Convergence en loi. Théorème de la limite centrale.

Université Pierre et Marie Curie 2013-2014
Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 10 (semaine du 2 au 6 décembre 2013)
Convergence en loi. Théorème de la limite centrale.
Convergence en loi
1. Soient (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires réelles définies sur un espace
(Ω,F,P)et fune application continue de Rdans R. On suppose que (Xn)n∈Nconverge
en loi vers une variable aléatoire X.
Montrer que la suite (f(Xn))n∈Nconverge en loi vers f(X).
Solution de l’exercice 1. Tout d’abord, f(Xn)est bien une variable aléatoire comme
composée de la variable aléatoire Xnet de l’application fqui est continue. Si ϕest une
application de Rdans Rcontinue bornée, remarquons que ϕ◦fest également continue
bornée. L’hypothèse de convergence en loi de la suite (Xn)n∈Nvers Ximplique lim E[ϕ◦
f(Xn)] = E[ϕ◦f(X)] que l’on peut écrire lim E[ϕ(f(Xn))] = E[ϕ(f(X))]. Ceci étant
valable pour toute ϕcontinue bornée, (f(Xn))n∈Nconverge en loi vers f(X).
2. a. Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires réelles qui converge en loi vers une
variable aléatoire réelle constante a. Montrer que la convergence a lieu aussi en probabilité.
b. Soit (Xn)n≥1une suite indépendante de variables aléatoires réelles de même loi de
Cauchy de paramètre 1. Soit Sn=Pn
k=1 Xk. Etudier les convergences en probabilité et
en loi des suites (1
√nSn)n≥1,(1
nSn)n≥1et (1 n2Sn)n≥1.
Indication : la fonction caractéristique de la loi de Cauchy est donnée par φ(t) = e−|t|.
Solution de l’exercice 2. a. Soit ε > 0et fεdéfinie par fε(x) = ]a−ε,a+ε[c(x) + 1
ε|x−
a|]a−ε,a+ε[. Cette fonction est continue bornée, donc la suite (E[fε(Xn)])n≥1converge vers
E[fε(a)] = 0. Comme
P(|Xn−a≥ε|) = E[]a−ε,a+ε[c(Xn)] ≤E[fε(Xn)],
(Xn)n≥1converge en probabilité vers a.
b. La fonction caractéristique de 1
√nSnest donnée par
φ(t) = E[e
it
√nSn] = E[e
it
√nX1]n=e−|t|√n,
car les Xnsont indépendantes. Comme la suite e−|t|√nn≥1tend vers 1{0}(t)qui définit
une application non continue en 0. Donc la limite des fonctions caractéristiques n’est pas
une fonction caractéristique, et (1
√nSn)n≥1ne converge ni en loi, ni en probabilité.
1

La fonction caractéristique de 1
nSnest φ(t) = e−|t|. La suite (1 nSn)n≥1converge donc en
loi vers une variable aléatoire de loi de Cauchy. Mais elle ne converge pas en probabilité. En
effet, sinon, la suite (Sn
n−S2n 2n)n≥1convergerait en probabilité, donc aussi en loi, vers 0. Or,
la fonction caractéristique de Sn
n−S2n 2nest donnée par φ(t) = E[eit
2n(X1+···+Xn−(Xn+1+···+X2n))] =
e−|t|, qui ne converge pas vers 1, fonction caractéristique de la variable aléatoire 0.
La fonction caractéristique de 1
n2Snest φ(t) = e−|t|
nqui converge vers 1. Ainsi, la suite
(1
n2Sn)n≥1converge en loi et donc en probabilité vers 0.
3. Soient Xune variable aléatoire réelle, (Xn)n∈Net (Yn)n∈Ndeux suites de v.a.r.
a. Montrer que pour tout t∈R,a > 0et n∈N,
|φXn+Yn(t)−φXn(t)| ≤ 2P(|Yn|> a) + E[]−∞,a](|Yn|)|eitYn−1|].
b. Montrer que si (Xn)n∈Nconverge en loi vers Xet (Yn)n∈Nconverge en loi vers 0,
alors la suite (Xn+Yn)n∈Nconverge en loi vers X.
c. Montrer que la convergence en loi de (Xn)n∈Nvers Xn’implique pas la convergence
en loi de (Xn−X)n∈Nvers 0.
