U.J.F. UE Mat243 Probabilité 2011-12 Plan du cours 0

U.J.F. UE Mat243 Probabilit´e 2011-12
Plan du cours
0- Ensembles, applications et logique.
1- D´enombrements.
2- D´efinition d’un espace probabilis´e (Ω,T, P ) fini.
3- Variables al´eatoires sur un espace probabilis´e fini.
4- Esp´erance et variance d’une v.a.r. sur un espace probabilis´e fini.
5- Probabilit´es conditionnelles. Ev´enements ind´ependants.
6- Variables al´eatoires `a une infinit´e de valeurs, espaces probabilis´es infinis.
7- Loi de probabilit´e d’une v.a.r. : cas g´en´eral.
8- Couple de v.a.r. Loi conjointe. Covariance.
Appendice : Espaces probabilis´es g´en´eraux. Variables al´eatoires et couples de v.a.
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0- Ensembles, applications et logique
On sera amen´e `a manipuler des ensembles vu comme ”´ev´enements” d’o`u les quelques rappels utiles suivants.
1- Exemples d’ensembles et notations. — IN est l’ensemble des entiers naturels, IR celui des nombres
r´eels, C celui des nombres complexes. Un seul ensemble a la propri´et´e de ne pas avoir d’´el´ements, on
l’appelle l’ensemble vide et il est not´e ∅. Des ensembles peuvent ˆetre d´ecrits par une liste, par exemple, il est
raisonnable de noter L={a, b, c, ···, z}l’ensemble des lettres de l’alphabet (latin) et l’on notera couramment
[[m, n]] = {m, m + 1,···, n}l’ensemble des entiers entre met n.
2- Op´erations. — Aet B´etant deux ensembles, l’intersection not´ee A∩B={x|x∈Aet x∈B}et la
r´eunion not´ee A∪B={x|x∈Aou x∈B}. Il est particuli`erement important de ne pas faire de confusion
entre ”et” et ”ou”.
De mani`ere g´en´erale si (Ai)i∈Iest une famille d’ensembles index´ee par I(on a fr´equemment I= [[1, n]] ou
I= IN) on note :
∩i∈IAi={x|x∈Ai,∀i∈I}l’intersection des Aiet ∪i∈IAi={x|x∈Ai| ∃i∈I}la r´eunion des Ai.
Exemples : si Aest l’ensemble des entiers pairs et Bl’ensemble des multiples de 3 alors A∩Best l’ensemble
des multiples de 6. Si An=]0,1/n + 1[⊂IR et Bn=]0, n[⊂IR alors ∩n∈INAn=∅et ∪n∈INBn=]0,∞[.
Propri´et´e : si A, B, C sont trois ensembles A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
2- Inclusion, passage au compl´ementaire. — L’inclusion de Adans Best not´ee A⊂B. On a
A⊂B⇐⇒ x∈A⇒x∈Bd’o`u le principe de double inclusion :A⊂Bet B⊂A⇐⇒ A=B.
Si A⊂Ele compl´ementaire de Adans Enot´e E\A={x∈E|x /∈A}et quand il n’y a de confusion possible
c’est `a dire si tous les ensembles consid´er´es sont des parties d’un mˆeme ensemble E, la partie E\Aest not´ee
plus simplement Ac.
Propri´et´e : si A, B sont deux ensembles inclus dans E, on a
a) (Ac)c=A, b)A⊂B⇐⇒ Bc⊂Ac, c) (A∩B)c=Ac∪Bcet d) (A∪B)c=Ac∩Bc.
et de mani`ere g´en´erale si (Ai)i∈Iest une famille d’ensembles inclus dans Eindex´ee par Ion a :
(∩i∈IAi)c=∪i∈IAc
iet (∪i∈IAi)c=∩i∈IAc i.
