Exercices - DM5 1 Arbres (6pts) 2 Syllogismes (2pts) 3 Mod`eles

Introduction ` a la logique- Paul ´ Egr´ e - ENS 2016 Exercices - DM5
Exercices - DM5
A rendre le: 4 janvier 2017
Rappel: les devoirs en retard ne sont pas accept´ es.
1 Arbres (6pts)
D´ emontrer les formules suivantes par la m´ ethode des arbres:
1. ¬(P a ∨(P b ∧Qc)) →(¬P a ∧(¬P b ∨ ¬Qc))
2. ∀x(P x ∧Qx)→(∀xP x ∧ ∀xQx)
3. ∃x∀yRxy → ∀y∃xRxy
4. (P a ∧(P c ∨Qb)) →((P a ∧P c)∨(P a ∧Qb))
2 Syllogismes (2pts)
1. Formaliser en logique des pr´ edicats le syllogisme aristot´ elicien suivant (1pt):
(1) Tous les linguistes sont chimistes. Aucun chimiste n’est dentiste. Donc aucun linguiste n’est
dentiste.
2. Par la m´ ethode des arbres, montrer que la conclusion suit bien des pr´ emisses. (1pt)
3 Mod` eles (6pts)
1. Montrer que la formule ∀x∃y(Rxy ∧ ¬Ryx)n’est pas satisfaisable dans une structure
d’interpr´ etation dont le domaine ne comprend qu’un seul ´ el´ ement (1pt).
2. Montrer de mˆ eme que la formule n’est pas satisfaisable dans une structure dont le domaine ne
comprend que deux ´ el´ ements (1pt).
3. Montrer en revanche que la formule est satisfaisable dans une structure dont le domaine comprend
trois ´ el´ ements. Faire un diagramme de ce mod` ele et en donner une description ensembliste pr´ ecise
appropri´ ee (2pts).
4. Montrer que la formule ∀x∃yRxy n’est pas valide (1pt), mais qu’elle est satisfaisable dans
n’importe quel domaine non-vide, fini ou infini (indice: repr´ esenter un mod` ele ` a 1 ´ el´ ement, expli-
quer comment faire pour n´ el´ ements, et pour une infinite d’´ el´ ements) (1pt)
4 Probabilit´ es (6pts)
Une ´ etude sur une population de patients test´ es pour le cancer ` a l’aide d’un nouveau test T comprend
les donn´ ees suivantes (en nombre de patients):
Condition r´ eelle du patient
R´ esultats du test T Cancer Pas de Cancer Total
Positif 3000 4500 7500
N´ egatif 1000 1500 2500
Total 4000 6000 10000

Introduction ` a la logique- Paul ´ Egr´ e - ENS 2016 Exercices - DM5
1. On calcule les probabilit´ es ` a partir des proportions dans la population. Calculer la probabilit´ e
qu’un test soit positif sachant qu’un patient est atteint de cancer, la probabilit´ e qu’un test soit n´ egatif
sachant qu’un patient est atteint de cancer, la probabilit´ e qu’un test soit positif s’il n’est pas atteint de
cancer, et la probabilit´ e que le test soit n´ egatif si le patient n’est pas atteint de cancer. (2pts).
2. On dit que deux ´ ev´ enements Aet Bsont ind´ ependants si et seulement si P r(A|B) =
P r(A|¬B) = P r(A), autrement dit, si la probabilit´ e de An’est pas affect´ ee par l’occurrence ou
la non-occurrence de B. D´ eterminer, ` a partir de la question pr´ ec´ edente, si les ´ ev´ enements “avoir un
test T positif” et “avoir un cancer” sont ind´ ependants du point de vue probabiliste (1pt). Que pensez
vous de l’utilit´ e du test T? (1pt)
3. Montrer que de fac¸on g´ en´ erale, P r(A∧B) = P r(A|B)×P r(B)quand P r(B)6= 0 (1pt). En
conclure que quand Aet Bsont ind´ ependants, P r(A∧B) = P r(A)×P r(B)(1pt).