Solution de l’exercice 3.
a) Pour tous t∈R,a > 0et n∈N,
|φXn+Yn(t)−φXn(t)|=|E[eitXn(eitYn−1)]| ≤ E[|eitYn−1|]
=Z{|Yn|>a}|eitYn−1|dP+Z{|Yn|≤a}|eitYn−1|dP
≤2P(|Yn|> a) + Z{|Yn|≤a}|eitYn−1|dP
b) En fait, Ynconverge en probabilité vers 0. Soit ε > 0. Il existe a0>0tel que
pour y≤a0,|eit −1| ≤ ε. De plus, il existe n0∈Ntel que pour tout n≥n0,
P(|Yn|> a0)≤ε. Donc, |φXn+Yn(t)−φXn(t)| ≤ 3ε. La convergence en loi de (Xn)n∈N
vers Ximplique qu’il existe n1(que l’on peut prendre plus grand que n0), tel que,
pour tout n≥n1,|φXn(t)−φX(t)| ≤ ε. On a montré que pour tout n≥n1,
|φXn+Yn(t)−φX(t)| ≤ 4εd’où la convergence en loi demandée.
Pour éviter les on peut utiliser la notion de limite supérieure. Pour tout apositif
on a :
|φXn+Yn(t)−φX(t)| ≤| φXn+Yn(t)−φXn(t)|+|φXn(t)−φX(t)|
≤2P[|Yn|≥ a] + E[11[0,a](|Yn|)|eitYn−1|]+ |φXn(t)−φX(t)|
≤2P[|Yn|≥ a] + sup
x∈[0,a]|eitx −1|+|φXn(t)−φX(t)|
2

or la limite supérieur d’une somme est plus petite que la somme des limites supé-
rieures et si une suite converge sa limite supérieure est égale à sa limite donc pour
tout réel apositif :
limn|φXn+Yn(t)−φX(t)| ≤ 2limnP[|Yn|≥ a] + sup
x∈[0,a]|eitx −1|+limn|φXn(t)−φX(t)|
= sup
x∈[0,a]|eitx −1|,
la dernière égalité provenant de la convergence en loi de Xnvers Xet de la conver-
gence en probabilité de Ynvers 0. Ainsi pour tout aréel positif :
limn|φXn+Yn(t)−φX(t)|≤ sup
x∈[0,a]|eitx −1|,
en faisant tendre avers 0on obtient donc limn|φXn+Yn(t)−φX(t)|= 0.
Or (|φXn+Yn(t)−φX(t)|)nest une suite de termes positifs donc elle est convergente
et converge vers 0.
c) On prend Xde loi symétrique (Xa la même loi que −X), et on pose Xn=−X.
Alors Xnconverge en loi vers X, mais Xn−Xconverge en loi vers −2X.
Applications du TCL
4. Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Poisson
de paramètre 1. Soit Sn=Pn
k=1 Xk. Rappeler la loi de Snet calculer la limite de la suite
e−nPn
k=0
nk
k!n≥1.
Solution de l’exercice 4. Une somme de v.a. de Poisson indépendantes est une v.a. de
Poisson dont le paramètre (qui est aussi l’espérance et la variance) est la somme de ceux
des v.a. qu’on a ajoutées. Ainsi Snsuit une loi de Poisson de paramètre n. En particulier,
si k∈N, alors e−nnk
k!=P(Sn=k). En sommant, on obtient
e−n
n
X
k=0
nk
k!!=P(Sn≤n) = P(Sn/n ≤1).
La loi des grands nombres nous dit que Sn/n →E[X1] = 1 p.s. Ainsi Sn/n est proche de
1, mais ce résultat ne nous dit pas s’il est un peu plus grand ou un peu plus petit. Pour
avoir des informations sur Sn/n −1, (et en particulier son signe), on applique le théorème
de la limite centrale : Sn−n
√n
loi
−→
n→∞ N(0,1).
D’après le corrolaire 4.2.1 du cours, on en déduit que, si Ysuit une loi normale standard,
alors, lorsque n→ ∞,
P(Sn/n ≤1) = P(Sn−n
√n≤0) →P(Y≤0) = 1/2.
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L’égalité P(Y≤0) = 1/2découle du fait que Yest symétrique.
Ainsi, on a montré que
e−n
n
X
k=0
nk
k!!→1/2.
5. a. Soit (pn)n≥0une suite de réels dans ]0,1[ telle que limn→+∞npn=λ > 0. Soit
(Xn)n≥0une suite de v.a. telles que pour tout n:Xn∼ B(n, pn)et Xune v.a. de loi de
Poisson paramètre λ. Montrer que (Xn)n≥0converge en loi vers X.
b. Soit (Xn)n≥0une suite de v.a. réelles indépendantes de même loi N(0,1). Etudier
le comportement asymptotique en loi de la suite Yn=1
nPn
k=1 √kXk.