3- Relation avec la logique. — Soient Pet Qdes propri´et´es `a un argument c’est `a dire dont on peut
tester la validit´e sur un seul objet `a la fois. Par exemple, Ppourrait ˆetre la propri´et´e d’ˆetre un nombre entier
pair. Soit Eun ensemble, alors A={x∈E|xsatisfait P}et B={x∈E|xsatisfait Q}sont des parties bien
d´efinies de Eet on a les :
Propri´et´es :
a) (P⇒Q)⇒A⊂B.
b) (P⇐⇒ Q)⇒A=B.
c) Pet Qsont incompatibles ⇒A∩B=∅.
d) Ac={x∈E|xsatisfait nonP}
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4- Applications entre ensembles. — Soit f:E→Fl’application qui `a x∈Efait correspondre f(x)∈F.
Image directe : Si A⊂Eon note f(A) = {y∈F|∃x∈A, y =f(x)}l’image (directe) de Apar f.
Propri´et´es :
a) A⊂B⇒f(A)⊂f(B)
b) f(A∩B)⊂f(A)∩f(B) mais il n’y a pas toujours ´egalit´e.
c) f(A∪B) = f(A)∪f(B).
Image r´eciproque : Si A⊂Fon note f−1(A) = {x∈E|f(x)∈A}l’image r´eciproque de Apar f.
Propri´et´es :
a) A⊂B⇒f−1(A)⊂f−1(B)
b) f−1(A∩B) = f−1(A)∩f−1(B).
c) f−1(A∪B) = f−1(A)∪f−1(B).
Propri´et´es possibles de l’application f:
a) finjective ⇐⇒ f(x) = f(x′)⇒x=x′
b) fsurjective ⇐⇒ f(E) = F.
c) fbijective ⇐⇒ fest injective et surjective.
1- D´enombrements
1- Equipotence. — Pour savoir s’il y a autant de gar¸cons que de filles dans une classe, on peut compter les
deux groupes s´epar´ement et comparer les r´esultats. On peut aussi demander aux ´etudiants de se mettre par
couple (mixte) et on se rendra alors compte s’il y a ´egalit´e ou non. En termes math´ematiques, on cherche `a
construire une bijection entre l’ensemble Fdes filles et l’ensemble Gdes gar¸cons.
D´ efinition. — Deux ensembles Fet Gsont ´equipotents si et seulement si il existe une bijection de Fdans
G.
Un ensemble Eest dit fini s’il est en bijection avec [[1, n]] pour un certain n∈IN. L’entier nest le cardinal ou
le nombre d’´el´ements de Enot´e Card Eou plus commod´ement |E|. Clairement, deux ensembles finis Eet F
sont ´equipotents si et seulement si Card E= Card F. On a aussi la proposition qui serait encore vraie sans
supposer les ensembles finis :
Proposition. — Deux ensembles finis Eet Fsont ´equipotents si et seulement si il existe une injection
f:E→Fet une surjection g:E→F.
Remarque. — Historiquement, le mot ”Cardinal” a ´et´e employ´e comme synonyme du mot ”Puissance” qui
est encore utilis´e pour parler du cardinal d’un ensemble infini. Ceci explique le terme ”´equipotent”= ”qui a
mˆeme puissance” = ”qui a mˆeme cardinal”.
A partir de maintenant pour un ensemble fini Eon va utiliser la notation |E|d´ej`a indiqu´ee de pr´ef´erence `a
Card E.
2- R´eunion disjointe. — Si Aet Bsont des ensembles disjoints (c’est-`a-dire tels que A∩B=∅), alors
|A∪B|=|A|+|B|. Plus g´en´eralement, si A1, . . . , Ansont des ensembles finis deux `a deux disjoints, alors
|A1∪. . . ∪An|=n
k=1 |Ak|(Principe d’addition).
Notation : si A1, . . . , Ansont des ensembles deux `a deux disjoints, dans ce cas et uniquement dans ce cas, on
notera A1+. . . +An=n
k=1 Akla r´eunion des Ai. Avec cette notation conventionnelle, l’´egalit´e pr´ec´edente
s’´ecrit |n
k=1 Ak|=n k=1 |Ak|.
