1) et sa diff´erentielle est l’application lin´eaire :
df (1,−1) : (h1,h2)→ −2h1+ 3h2
On remarque que ∂f (x,y)
∂x = 4x3+ 6xy et ∂f(x,y)
∂y = 3x2et donc que, ∂f (1,−1)
∂x =
4−6 = −2et que ∂f (1,−1)
∂y = 3 ce qui correspond aux coefficients trouv´es pr´ec´edemment.
Th´eor`eme 1 . Si fest de classe C1sur un ouvert Ude IRnalors fest diff´erentiable
sur U.
. R´eciproquement, si fest diff´erentiable sur Ualors fadmet des d´eriv´ees partielles.
Celles-ci ne sont pas forc´ement continues et donc on n’a pas la r´eciproque compl`ete.
De plus, les d´eriv´ees partielles sont les coefficients de l’op´erateur lin´eaire comme
nous venons de le voir dans l’exemple pr´ec´edent :
∂f
∂xi
(P) = li
o`u liest la i`eme composante de l’op´erateur lin´eaire L.
Exemple 2 Cet exemple va nous permettre d’illustrer le th´eor`eme pr´ec´edent.
Soit fune fonction d´efinie par
f(x,y) = (x2sin 1
√x2+y2si (x,y)6= (0,0),
0sinon.
D’apr`es les th´eor`emes g´en´eraux des compositions sur les fonctions de classe C1, f est de
classe C1sur IR2\ {0,0)}.
.fest continue en (0,0),en effet |f(x,y)| ≤ x2≤x2+y2donc |f(x,y)| ≤ ||(x,y)||2
2
et lim(x,y)→(0,0) f(x,y) = 0.
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