Solution de l’exercice 5. a. Afin de montrer la convergence en loi de (Xn)n≥0vers X.
Montrons que φXn(t)−−−−→
n→+∞φX(t)pour tout t∈R, où φXdesigne la fonction caractéris-
tique d’une variable aléatoire X.
φXn(t) = 1−pn+pneitn
= exp nln(1 −pn+pneit)
= exp −npn(1 −eit) + npnnoù n−−−−→
n→+∞0
∼nexp −npn(1 −eit)
−−−−→
n→+∞eλ(eit−1) =φX(t).
b. Vu la forme de la variable de Yn, on est tenté d’appliquer la loi des grands nombres.
Cependant on ne peut pas l’appliquer car les variables √kXkne sont pas identiquement
distribuées. On va donc à nouveau utiliser les fonctions caractéristiques afin de démontrer
un résultat de convergence en loi. Les variables aléatoires Xnsont indépendantes, donc
Ynest une variable gaussienne de moyenne 0et de variance n(n+1)
2n2donc :
φYn(t) = e−n(n+1)
2n2t2−−−−→
n→+∞e−t2/2.
On a donc montré que (Yn)n≥1converge en loi vers une loi normale centrée réduite N(0,1
2).
6. On suppose que l’intervalle de temps entre deux voitures successives à un passage
à niveau (peu fréquenté) suit une loi exponentielle de moyenne 30 minutes. On suppose de
plus qu’il y a indépendance entre les intervalles de temps séparant les instants de passage
de voitures. Calculer (une valeur approchée) de la probabilité qu’il y ait plus de 50 voitures
qui empruntent le passage à niveau une journée donnée.
Solution de l’exercice 6. Soit (Xn)n≥0une suite de v.a. i.i.d suivant la loi exponentielle
de paramètre 1/30. On a alors E[X1] = 30 et V ar(X1) = 900.Xnreprésente le temps
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(en minutes) qui sépare le passage de la (n−1)ième voiture de la n−ième voiture. On
considère ensuite Sn=X1+. . . Xn.Sndonne l’instant de passage de la n−ième voiture.
On veut déterminer
P[S50 ≤24 ×60].
Or on a
P[S50 ≤24 ×60] = PS50 −50 ×30
30 ×√50 ≤24 ×60 −50 ×30 30 ×√50 ≈F−2
√50,
où Fest la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, l’approximation étant
donnée par le TCL. De plus F−2
√50 ≈F(−0.283) = 1 −F(0.283). En utilisant une table
ou un logiciel on obtient F(0.283) ≈0.61. On a donc P[S50 ≤24 ×60] ≈0.39.
7. La somme des résultats de 10000 lancers d’un même dé est 35487. Pensez-vous que
ce dé soit truqué ? On pourra utiliser l’égalité approchée R+∞
3,29 e−x2
2dx '0,0005√2π.
Solution de l’exercice 7. Une suite de lancers de dés peut être modélisée par une suite
(Xn)n≥1de variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur l’ensemble fini
{1,...,6}. On a
E[X1] = 1
6(1+2+3+4+5+6)= 7 2,
E[X2
1] = 1
6(12+ 22+ 32+ 42+ 52+ 62) = 91 6,
Var(X1) = E[X2
1]−E[X1]2=35
12.
Notons Sn=X1+. . . +Xnla somme des npremiers lancers. Le théorème central limite
affirme que l’on a la convergence en loi
Sn−7n
2
pnVar(X1)
(d)
−→
n→∞ N(0,1).
Faisons l’approximation consistant à dire que pour n= 10000, la loi de Sn−7n
2
√nVar(X1)est égale
à la loi normale N(0,1). On a alors, pour tout a > 0, et avec n= 10000,
P7n
2−pnVar(X1)a≤Sn≤7n 2+pnVar(X1)a=1
√2πZa
−a
e−x2
2dx.
Prenons a= 3,29. Nous avons
1
√2πZ3,29
−3,29
e−x2
2dx = 1 −21
√2πZ+∞
3,29
e−x2
2dx = 0,999.
Ainsi,
P(35000 −562 ≤S10000 ≤35000 + 562) '0,999.
Nous observons une somme qui appartient à cet intervalle. Nous décidons donc de dire
que la somme obtenue est compatible avec l’hypothèse que ce dé est équilibré.
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