Feuille 2 bis : Trigonométrie

Feuille 2 bis : Trigonométrie
Semestre 1 - 2014
. On munit R2 du repère orthonormé direct (O,~i, ~j). Considérons dans cet
espace les vecteurs ~u = (3, 1) et ~v = (−2, 2). On eectue une rotation d'angle π4 du repère de base, sans
toucher aux vecteurs ~u et ~v . On obtient une nouvelle base (centrée toujours en O) notée (~i0 , ~j 0 ).
0 0
a. Exprimer les vecteurs de la nouvelle base ~i , ~
j en fonction des vecteurs de l'ancienne base.
b. Donner les composantes de ~
u et ~v dans la nouvelle base.
c. Quelle rotation faudrait-il eectuer pour tourner la base (~i, ~
j) de manière à ce que le vecteur ~u
forme un angle nul avec le premier vecteur de cette nouvelle base ?
Exercice 1. Rotation de base
Exercice 2. Nombres complexes
. Soient
z1 =
a.
b.
c.
d.
e.
√
√
√
√
6 + i 2, z2 = 3 + i 3.
Calculer z1 z2 sous forme algébrique.
Mettre z1 et z2 sous forme trigonométrique.
Calculer z1 z2 sous forme trigonométrique.
En déduire le cosinus et le sinus de 5π
12 .
Utiliser le même raisonnement pour trouver le cosinus et le sinus de
π
12
(en passant par z1 /z2 ).
. Résoudre sur I les équations suivantes :
sin(2x) + sin(7x) = 0 où I = 5 , .
sin(3x) = cos(2 − 3x) où I = [0, π[.
−π π cos(3x − π6 ) + cos(x − 2π
3 ) = 0 où I =
4 , 4 .
Exercice 3. Equations trigonométriques
a.
b.
c.
−π
π
5
. On se place dans R2 muni d'un repère orthonormé (O,~i, ~j). Donner
les composantes polaires des vecteurs suivants :
Exercice 4. Composantes polaires
a.
~u = (3, −3)
b.
~v = (−8, 0)
Exercice 5. Formules d'Euler
. A l'aide des formules d'Euler, linéariser les quantités suivantes
3
a.
sin (x)
b.
cos2 (x) sin2 (x)
c.
cos(2x) sin3 (x)
1