3- R´eunion quelconque. — Si A, B, C sont des ensembles finis, alors :
|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|(∗)
formule d´ej`a vue dans le secondaire dont on d´eduit :
|A∪B∪C|=|A∪B|+|C|−|(A∪B)∩C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|A∩C|+|A∩B∩C|.
Plus g´en´eralement, par r´ecurrence et toujours grˆace `a la formule (∗), si A1, . . . , Ansont des ensembles finis, on
a la formule de Poincar´e :
|A1∪. . . ∪An|=n
p=1(−1)p−11≤k1<...<kp≤n|Ak1∩. . . ∩Akp|
=n
k=1 |Ak| − 1≤i<j≤n|Ai∩Aj|+··· + (−1)n−1|A1∩...∩An|.
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4- Principe des bergers. — Dans un troupeau de moutons, il y a quatre fois plus de pattes que de moutons.
Voici pourquoi : 1) chaque mouton a quatre pattes 2) chaque patte appartient `a un seul mouton.
Num´erotons les moutons de 1 `a met notons Ekl’ensemble des pattes du ki`eme mouton. Puisque les E1, . . . , Em
sont disjoints deux `a deux, le nombre total de pattes est : |E1+...+Em|=m
k=1 |Ek|=m k=1 4 = 4m.
Formulation en termes de choix. — Pour choisir une patte, on commence par choisir un mouton puis
on choisit une de ses pattes. Le second choix n’est pas ind´ependant du premier, mais le nombre de possibilit´es
pour le second choix est ind´ependant du premier choix effectu´e.
Ce ne serait plus le cas du mˆeme troupeau auquel on aurait ajout´e nindividus `a 5 pattes num´erot´es de 1 `a
n. En effet, si l’on note alors Fkl’ensemble des pattes du ki`eme mouton `a 5 pattes, le nombre total de pattes
serait cette fois ci : |E1+. . . +Em+F1+. . . +Fn|=m
k=1 |Ek|+n k=1 |Fk|=m k=1 4 + n k=1 5 = 4m+ 5n.
5- Produit cart´esien. — Le produit cart´esien de deux ensembles Aet Best l’ensemble
A×B={(a, b)|a∈A, b ∈B}autrement dit l’ensemble des couples (a, b) d’´el´ements de Aet de B.
Propri´et´e : Si Aet Bsont finis, on a |A×B|=|A|×|B|.(Principe de multiplication)
En effet, pour tout b∈B, notons Eb=A×{b}={(a, b)|a∈A}. On a A×B=∪b∈BEbet donc, comme les Eb
sont disjoints et ont tous |A|´el´ements, il vient : |A×B|=|b∈BEb|=b∈B|Eb|=b∈B|A|=|A| × |B|.
Exemple. — Dans un jeu de cartes ordinaire, une carte peut ˆetre vue comme un couple (a, b)∈A×Bo`u :
A={1,2, . . . , 10, V, D, R}(ensemble des hauteurs) et B={♣,♢,♡,♠} (ensemble des couleurs)
Il y a 13 ×4 = 52 cartes.
Formulation en termes de choix. — Choisir une carte revient `a choisir ind´ependamment :
une hauteur parmi 13 et une couleur parmi 4. Le nombre de choix possibles est donc 13 ×4.
6- Nombre d’applications. — Soient Eet Fdeux ensembles finis, de cardinaux respectifs pet n. On note
FEl’ensemble des applications de Edans F. Alors : Card FE= (Card F)Card E=np.
En effet, soient x1, . . . , xples p´el´ements de E. Choisir une application f:E→F´equivaut `a choisir le p-uplet
(f(x1), . . . , f(xp)) arbitrairement dans Fp=F×. . .×F(produit cart´esien de Fpar lui-mˆeme pfois) ou encore
`a choisir ind´ependamment les images f(x1), . . . , f(xp). Donc Card FE= Card (Fp) = n×. . . ×n=np.
