Mouvement d`une particule chargée dans un champ

Mouvement d'une particule chargée dans un
champ E, B
Décrire le mouvement des particules dans les champs E et B est utile pour comprendre le fonctionnement de
nombreux instruments scientifiques, microscope électronique, spectromètre de masse, cyclotron, synchrotron,
piège de particules, chambre de détection, tokamak...
I) Force de Lorentz et champs
1) Les champs
Le champ électrique est produit par des charges fixes. Pour le champ d’une charge seule q présente en O, on a la loi
0
4²
r
u
q
Er
. Ensuite, on peut superposer les champs créés par les différentes charges.
Le champ magnétique est produit par les courants (déplacement de charges).
Par exemple le champ créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant I est:
0
2I
Bu
r
avec 1/(4πε0)= 9 109
μ0 = 4π10-7 ε0 μ0c0² = 1
Remarque : Le champ magnétique peut aussi être créé par des aimants, ce sont des matériaux dans lesquels les
boucles de courants des électrons sont orientées de façon identique et cumulent le champ magnétique qu’elles
créent.
2) La force de Lorentz : Formule de soumission aux champs électrique et magnétique
()F q E v B  
La force magnétique ne travaille pas, F.v =0, elle peut juste changer la direction de la vitesse, pas son module
L’application du TEC donne en effet dEc/dt=Puissance= 0 . C’est la force électrique qui peut changer le module de la
vitesse et l’Ec.
3) Potentiel électrique
On définit le potentiel électrique V(x) par l’équation suivante :
E= E ux = - dV/dx ux soit dV = -E.dx soit -dV=E(x).dx
Pour un champ uniforme positif on a la représentation graphique ci-contre :
Pour une charge test dans le champ électrique E créé par d’autres charges
E=-dV/dx F = qtE = qt(-dV/dx) = -d(qtV)/dx =-dEP/dx avec Ep=qtV
On dit que le champ est dirigé dans le sens des potentiels décroissants car E>0 est cohérent avec V décroit
Le champ dérive du potentiel et la force de l’énergie potentielle avec la relation triviale Ep(x) = qtV(x)
E(x)
V(x)
x

II) Mouvement dans un champ électrique uniforme
1) Mouvement avec vitesse initiale v0 nulle ou quasi-nulle , orientation
Expérience avec des électrons
Émission d’électron par filament de tungstène chauffé par le passage d’un courant
3/2 kBT=1/2 mv0² : prenons une température de 3000K
1.5 1.38 10-23 3000 = 0.5 9.1 10-31 v02 v0=3.5 105m/s<<c0=3108m/s on considèrera que cette vitesse est
négligeable.
kB est la constante de Boltzmann, on en reparlera dans le cours de thermodynamique, kB=R/NA
les électrons sont ensuite accélérés entre deux plaques trouées :
Imaginons un faisceau d’électrons qui se propage de la gauche vers la droite
La relation E=-dV/dx est cohérente avec une
orientation dans le sens des x croissants vers la droite.
Si on oriente E vers la gauche, on considère alors que E=-Eux
Et que E = dV/dx E= (V(A)-V(B)) / d = U / d < 0
Si E est uniforme V(x) = U x / d > 0 de 0 à d
La conservation de l’énergie pour ce problème non dissipatif donne en négligeant l’énergie cinétique initiale
Ici la particule soumise est l’électron de charge qt = - e
0+(-e)V(B)=1/2m v²+(-e)V(A)
Soit ½ mv²=-e[V(B)-V(A)]=eUAB
v = (2eU/m)= ( 2 1.610-19 1000/9 10-31) =  (310-16/10-30)=1.7 107 = 0.06 c0
C’est déjà pré-relativiste si on considère que 1/20 de la vitesse de la lumière n’est pas négligeable ; on verra un
critère plus tard.
Remarque : La distance d’accélération n’intervient pas
x=0
x=d=0.1m
VB=0
VA=1kV
E
Fsur l’e-=-eEux
e-
UAB=VA-VB>0
A
B

