Calcul des Probabilités - Intranetetu... (27/02/2006

MA 311 ESISAR
Calcul
des
Probabilités

Le monde des phénomènes scientifiques peut se diviser en deux:
•Il y a les phénomènes dits déterministes, ce sont des phénomènes dont on est capable de mod-
éliser précisément l’évolution avec des équations. Une fois résolues, ces équations nous permettent
de connaitre exactement le comportement du phénomène.
Exemples: La chute d’une pierre, le mouvement des planètes...
•Les autres sont des phénomènes aléatoires (du latin alea, dé), c’est à dire que le hasard
intervient dans leur évolution. Ainsi toute modélisation exacte du comportement de ce genre de
phénomène devient chimérique...
Exemples: L’évolution du cours du temps d’une action, la propagation d’une épidémie, l’arrivée
de personnes à un guichet, l’apparition d’erreurs lors de la transmission d’un signal, etc...
•C’est en réalité plus compliqué: certains phénomènes sont déterministes, mais si compliqués à
modéliser qu’on les considère comme étant aléatoires.
Exemples: Le mouvement de certaines particules dans un fluide, le lancer d’un dé...
Au vu de l’importance (économique, politique...) des domaines où apparaissent les phénomènes
aléatoires, on ne peut pas se permettre de ne pas les étudier sous prétexte qu’on ne pourra jamais
les maitriser.
La théorie mathématique des probabilités essayera donc non pas de prédire de façon exacte
l’évolution d’un phénomène, mais de quantifier la possibilité qu’il évolue dans tel ou tel sens.

Chapitre I
Le vocabulaire mathématique des
probabilités
La théorie mathématique des probabilités, comme les autres théories mathématiques, possède un vo-
cabulaire spécifique précis qu’il faudra maîtriser.
1 Quelques rappels de théorie des ensembles
On pourrait résumer ce cours en ces termes: calculer des probabilités, c’est mesurer la taille d’ensembles.
Ceci implique qu’il faudra être à l’aise avec les opérations habituelles des ensembles, que l’on va
rappeler.
Définition:
Un ensemble est une collection d’élements. Dire que deux ensembles sont égaux, c’est dire qu’ils ont
les mêmes éléments.
Définition:
Soient A, B des ensembles.
•On dit que Aest inclus dans Bsi tout élément de Aest aussi un élément de B.Onlenote
A⊂B.
•On appelle union de Aet Bl’ensemble, noté A∪B, des éléments qui sont dans Aou dans B
•On appelle intersection de Aet Bl’ensemble, noté A∩B, des éléments qui sont dans Aet
aussi dans B
•On appelle complémentaire de Al’ensemble des éléments qui ne sont pas dans A.Onlenote
Aou cA
•Si Eest un ensemble, on dit que Aest une partie de Esi A⊂E.
•Deux ensembles Aet Bsont dits disjoints si A∩B=∅
•On appelle Aprivé de Bl’ensemble, noté A\Bdes éléments qui sont dans Amais pas dans B
Enfin, rappelons que pour montrer que A=B,ondoitprouverqueA⊂Bet B⊂A.

MA311 I. Le vocabulaire mathématique des probabilités 3
Remarque importante:
En probabilité, au lieu d’écrire A∩B, on écrira souvent A, B
2 L’ensemble fondamental
On considère une expérience aléatoire, c’est à dire une expérience dont le résultat ne peut être prévu.
Exemple(s):
1. On lance un dé, et on note le chiffre obtenu.
2. On compte le nombre de tentatives qu’il faut avant d’obtenir un 6 avec un dé.
3. On choisit un nombre réel au hasard entre 0 et +∞
Définition:
•Chacun des résultats possibles de cette expérience s’appelle un évènement élémentaire,ou
une éventualité.
•L’ensemble de tous les évènements élémentaires, c’est à dire l’ensemble de tous les résultats
possibles de l’expérience, s’appelle l’ensemble fondamental associé à cette expérience. On
peut l’appeller aussi l’univers associé à l’expérience
•L’ensemble fondamental se note Ω
Exemple(s):
Reprenons les 3 exemples cités ci dessus:
1. Dans cette expérience, 6est un évènement élémentaire. L’ensemble fondamental associé est
{1,2,3,4,5,6}
2. Dans cette expérience, 1ou 34 sont des évènements élémentaires. L’ensemble fondamental associé
est {1,2,...}=N∗
3. Dans cette expérience, 1ou 4,678920233 sont des évènements élémentaires. L’ensemble fonda-
mental associé est R+.
L’ensemble Ωpeut être simple comme très compliqué. On même parfois choisir plusieurs façons de le
décrire. La notion que l’on va rencontrer continuellement sera la notion d’évènement:
Définition:
Un évènement est une partie de Ω. C’est un ensemble d’éventualités.

MA311 I. Le vocabulaire mathématique des probabilités 4
Exemple(s):
1. Dans l’expérience 1, "le dé fait un nombre pair" est un évènement. C’est la partie de Ωégale à
{2,4,6}
2. Dans l’expérience 2, "j’ai besoin d’au moins 3 lancers pour obtenir un 6" est un évènement. C’est
la partie de Ωégale à {3,4,...}
3 Notion de probabilité
On étudie un phénomène aléatoire, et on note Ωl’ensemble des résultats possibles.
Les résultats de l’expérience sont impossibles à prédire: néammoins, on veut savoir si un évènement
a plus de chances de se produire qu’un autre. Il va donc falloir quantifier la probabilité qu’un évènement
se réalise. L’idée naturelle est donc de considérer une application qui prend en entrée un évènement
auquel elle va associer un nombre: plus ce nombre sera grand, plus l’évènement aura de chances de se
produire; à l’inverse si le nombre est faible, l’évènement aura peu de chances de se produire.
Définition:
Soit Ωl’univers d’une expérience aléatoire. On appelle probabilité sur Ωune application
P:{ensemble des évènements }→[0,1]
A→ P(A)
qui vérifie:
1. P(Ω) = 1
2. P(A∪B)=P(A)+P(B)si Aet Bsont disjoints.
Exemple(s):
Si Ωest un ensemble fini, on vérifie sans difficulté que l’application P:A→ card(A)
card(Ω) est une probabilité.