Exemple. — Tirages successifs avec remise : Une urne contient nboules. On effectue ptirages successifs, en
remettant la boule dans l’urne apr`es chaque tirage. Un tirage peut ˆetre vu comme un p-uplet d’´el´ements de F
(o`u Fest l’ensemble des boules) (y1, . . . , yp) o`u ykest la ki`emeboule tir´ee. Il y a nptirages possibles.
7- Nombre d’arrangements. — Que se passe-t-il si on effectue ptirages successifs sans remise? Il devient
alors impossible de tirer deux fois de suite la mˆeme boule. Le r´esultat de l’exp´erience peut alors ˆetre vu comme
un p-uplet d’´el´ements de Fdistincts ou encore comme une injection de {1,2, . . . , p}dans F.
Les r´esultats de chaque tirage ne sont pas ind´ependants.
•si p > n, il n’est pas possible d’effectuer ptirages sans remise.
•si p≤n, il y a nchoix possibles au 1ertirage, n−1 choix possibles au 2i`emetirage, ..., n−p+ 1 choix possibles
au p-i`eme tirage.
En appliquant successivement le principe des bergers, il y a donc n(n−1) . . . (n−p+ 1) fa¸cons d’effectuer p
tirages successifs sans remise dans une urne contenant initialement nboules.
D´ efinition. — On appelle arrangement de p´el´ements pris dans Ftout p-uplet form´e d’´el´ements distincts
de F.
Propri´ et´ e. — Le nombre d’arrangements de p´el´ements pris dans un ensemble `a n´el´ements est
Ap
n=n(n−1) . . . (n−p+ 1). Si p≤n,Ap n=n!
(n−p)! et si p > n,Ap
n= 0.
Cas particulier o`u p=n. — On tire alors toutes les boules et seul l’ordre dans lequel on les tire compte.
Dans ce cas, on compte en fait le nombre d’injections de {1,2, . . . , n}dans F. Mais comme une injection
entre ensembles finis ayant mˆeme nombre d’´el´ements nest une bijection, on compte le nombre de bijections
de {1,2, . . . , n}dans F. Ce nombre est An
n=n! qui est aussi le nombre de permutations de l’ensemble F
c’est-`a-dire le cardinal de l’ensemble S(F) de toutes les bijections (ou permutations) de F. L’ensemble S(F) a
une structure de groupe pour la composition des bijections qui le constituent, on l’appelle le groupe sym´etrique
de F.
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8- Nombre de combinaisons. — Si on tire simultan´ement pboules d’une urne contenant nboules, le
r´esultat est une partie ou combinaison de p´el´ements de Fo`u Fest l’ensemble des boules. Le nombre de ces
combinaisons est not´e n
p(ou Cp
n).
Pour choisir une combinaison (i.e. une partie) `a p´el´ements de F, on peut effectuer ptirages successifs sans
remise puis oublier l’ordre d’apparition des boules tir´ees. Il y a alors p! fa¸cons d’obtenir une combinaison donn´ee.
En appliquant le principe des bergers `a l’envers, on obtient Ap
n=p!n
p, d’o`u : n p=n(n−1) . . . (n−p+ 1) p(p−1) . . . 1
et n
p=n! (n−p)!p!si p≤net n p= 0 si p > n.
Pour effectuer ptirages successifs sans remise, on peut proc´eder de la fa¸con suivante :
– on effectue le tirage simultan´e de pboules et on met les boules selectionn´ees dans une autre urne : n
p
possibilit´es.
– puis on effectue dans cette nouvelle urne ptirages successifs sans remise des pboules : p! possibilit´es.
D’apr`es le principe des bergers, on a donc Ap
n=n
p×p!
