Exercices - DM5 1 Arbres (6pts) 2 Syllogismes (2pts) 3 Mod`eles
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Introduction à la logique- Paul Égré - ENS 2016 Exercices - DM5 Exercices - DM5 A rendre le: 4 janvier 2017 Rappel: les devoirs en retard ne sont pas acceptés. 1 Arbres (6pts) Démontrer les formules suivantes par la méthode des arbres: 1. 2. 3. 4. 2 ¬(P a ∨ (P b ∧ Qc)) → (¬P a ∧ (¬P b ∨ ¬Qc)) ∀x(P x ∧ Qx) → (∀xP x ∧ ∀xQx) ∃x∀yRxy → ∀y∃xRxy (P a ∧ (P c ∨ Qb)) → ((P a ∧ P c) ∨ (P a ∧ Qb)) Syllogismes (2pts) 1. Formaliser en logique des prédicats le syllogisme aristotélicien suivant (1pt): (1) Tous les linguistes sont chimistes. Aucun chimiste n’est dentiste. Donc aucun linguiste n’est dentiste. 2. Par la méthode des arbres, montrer que la conclusion suit bien des prémisses. (1pt) 3 Modèles (6pts) 1. Montrer que la formule ∀x∃y(Rxy ∧ ¬Ryx) n’est pas satisfaisable dans une structure d’interprétation dont le domaine ne comprend qu’un seul élément (1pt). 2. Montrer de même que la formule n’est pas satisfaisable dans une structure dont le domaine ne comprend que deux éléments (1pt). 3. Montrer en revanche que la formule est satisfaisable dans une structure dont le domaine comprend trois éléments. Faire un diagramme de ce modèle et en donner une description ensembliste précise appropriée (2pts). 4. Montrer que la formule ∀x∃yRxy n’est pas valide (1pt), mais qu’elle est satisfaisable dans n’importe quel domaine non-vide, fini ou infini (indice: représenter un modèle à 1 élément, expliquer comment faire pour n éléments, et pour une infinite d’éléments) (1pt) 4 Probabilités (6pts) Une étude sur une population de patients testés pour le cancer à l’aide d’un nouveau test T comprend les données suivantes (en nombre de patients): Résultats du test T Positif Négatif Total Cancer 3000 1000 4000 Condition réelle du patient Pas de Cancer 4500 1500 6000 Total 7500 2500 10000 Introduction à la logique- Paul Égré - ENS 2016 Exercices - DM5 1. On calcule les probabilités à partir des proportions dans la population. Calculer la probabilité qu’un test soit positif sachant qu’un patient est atteint de cancer, la probabilité qu’un test soit négatif sachant qu’un patient est atteint de cancer, la probabilité qu’un test soit positif s’il n’est pas atteint de cancer, et la probabilité que le test soit négatif si le patient n’est pas atteint de cancer. (2pts). 2. On dit que deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P r(A|B) = P r(A|¬B) = P r(A), autrement dit, si la probabilité de A n’est pas affectée par l’occurrence ou la non-occurrence de B. Déterminer, à partir de la question précédente, si les événements “avoir un test T positif” et “avoir un cancer” sont indépendants du point de vue probabiliste (1pt). Que pensez vous de l’utilité du test T? (1pt) 3. Montrer que de façon générale, P r(A ∧ B) = P r(A|B) × P r(B) quand P r(B) 6= 0 (1pt). En conclure que quand A et B sont indépendants, P r(A ∧ B) = P r(A) × P r(B) (1pt).
