Les relations métriques dans le cercle et les relations trigonométriques

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6666
Réactivation 1
a. 1) Le rayon d’un grand cercle est de 13,5 cm. 2) L’aire d’un anneau est de 61,25πcm2.
b. 1) La longueur de AB
sur l’anneau bleu est de πcm. 2) La longueur de BC est de 0,75πcm.
c. DE
sur l’anneau noir mesure 56°.
d. Les angles au centre FO2G et FO5G sont isométriques.
Réactivation 2
a. 1)
2)
3)
b. 1) Les angles homologues sont isométriques. 2) Les mesures des côtés homologues sont proportionnelles.
c. 0,5 ou 2.
d. Puisque les triangles ABF, BCD et FDE sont semblables au triangle ACE, ces trois triangles sont nécessairement semblables
entre eux. Leurs angles homologues sont donc isométriques.
Page 147
44
9
Page 146
3
RÉVISION
Les relations métriques dans le cercle
et les relations trigonométriques
3
AFFIRMATION JUSTIFICATION
∠FAB ∠EAC Angle commun.
m 0,5m Le point F est le point milieu du segment AE.
m 0,5m Le point B est le point milieu du segment AC.
∆ABF ∆ACE Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs
proportionnelles sont semblables (CAC).
ACAB
AEAF
AFFIRMATION JUSTIFICATION
∠BCD ∠ACE Angle commun.
m 0,5m Le point B est le point milieu du segment AC.
m 0,5m Le point D est le point milieu du segment CE.
∆BCD ∆ACE Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs
proportionnelles sont semblables (CAC).
CECD
ACBC
AFFIRMATION JUSTIFICATION
∠FED ∠AEC Angle commun.
m 0,5m Le point F est le point milieu du segment AE.
m 0,5m Le point D est le point milieu du segment EC.
∆FDE ∆ACE Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs
proportionnelles sont semblables (CAC).
ECED
AEEF
AFFIRMATION JUSTIFICATION
Le point F est le point milieu du segment AE.
∆ABF ∆FDE Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques
sont isométriques (ACA).
FEAF

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e. 1) Les angles homologues sont isométriques. 2) Les côtés homologues sont isométriques.
f. 1) m 2) m 3) m
g. 10 cm
Mise à jour
1. a) 6,8πcm b) 3,6πcm c) 50πcm
2. a) 80° b) 320° c) 120°
3. a) b) c) 
m ABC
πcm m ABC πcm m ABC πcm
d) e) f) 
m ABC
cm m ABC 15,27 cm m ABC 6,25 cm
Mise à jour ( suite )
4. a) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).
b) Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont
semblables (CAC).
c) Deux triangles dont les mesures des côtés homologues sont proportionnelles sont semblables (CCC).
d) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).
5. a) 
x 2,8 cm
y 2,4 cm
Mise à jour ( suite )
6. a) 1)
Page 153
y
y 2,4
3,1
6,2
2,8
2,8  x
3,1
6,2
Page 152
1331
90
m ABC
2 ππ
114
360
m ABC
2 π7
125
360
m ABC
24,2
220
360
133
90
116
45
91
30
m ABC
2 π3,8
70
360
m ABC
2 π3,2
145
360
m ABC
2 π4,2
130
360
Page 151
BCAEEC
AFFIRMATION JUSTIFICATION
Le point B est le point milieu du segment AC.
∆ABF ∆BCD Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques
sont isométriques (ACA).
BCAB
AFFIRMATION JUSTIFICATION
Le point D est le point milieu du segment EC.
∆FDE ∆BCD Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques
sont isométriques (ACA).
DCED
b) 
x 3,03 cm
y 2,78 cm
5
y 3,8
3,8
5
2,3
x
c) 
x 4 cm
y 1,25 cm
y
2,5
2
x
2,2
4,4 d)
x
24,325,42
x 3,27 cm
y 4,1 cm
y
5,4
3,27
4,3
AFFIRMATION JUSTIFICATION
∠ADE ∠CBF Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques.
∠DEA ∠BFC Angle droit.
∠DAE ∠BCF m ∠DAE 90° m ∠ADE
m ∠BCF 90° m ∠CBF et m ∠ADE m ∠CBF.
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques.
∆ADE ∆BCF Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques
sont isométriques (ACA).
BCAD

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2)
b) Non, car la diagonale d’un parallélogramme n’est pas la bissectrice des angles qu’elle partage. Donc,
m∠ADE m∠CDF.
7. a) 1) 120° 2) 60° 3) 120°
b)
8. ∆AGF ∆HFE
( m )
26,2428,42
m 5,62 m
m 6,93 m
m m 6,93 5,62
1,31 m
Non, car m 1,31 m et le diamètre de la trappe d’aération est de 1,36 m.
Mise à jour ( suite )
9. a) L’arc intercepté mesure 20°. b) La longueur de l’arc intercepté est de cm.
10. L’aire du carré qui correspond au fond de cette boîte est de 900 cm2.
11. a) La mesure d’un des deux arcs de cercle est de 60°. b) L’aire de l’hélice est environ de 978,33 cm2.
Mise à jour ( suite )
12. a) 1)
2)
Page 155
35π
9
Page 154
AH
HFAF
AF
m AF
6,24
6,24
5,62
m AF
m EF
m GF
m HF
HF
HF
68
AFFIRMATION JUSTIFICATION
∠ABE ∠CDF Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques.
∠AEB ∠CFD Angle droit.
∠DCF ∠BAE m ∠DCF 90° m ∠CDF
m ∠BAE 90° m ∠ABE et m ∠ABE m ∠CDF.
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques.
∆ABE ∆CDF Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques
sont isométriques (ACA).
CDAB
AFFIRMATION JUSTIFICATION
∠DOC ∠AOB Les angles opposés par le sommet sont isométriques.
∠OAB ∠OCD Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques.
Les rayons d’un même cercle sont isométriques.
∆ABO ∆CDO Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques
sont isométriques (ACA).
OAOC
AFFIRMATION JUSTIFICATION
∠ACD ∠EAB Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques.
∠ADC ∠BEA Angle droit.
∆ACD ∆ABE Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).
AFFIRMATION JUSTIFICATION
∠EAB ∠EBC Les angles EAB et ABE sont complémentaires.
Les angles ABE et EBC sont complémentaires.
Donc, les angles EAB et EBC sont isométriques.
∠AEB ∠BEC Angle droit.
∆ABE ∆BCE Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).