Propri´et´es des n
p. — Fixons un ´el´ement bde Fet s´eparons les parties de F`a p´el´ements en deux
cat´egories disjointes :
– celles qui ne contiennent pas b; ce sont les parties `a p´el´ements de F\ {b}et il y en a n−1
p.
– celles qui contiennent b; il y en a autant que de parties `a p−1 ´el´ements de F\ {b}c’est-`a-dire n−1
p−1.
On a ainsi n
p=n−1 p+n−1 p−1. Cette formule de r´ecurrence permet de calculer les coefficients n p
grˆace au triangle de Pascal.
•Pour tout pon a n
n−p=n p
•Formule du binˆome (c’est pour cela que les n
psont aussi appel´es coefficients du binˆome) :
Pour a, b r´eels ou complexes et n∈IN
(a+b)n=
n
k=0 n
kakbn−k=
n
k=0 n
kan−kbk
que l’on d´emontre par r´ecurrence sur n.
De mani`ere plus g´en´erale, le nombre de r-uplets (A1, A2,···, Ar) de sous-ensembles de Edeux `a deux disjoints
et tels que pour tout 1 ≤i≤r,|Ai|=kiest le coefficient multinomial n
k1k2···kr=n! k1!k2!···kr!·
9- Nombre de parties d’un ensemble. — Soit Fun ensemble `a n´el´ements. Alors Fposs`ede Cp
nparties
`a p´el´ements pour tout p∈ {0, . . . , n}. Le nombre total de parties de Fest donc
n
p=0 n
p=
n
p=0
Cp
n1p1n−p= (1 + 1)n.
On peut montrer ce r´esultat plus simplement. A toute partie Ade Fassocions sa fonction indicatrice (i.e. qui
r´epond par ”oui” (=1) ou ”non” (=0) `a la question ” xest-il dans A?” ) :
11A:F→ {0,1}est d´efinie par : 11A(x) = 1 si x∈Aet 11A(x) = 0 si x̸∈ A. Alors l’application A7→ 11Aest
une bijection de l’ensemble des parties P(F) dans {0,1}F. Donc Card P(F) = Card {0,1}F= 2n
R´esum´e. — Si on tire pboules d’urne contenant nboules
– successivement avec remise : npp-uplets.
– successivement sans remise : Ap
narrangements.
– simultan´ement : n
pcombinaisons.
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2- D´efinition d’un espace probabilis´e (Ω,T, P )fini. — Soit Ω un ensemble fini et T ⊂ P(Ω) un ensemble
de parties de Ω.
Tribu : On dit que Test une tribu si Tv´erifie les trois propri´et´es
(i) Ω ∈ T
(ii) Si A∈ T alors Ac∈ T
(iii) Pour toute suite An∈ T on a ∪n∈INAn∈ T (et ∩n∈INAn∈ T grˆace `a (ii)).
Dans le cas qui nous int´eresse pour l’instant o`u Ω est fini, il suffit de v´erifier la propri´et´e (iii) pour les suites
finies c’est-`a-dire de v´erifier que Test une alg`ebre de parties.
L’exemple fondamental et le plus utilis´e est la tribu T=P(Ω) de toutes les parties de Ω.
Image r´eciproque d’une tribu : Si Test une tribu de parties de Ω et f: Ω′→Ω une application alors
T′=f−1(T) = {f−1(A)|A∈ T } est une tribu de parties de Ω′appel´ee tribu image r´eciproque par fde la
tribu T.
Une tribu est d´efinie par une partition : Une suite de parties Ω1,Ω2, . . . , Ωkde Ω est une partition de Ω
si Ω = Ω1+ Ω2,+··· + Ωk(Ω est r´eunion disjointe des Ω1,Ω2, . . . , Ωk).
On peut v´erifier que, ´etant donn´e une telle partition, l’ensemble de parties T={s
1Ωil,1≤i1< . . . < is≤k}
est une tribu qu’on dit engendr´ee par la partition Ω1,Ω2,...,Ωk. On peut observer que si l’on d´efinit
l’application f: Ω →[[1, k]] par f(ω) = isi ω∈Ωi, on a T=f−1(P([[1, k]]).
