Chapitre 2 Suites, Limites et Continuité

Chapitre 2
Suites, Limites et
Continuit´e
Dans ce chapitre, nous introduisons un concept central d’analyse, le processus
de limite. Ce concept est motiv´e par le fait suivant : on ne peut pas calculer
exactement le nombre r´eel √2en un nombre fini d’´etapes. Mais √2peut ˆetre ap-
proch´e avec n’importe quelle pr´ecision. Approcher un nombre avec une pr´ecision
arbitraire signifie le repr´esenter comme limite d’une suite. Le concept du pro-
cessus de limite est bas´e sur la structure topologique de l’ensemble des nombres
r´eels donn´ee par les intervalles ouverts (et la distance de deux nombres r´eels
d´efinie `a l’aide de la valeur absolue). Les axiomes alg´ebriques et d’ordre per-
mettent de traiter ce concept par le calcul puisqu’en cas d’existence des limites,
le processus de limite pr´eserve ces structures, c’est-`a-dire qu’il commute avec
les op´erations alg´ebriques et la relation d’ordre. De plus, nous introduisons une
classe de fonctions r´eelles qui commutent ´egalement avec le processus de limite :
les fonctions dites continues.
Notions `a apprendre. Suite, sous-suite, suite born´ee, suite convergente, li-
mite d’une suite, suite de Cauchy, crit`ere de convergence, limite sup´erieure
et limite inf´erieure d’une suite, point d’accumulation, suite divergente, suite
fortement divergente, suite g´eom´etrique, le nombre d’Euler, fonction continue,
prolongement par continuit´e, limite d’une fonction, le th´eor`eme de Bolzano-
Weierstrass et ses applications aux suites et aux fonctions continues, le th´eor`eme
de la valeur interm´ediaire, suite r´ecurrente, le th´eor`eme du point fixe de Banach
Comp´etences `a acqu´erir. Connaˆıtre et savoir appliquer les r`egles de calcul
pour les limites, connaˆıtre et savoir appliquer les crit`eres de convergence et
d´emontrer la convergence ou la divergence d’une suite donn´ee ou d’une suite
r´ecurrente `a l’aide de ces crit`eres, savoir v´erifier la continuit´e d’une fonction,
savoir d´eterminer le prolongement par continuit´e et de calculer la limite d’une
fonction, savoir appliquer le th´eor`eme de la valeur interm´ediaire et le th´eor`eme
du point fixe de Banach.
38

CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUIT ´ E39
2.1 Suites et sous-suites
2.1.1 Suites
D´efinition - suite num´erique. Une suite num´erique est une application f
de Ndans R, not´ee f:N→R, c’est-`a-dire une correspondance qui `a chaque
n∈Nassocie un nombre r´eel f(n). On pose xn=f(n) et on d´esigne la suite
par (xn)n∈Nou (x0, x1, x2, . . .).
Plus g´en´eralement, soit n0un entier, alors (xn)n≥n0d´efinit ´egalement une
suite num´erique.
Exemples de suites.
1. Suites donn´ees par une expression explicite :
(a) Soit xn=xpour tout n∈N. La suite (xn)n∈Nest une suite constante
(x, x, x, x, . . .).
(b) Soit xn=1
npour tout n∈N\ {0}, donc (xn)n∈N∗= (1,1 2,1 3,1 4, . . .).
(c) Soit xn= (−1)npour tout n∈N, donc (xn)n∈N= (1,−1,1,−1, . . .).
(d) Soit a, q ∈R\ {0}. Si on d´efinit xn=aqnpour tout n∈N,
alors la suite (xn)n∈Nest appel´ee une suite g´eom´etrique : (xn)n∈N=
(a, aq, aq2, aq3, . . .).
(e) Soit xn=(n+2)(n+3)
n2+n+1 pour tout n∈N, donc (xn)n∈N= (6,4,20 7,30 13 , . . .).
2. Suites r´ecurrentes. Les ´el´ements de la suite sont donn´es par une relation
de r´ecurrence et des valeurs initiales.
(a) R´ecurrences du premier ordre : xn+1 =f(xn) o`u fest une fonction
r´eelle et x0∈Rest une condition initiale donn´ee. Par exemple, soit
x0= 2 et xn+1 =1
2(xn+2 xn) pour tout n∈N\{0}, donc (xn)n∈N=
(2,3
2,17 12 ,577 408 , . . .). Nous allons d´emontrer plus loin que cette suite
tend vers √2. Une suite g´eom´etrique peut ˆetre d´efinie de fa¸con unique
par la r´ecurrence xn+1 =qxnet la condition initiale x0=a.
(b) R´ecurrences du second ordre : xn+1 d´epend de xnet de xn−1ce
qu’on peut exprimer par la relation xn+1 =f(xn, xn−1) o`u fest une
fonction `a valeur r´eelle et x0, x1∈Rsont des conditions initiales
donn´ees. Par exemple, la relation xn+1 =xn+xn−1,x0= 0, x1= 1
donne les nombres de Fibonacci.
3. S´erie num´erique. Soit (xk)n∈Nune suite num´erique. On d´efinit la suite
des sommes Sn=n
k=1 xkpour tout n≥0. Par exemple, si xk=
1
(k+1)(k+2) pour tous k∈N\ {0}, alors (Sn)n≥0= (1 2,2 3,3 4,4 5, . . .). Les
s´eries num´eriques seront ´etudi´ees au chapitre 3.
2.1.2 Suites born´ees
Ensemble des images d’une suite. Soit (xn)n∈Nune suite. On appelle
ensemble des valeurs de (xn)n∈Nou l’ensemble des images de (xn)n∈Nl’ensemble
des valeurs prises par (xn)n∈N, i.e. l’ensemble {x1, x2, . . .}. La notion d’une suite
born´ee correspond `a celle d’un ensemble born´e si on consid`ere son ensemble de
valeurs.

CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUIT ´ E40
D´efinition - suite born´ee. Une suite (xn)n∈Nest dite minor´ee s’il existe
a∈Rtel que pour tout n∈Non a xn≥a. Une suite (xn)n∈Nest dite major´ee
s’il existe b∈Rtel que pour tout n∈Non a xn≤b. Une suite (xn)n∈Nest dite
born´ee, si (xn)n∈Nest `a la fois minor´ee et major´ee.
Exemple. La suite g´eom´etrique (xn)n∈N= (qn)n∈Nest born´ee si |q| ≤ 1. Si
q > 1 elle est seulement minor´ee, si q < −1 elle n’est ni major´ee ni minor´ee.
Proposition. Une suite (xn) est born´ee si et seulement s’il existe une constante
c≥0 tel que |xn| ≤ cpour tout n∈N.
2.1.3 Suites monotones
D´efinition - suites monotones.
1. Une suite (xn)n∈Nest dite croissante si xn≤xn+1 pour tout n∈N.
2. Une suite (xn)n∈Nest dite strictement croissante si xn< xn+1 pour tout
n∈N.
3. Une suite (xn)n∈Nest dite d´ecroissante si xn≥xn+1 pour tout n∈N.
4. Une suite (xn)n∈Nest dite strictement d´ecroissante si xn> xn+1 pour
tout n∈N. Une suite (xn)n∈Nest dite monotone si elle est croissante ou
d´ecroissante.
Exemple. La suite ( 1
n)n∈N∗est strictement d´ecroissante. La suite g´eom´etrique
(xn)n∈N= (qn)n∈Nest strictement croissante si q > 1, constante si q= 1 et
strictement d´ecroissante si 0 < q < 1.
2.1.4 Sous-suites
Exemple. Soit xn= (−1)npour tout n∈N. On peut extraire une suite en
consid´erant uniquement les indices pairs nk= 2ket k∈N. Ceci donne une suite
d´efinie par yk=xnk=x2k. Une telle suite est appel´ee sous-suite de (xn)n∈N.
Dans notre cas, on obtient une sous-suite constante puisque xnk= 1 pour tout
indice nk. Plus g´en´eralement, on a la
D´efinition - sous-suite. Si (nk)k∈Nest une suite strictement croissante d’en-
tiers naturels, on dit que (xnk)k∈Nest une sous-suite, ou encore suite extraite,
de la suite (xn)n∈N.
Exemple. Pour xn= (−1)net nkde la forme nk= 2k+ 1, on obtient la
sous-suite donn´ee par xnk=−1. Si nk= 3k, on a la sous-suite (xnk)k∈N=
(1,−1,1,−1, . . .).
2.2 Suites convergentes et limites
2.2.1 Limite d’une suite
Introduction. Pour certaines suites, les ´el´ements xntendent vers un nombre
r´eel bien d´efini lorsque l’indice croˆıt. Par exemple, la suite (xn)n∈N= ( 1
n+1 )n∈N=

CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUIT ´ E41
(1,1
2,1 3,1 4, . . .) tend vers 0. On dit aussi que la suite (xn)n∈Nconverge vers 0.
Plus pr´ecis´ement on a la
D´efinition - suite convergente. Une suite (xn)n∈Nconverge vers x∈R, si
`a tout ϵ > 0, on peut associer un entier naturel Nϵtel que pour tout n≥Nϵon
a|xn−x|< ϵ. On ´ecrit alors
lim
n→+∞xn=x.
On dit aussi que la suite (xn)n∈Nest convergente et admet pour limite x∈R.
Une suite non convergente est dite divergente.
Autres notations. Si lim
n→+∞xn=x, on note aussi xn→xlorsque n→+∞.
Interpr´etation m´etrique de la convergence. La d´efinition signifie que la
distance d(xn, x) = |xn−x|entre les ´el´ements xnde la suite et le point xdevient
arbitrairement petite pour tous les indices nsuffisamment grands. Autrement
dit,
lim
n→+∞xn=x⇔lim n→+∞d(xn, x) = 0.(2.1)
La d´efinition du processus de limite `a l’aide d’une distance (dite m´etrique) nous
permettra de l’´etendre aux suites `a valeurs complexes, aux suites de vecteurs et
aux suites de fonctions.
Remarque - Unicit´e de la limite. Lorsque la limite existe, elle est unique,
autrement dit, toute suite poss`ede au plus une limite. En effet, s’il existe y∈R
tel que |xn−y|< ϵ pour tout n≥Mϵ, on a pour tout n≥max(Nϵ, Mϵ)
|x−y|=|x−xn+xn−y|
≤ |x−xn|+|xn−y|par l’in´egalit´e triangulaire
< ϵ +ϵ= 2ϵ
Donc x=y.
Remarque - l’ensemble des images d’une suite convergente. La suite
(xn)n∈Nconverge vers xsi pour tout intervalle ouvert de la forme ]x−ϵ, x +ϵ[
toutes les valeurs xn, `a partir d’un indice N=Nϵ, se trouvent dans ]x−ϵ, x+ϵ[.
Par cons´equent, seulement un nombre fini d’´el´ements xnsont `a l’ext´erieur de
cet intervalle. Notant que tout ensemble fini est born´e, cette remarque implique
la proposition suivante :
Proposition 2.2.1. Toute suite convergente est born´ee. Toute sous-suite d’une
suite convergente converge vers la mˆeme limite.
Remarque - Pratique habituelle de la d´efinition d’une suite conver-
gente. Nous allons expliquer comment nous utilisons le nombre ϵ. Supposons
que nous ayons d´emontr´e que pour tout ϵ > 0 il existe un entier naturel Nϵtel
que pour tout n≥Nϵl’in´egalit´e |xn−x|< Cϵ est valable, o`u Cne d´epend ni
de ϵni de n. Nous affirmons que xest la limite de la suite (xn)n∈N. La seule

CHAPITRE 2. SUITES, LIMITES ET CONTINUIT ´ E42
diff´erence par rapport `a la d´efinition est la constante Cdevant ϵ. Pour se rame-
ner `a l’in´egalit´e de la d´efinition, nous posons ϵ′=ϵ/C. Il existe alors un entier
naturel N′tel que pour tout n≥N′on a |xn−x|< Cϵ′. Par cons´equent, pour
tout n≥N′
|xn−x|< Cϵ′=ϵ.
Dans la lit´erature, les estimations sont pr´esent´ees telles qu’on a ”< ϵ” `a la fin en
faisant les r´earrangements comme ci-dessus. Dans ce cours nous gardons souvent
les constantes devant ϵ.
Remarque - Formulation usuelle du processus de limite. Au lieu de
dire qu’il existe un entier naturel Ntel qu’une certaine affirmation est vraie
pour tout n≥N, nous disons souvent simplement pour tout entier naturel n
suffisamment grand.
Exemples ´el´ementaires.
1. La suite constante xn=xo`u x∈Ret n∈Nsatisfait lim
n→+∞xn=x
puisque pour tout ϵ > 0 et tout n∈Non a |xn−x|= 0 < ϵ.
2. Soit xn=1
npour n≥1. Pour tout ϵ > 0 on a |1 n|< ϵ si n > 1 ϵ. On choisit
donc un entier naturel Nϵtel que Nϵ>1
ϵ, par exemple Nϵ= [1 ϵ] + 1. Par
cons´equent, pour tout ϵ > 0, on a |1
n|< ϵ pour tout n≥Nϵ, c’est-`a-dire
lim
n→+∞
1
n= 0.
3. La suite d’´el´ements xn= (−1)n,n∈Nest divergente. Pour d´emontrer
cette affirmation, nous supposons que (xn) converge vers un nombre r´eel
x. Donc pour ϵ= 1 il existe un nombre naturel Ntel que |xn−x|<1
pour tout n≥N. Alors pour tout n≥N, nous avons grˆace `a l’in´egalit´e
triangulaire
2 = |xn−xn+1|=|xn−x+x−xn+1| ≤ |xn−x|+|xn+1 −x|<1 + 1 = 2
c’est-`a-dire 2 <2. La suite ne peut donc converger vers aucun x.
4. Consid´erons la suite g´eom´etrique d´efinie par xn=qn,n∈Net q∈R. Si
q= 1 la suite est constante et donc convergente (voir 1.). Si q=−1 la suite
est divergente (voir 3.). Soit |q|>1, alors la suite n’est pas convergente
car |q|nn’est pas major´e, i.e. pour tout C > 0, il existe n∈Ntel que
|q|n> C. Pour d´emontrer cette affirmation noter, que par l’in´egalit´e de
Bernoulli on a pour tout entier naturel n:
|q|n= (1 + |q| − 1)n≥1 + n(|q| − 1)
Soit C > 0 arbitraire. Par l’axiome d’Archim`ede il existe un nombre na-
turel ntel que n(|q| − 1) > C. Par cons´equent pour cette valeur de n
|q|n≥1 + n(|q| − 1) ≥1 + C > C.
Il reste le cas |q|<1 :
Proposition 2.2.2. Soit |q|<1. Alors la suite g´eom´etrique (qn)n∈Nest
convergente et
lim
n→+∞qn= 0.