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b) ( m )
2452602
m 75 cm
1) m 45 cm 
m 27 cm m 36 cm
2) m 60 cm 
m 48 cm m 36 cm
13. Soit
a, l’altitude de l’hélicoptère.
a
210 800
a 103,92 m
L’altitude de l’hélicoptère est environ de 103,92 m.
14. 2π
r 2π r 2π r 2π r 80
(90 60 60 120) 80
80
r 13,89 m
Les cercles qui ont servi à la conception de cette glissade ont tous un rayon d’environ 13,89 m.
15. Longueur de la bordure extérieure : Longueur de la bordure intérieure : 
x 43,98 m y 25,13 m
Longueur de la bordure latérale : 35 20 15 m
3 43,98 3 25,13 6 15 297,35 m
La longueur de la bordure de ciment est environ de 297,35 m.
Les relations mettant à profit des arcs, des angles et un cercle
Problème
La mesure du rayon du cercle qui supporte l’arc BC est environ de 1,96 m.
Activité 1
a. 1) 2) –
b. Les pentes sont opposées et inverses.
c. Si une droite est tangente à un cercle, alors elle est perpendiculaire à un rayon en son extrémité.
Activité 1 ( suite )
d.
Page 158
3
4
4
3
Page 157
Page 156
3.1
section
y
2 π20
72
360
x
2 π35
72
360
2π
r 330
360
2π
r
360
120
360
60
360
60
360
90
360
a
180
60
a
EBAE
m EB
45
60
75
m AE
60
60
75
AB
EBEC
m EB
60
45
75
m EC
45
45
75
BC
AC
AC
AFFIRMATION JUSTIFICATION
Côté commun.
Les rayons d’un même cercle sont isométriques.
Par la relation de Pythagore :
( m )
2
( m )
2
( m )
2et
( m )
2
( m )
2
( m )
2.
Puisque , alors .
DEBEODOB
DEOEODBEOEOB
DEBE
ODOB
OEOE

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e. Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC).
f. 1) Les angles BOE et DOE sont isométriques, alors les arcs BC et DC sont isométriques.
2) Puisque est un diamètre, m ABC m ADC 180°;
Puisque m ∠AOB 180° m ∠BOE et m ∠AOD 180° m ∠DOE et que m ∠BOE m ∠DOE, les angles AOB
et AOD sont isométriques. Les arcs AB et AD sont isométriques.
g. 1) Les deux parties de la corde sont égales. 2) Les deux parties de l’arc sont égales.
3) Les deux parties de l’arc sont égales.
h. Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC).
i. Les hauteurs homologues de deux triangles isométriques sont isométriques.
j. La distance qui sépare le centre d’un cercle de chacune des cordes isométriques de ce cercle est toujours la même.
k.
Plusieurs réponses possibles. Exemple :
l. Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC).
m.Deux angles au centre isométriques interceptent deux arcs isométriques.
n. Les mesures des arcs interceptés par deux droites parallèles sécantes à un cercle sont les mêmes.
Activité 2
a. 1) L’angle . 2) L’angle . 3) L’angle .
b. m ∠67,5°, m ∠22,5° et m ∠45°.
c. 1) 135° 2) La somme des mesures des arcs BH et DG est le double de celle de l’angle .
d. 1) 45° 2) La mesure de l’arc BC est le double de celle de l’angle .
2
1
3
2
1
3
1
2
Page 159
AC
70
AFFIRMATION JUSTIFICATION
Côté commun.
Les rayons d’un même cercle sont isométriques.
Par la relation de Pythagore :
(
m )
2
(
m )
2
(
m )
2et
( m )
2
(
m )
2
(
m )
2.
Puisque , alors .
∆AEO ∆BEO Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC).
EBAEOBOA
EBOEOBAEOEOA
EBAE
OBOA
OEOE
AFFIRMATION JUSTIFICATION
Côté commun.
Les rayons d’un même cercle sont isométriques.
Par la relation de Pythagore :
(
m )
2
(
m )
2
(
m )
2et
( m )
2
(
m )
2
(
m )
2.
Puisque , alors .
∆DOF ∆COF Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC).
CFDFODOC
DFOFODCFOFOC
CFDF
ODOC
OFOF
AFFIRMATION JUSTIFICATION
Les rayons d’un même cercle sont isométriques.
Les rayons d’un même cercle sont isométriques.
∠AOD ∠BOC m ∠AOE m ∠AOD m ∠DOF 180°
m ∠BOE m ∠BOC m ∠COF 180°
Puisque ∠AOE ∠BOE et ∠DOF ∠COF, alors ∠AOD ∠BOC.
∆AOD ∆BOC Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques
sont isométriques (CAC).
ODOC
OBOA