R´eciproquement, il est facile de v´erifier que si Test une est une tribu de parties de l’ensemble fini Ω, les parties
Aω=∩ω∈A,A∈T Aavec ω∈Ω sont des ´el´ements de Tformant une partition engendrant la tribu T.
Espace probabilisable : Une tribu Tde parties de Ω ´etant fix´ee, le couple (Ω,T) est un espace probabilisable.
Les ´el´ements de Ten sont les ´ev´enements. Si Test engendr´ee par la partition Ω1,Ω2,...,Ωkde Ω, les Ωi
sont appel´es ´ev´enements ´el´ementaires. Dans le cas fr´equent o`u T=P(Ω), les ´ev´enements ´el´ementaires sont
les singletons {ω}o`u ω∈Ω. On a aussi les
D´ efinitions. — Si (Ω,T)est un espace probabilisable fini, alors
a) Ωest l’´ev´enement certain; ∅est l’´ev´enement impossible.
b) Ac(le compl´ementaire de Adans Ω) est l’´ev´enement contraire de A.
c) Deux ´ev´enements Aet Bsont dits incompatibles lorsque A∩B=∅.
d) Si ω∈Aon dit que l’´eventualit´e (ou le r´esultat d’exp´erience) ωr´ealise l’´ev´enement A.
Espace probabilis´e : Une probabilit´e Psur l’espace probabilisable (Ω,T) est une application P:T → [0,1]
v´erifiant
(i) P(Ω) = 1
(ii) Si A, B ∈ T sont deux ´ev´enements disjoints on a P(A+B) = P(A) + P(B).
On dit que (Ω,T, P ) est un espace probabilis´e fini. Dans le cas le plus habituel o`u T=P(Ω), on omettra
l’indication de la tribu et on notera de mani`ere concise l’espace probabilis´e (Ω, P ).
Exemple. — L’application P0:P(Ω) →IR+d´efinie par P0(A) = |A|/|Ω|est une probabilit´e sur Ω appel´ee
probabilit´e uniforme sur Ω (on dit aussi qu’on est alors dans le cas d’´equiprobabilit´e)
Propri´ et´ es. — a) P(∅) = 0;P(Ac)=1−P(A)et donc P(A)≤1.
b) Si A⊂Balors P(B) = P(A) + P(B\A)≥P(A)
c) P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B)≤P(A) + P(B)
d) Soit un entier n > 0et A1, . . . , Andes ´ev´enements, on a P(A1∪. . . ∪An)≤n
k=1 P(Ak)et il y a ´egalit´e
lorsque les ´ev´enements sont deux `a deux disjoints (P(A1+. . . +An) = P(A1) + . . . +P(An)).
e) On a la formule de Poincar´e P(A1∪. . . ∪An) = n
k=1(−1)k−11≤i1<...<ik≤nP(Ai1∩. . . ∩Aik).
Si on note Ω1,Ω2, . . . , Ωkles ´ev´enements ´el´ementaires (qui engendrent T) on a le
Corollaire. — Pour tout ´ev´enement A,P(A) = Ωl⊂AP({Ωl}).
On voit donc qu’une probabilit´e sur un ensemble fini est enti`erement d´etermin´ee par la probabilit´e des
´ev´enements ´el´ementaires.
Inversement, une suite (pl)1≤l≤kde r´eels positifs de somme 1 d´etermine une (et une seule) probabilit´e telle
que P({Ωl}) = plpar la formule P(A) = Ωl⊂Apl.
A partir de maintenant, on consid`erera, sauf mention explicite du contraire, le cas o`u la tribu d’´ev´enements est
P(Ω) et les ´ev´enements ´el´ementaires les singletons {ω}et les probabilit´es ´el´ementaires P({ω}) = pω, ω ∈Ω.
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