MS TD1

Mécanique du solide TD 1
ENSET-M Mécanique du solide
GMSI & GIL 1 TD de Calcul Vectoriel et Torseurs TD 1
Exercice 1-1:
Soient −→ A=(a1,a2,a3)T,−→ B=(b1,b2,b3)Tet −→ C=
(c1,c2,c3)Ttrois vecteurs libres dans le repère
R(O,−→ x,−→ y,−→ z). Vérifier la relation :
−→
A∧(−→ B∧
−→
C ) =
−→
B .(−→ A .−→ C ) −
−→
C .(−→ A .−→ B )
Exercice 1-2:
Supposons deux vecteurs −→ A et −→ B non nuls.
Considérons l’équation :
−→
A∧
−→
X=
−→
B
1) Montrer que cette équation n’admet de so-
lution que si les vecteurs −→ A et −→ B sont orthogo-
naux.
2) Montrer que si −→ X0est solution de l’équation,
alors le vecteur −→ X0+λ−→ A est également solution;
avec λun réel quelconque.
3) Effectuer le produit vectoriel à gauche par le
vecteur −→ A . En déduire la solution de cette équa-
tion.
Exercice 1-3:
On considère les trois vecteurs exprimés dans le
repère orthonormé direct R(O,−→ x,−→ y,−→ z) :
−→
U(1,0,0), −→ V (−2,2,0), −→ W(c1,c2,c3)
ainsi que les trois points de coordonnées :
−→
A (0,0,1), −→ B (0,1,0), −→ C (1,−3,−1)
Déterminer les nombres réels c1,c2et, c3pour
que la somme des trois glisseurs
{τ1}=(−→
U
−→
0)A
{τ2}=(−→
V
−→
0)B
{τ2}=(−→
W
−→
0)C
soit équivalente à un couple dont on calculera
le moment en M.
Exercice 1-4:
1) Montrer que l’automoment d’un torseur est
un invariant scalaire pour le torseur.
2) Montrer que le comoment de deux torseurs
est indépendant du point choisi pour le vecteur
moment.
Exercice 1-5:
Soient, dans le repère R(O,−→ x,−→ y,−→ z), les deux
torseursτ1et τ2.
{τ1}=(−→
F1
−→
0)A1
{τ2}=(−→
F2
−→
0)A2
On donne :
A1(a1,0,0), A2(0, a2,0),−→ F1=(x,y,0)T,−→ F2=(0, 0, z)T
1) Trouver le torseur τ3tel que :
{τ1}+{τ2}+{τ3}={0}
2) Trouver les coordonnées du point A(a,b,c),
pour lequel le torseur τ3est nul en A.
Exercice 1-6:
Dans un repère R(O,−→ x,−→ y,−→ z) orthonormé et
direct, on considère les torseurs
{τ1}=(−→
R1
−→
M1(O))O
et {τ2}=(−→
R2
−→
M2(O))O
dont les éléments de réduction au point O sont
respectivement définis par :
(−→
R1=cosα−→ x−sinα−→ y
−→
M1(O) = −a(sin α−→ x+cosα−→ y)
et
(−→
R1=cosα−→ x+sinα−→ y
−→
M1(O) = −a(sin α−→ x−cosα−→ y)
où aet αsont des constantes non nulles.
1) Calculer les invariants scalaires des torseurs
τ1et τ2et déduire leur(s) nature(s).
2) Calculer −→ M1(O′) pour un point O′de coordon-
nées (0,1,1).
3) Déterminer l’équation de l’axe central de τ2
et calculer le moment −→ M2(P) en un point P de
cet axe.
4) Déterminer les valeurs de αpour lesquelles le
torseur τ3=τ1+τ2est un glisseur.
GMSI & GIL 1 1 ENSET Mohammedia