Expérience avec des cations
Imaginons un faisceau de cations chargés +e qui se déplacent vers la droite
et orientons maintenant E vers la droite on retrouve la formule E=-dV /dx
On choisit alors de mesurer la tension vers la gauche
électron volt : L’énergie acquise par une charge de valeur e=1.6 10-19C accélérée entre deux plaques portées à une
différence de potentiel de 1V est de 1eV (électron-volt) en SI 1.6 10-19C*1V=1.610-19J
keV, Mev : kiloeV et MégaeV
Ordres de grandeur
Unité du champ électrique V.m-1, champ disruptif de l’air 30kV/cm,
champ dans un atome E=9 1091.6 10-19/10-20 = 15 1010V/m
Unité du champ magnétique Tesla, champ terrestre 5 10-5T, aimant 0.1T, champ dans RMN 30Teslas
Le poids est négligeable devant les forces électromagnétiques pour un électron
mg>eE si 9.1 10-3110>1.6 10-19E soit si E<10-10 , quand on prend en compte le champ électrique il est nettement plus
fort.
Pour quel champ magnétique une charge prérelativiste est elle soumise à une force comparable à celle qu’elle
subirait dans le champ disruptif de l’air ?
Si v=0.1c =0.1 300 000 000m= 0.1 3 108 3 107 B = E=30 105 donne B=0.1T
x=0
x=d=0.1m
VA=1kV
VB=0V
E
Fsur le cation=+eEux
+e
UAB=VA-VB>0
B
A

2) Trajectoire parabolique si v0 est perpendiculaire à E
Un électron de charge –e est doté d’une vitesse initiale
v0 ux traverse une zone de largeur d où règne un champ
transverse E = -Euy, E=U/l>0, il arrive ensuite dans une zone libre
de largeur D et impacte un écran à, l’ordonnée Y.
On néglige les effets de bords.
Calculer Y.
x x x
La première partie du mouvement adns un champ uniforme est analogue à une chute libre avec vitesse initiale transverse soit une trajectoire parabolique
mx = 0
U
my =-e(-E)u =eEu =e u
l
00
s 0 1 0 0
x= v x = v t
U U e U
y =e y =e t y = t²
ml ml 2 m l
U
sortie à la date t telle que d = v alors v = V e m l
Y-y
on égale alors deux expressions de tan = D
s x y
d
t v u u
v
10
1 0 0
U
em l U
em l ²
y
x
d
vvd
v v v
x
v0
v1
d
D
Y
y
l
E
F=-eE
V=U>0
V=0

3) Applications
a) Tubes cathodiques
b) Photomultiplicateur
c) Déflection d’un faisceau d’électrons par un jeu de plaques microscope électronique. Les microscopes
électroniques ont un plus grand pouvoir de résolution que les microscopes optiques qui utilisent des rayonnements
électromagnétiques et peuvent obtenir des grossissements beaucoup plus élevés allant jusqu'à 5 millions de fois,
alors que les meilleurs microscopes optiques sont limités à un grossissement de 2000 fois.
Ces deux types de microscopes ont une résolution limite, imposée par la longueur d'onde du rayonnement qu'ils
utilisent. La résolution et le grossissement plus grands du microscope électronique sont dus au fait que la longueur
d'onde d'un électron (longueur d'onde de Broglie) est beaucoup plus petite que celle d'un photon de lumière visible.
Le microscope électronique utilise des lentilles électrostatiques et électromagnétiques pour former l'image en
contrôlant le faisceau d'électrons et le faire converger sur un plan particulier par rapport à l'échantillon. Ce mode est
similaire à la façon dont un microscope optique utilise des lentilles en verre pour converger la lumière sur ou au
travers de l'échantillon pour former une image.
d) Mouvement de gouttelettes chargées : sera traité plus tard quand on aura fait la leçon d’hydrostatique avec la notion de poussée
d’Archimède