COURS DE MECANIQUE 2ème année
publicité
AVANT-PROPOS COURS DE MECANIQUE 2ème année A noter que la numérotation des paragraphes adoptée ici est calquée sur celle du cours oral afin de faciliter le suivi du cours magistral, mais ne répond pas aux normes de présentation usuelles d'un document écrit. Catherine POTEL, Philippe GATIGNOL Chapitre 1. CINEMATIQUE DU SOLIDE Université du Maine - UFR Sciences et Techniques Catherine Potel, Philippe Gatignol Université du Maine, Le Mans Catherine Potel, Philippe Gatignol Université du Maine, Le Mans Chapitre 1 Cinématique du solide I RAPPELS DE CINEMATIQUE DU POINT 1 Repères et bases DEUST VAS 2 Chapitre 1 Cinématique du solide c) Coordonnées d'un point - composantes d'un vecteur Un vecteur a des composantes sur une base r r r B = e x , e y , e z . Ainsi, d z z a) d i ⎯ ⎯→ O ey x x d) où ex b) ⎯ ⎯→ d . désigne un vecteur "rentrant" dans le plan de la feuille . désigne un vecteur "pointant" vers le lecteur (figure 1.2). e) d (1.2) Coordonnées cylindriques d i d i) i Coordonnées polaires dans le plan d b g i r r H étant un point quelconque de O; e x , e y , on considère la droite OH sur laquelle on g Terminologie et notations : on parle alors du repère O , x y z ou du repère d'origine O et de r r r base B = e x , e y , e z , noté selon les cas : r r r R , O, x y z , O; e x , e y , e z ou O,B . g - 1.1 - sont appelées "coordonnées On considère un plan Π orienté conformément au sens de sa normale, soit Oz, et un repère r r r r r R = O; e x , e y , e z . Le repère O; e x , e y est donc un repère positif du plan. i la base orthonormée associée au repère R . b i cartésiennes du point M dans le repère R ". Nous les noterons x, y, z. ⎯ ⎯→ r r r Cela revient à dire que OM = xe x + ye y + ze z Un repère R de l'espace est défini par la donnée d'un point de l'espace appelé origine, soit O. soit de trois directions orientées x, y, z perpendiculaires deux à deux r r r soit de trois vecteurs libres unitaires, orthogonaux deux à deux, soit B = e x , e y , e z , i b g i A tout point M de l'espace, on associe le vecteur libre OM . ⎯ ⎯→ r r r Les composantes de OM sur la base e x , e y , e z Repère orthonormé direct i g b Repère cartésien. Coordonnées cartésiennes d Figure 1.2 Catherine Potel signaler dans quelle base on a projeté le vecteur. r r r Soit R = O; e x , e y , e z un repère orthonormé positif donné. Représentation plane : gd laquelle il est projeté. Il faut donc toujours Figure 1.3 b Figure 1.1 b des composantes différentes suivant la base sur Un point M a pour coordonnées dans le repère R = O,B : M x, y, z Règle du tire bouchon : r r r rotation de e x vers e y : progression selon e z (figure 1.1) ey B z Remarque fondamentale. Un même vecteur a H i (1.1) y y est indirecte. ex . ez OM x y ex troisième selon la "règle du tire-bouchon" ou selon la "règle des trois r r r doigts", B = e x , e y , e z est une base orthonormée directe. Sinon, elle d également noté : ez Si, de plus, deux des vecteurs de la base définissent le sens positif du d r r r OM = xe x + ye y + ze z , M r r r B = e x , e y , e z est une base orthonormée si et seulement si : r r r ⎧⎪e x ⊥e y ⊥e z (vecteurs orthogonaux deux à deux) ⎨ er = er = er = 1 (vecteurs unitaires) y z ⎩⎪ x ey i ⎯ ⎯→ Base orthonormée directe ez DEUST VAS 2 Université du Maine - Le Mans ⎯ ⎯→ choisit une orientation qui n'est pas nécessairement celle du vecteur OH . On définit ainsi un axe Ox1 . On désigne par : Catherine Potel - 1.2 - Université du Maine - Le Mans Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2 y ρ = OH O z Η ϕ . ρ ϕ : la mesure algébrique OH sur Ox1 . : l'angle algébrique Ox , Ox1 , défini modulo 2π. ρ et ϕ constituent un couple de "coordonnées polaires" x1 x b g Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2 ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ r r r r r d Sachant ensuite que OM = xe x + ye y + ze z et aussi que OM = ρeρ + ze z , on en déduira g b b alors les relations entre x, y, z et ρ, ϕ , z g Obtention des relations cherchées : associé au point H. Figure 1.4 ey eϕ Remarques : A un point H correspond une infinité de couples de coordonnées polaires : il y a déjà l'infinité ρ, ϕ + 2kπ k ∈ si l'on change le choix de l'orientation de la droite OH , l'axe Ox1 est changé en son a f b g opposé, donc ρ en -ρ et ϕ en ϕ + π (modulo 2π). - on a donc la double infinité de points : RS ρ, ϕ + 2 kπ ak ∈f T−ρ, ϕ + π + 2 kπ (1.3) ϕ d ϕ . ez d i r r r La projection des vecteurs de la base B c = eρ , eϕ , e z sur r r r ceux de la base B = e x , e y , e z donne : r r r ⎧e ρ = cos ϕ e x + sin ϕ e y r r r ⎪ (1.4) ⎨e ϕ = − sin ϕ e x + cos ϕ e y . r ⎪ er = e z z ⎩ eρ ex i Figure 1.6 i) Coordonnées cylindriques d i r r r Le repère R = O; e x , e y , e z étant donné, on peut repérer un point M quelconque de l'espace r r de la manière suivante : on considère les projections H sur le plan O; e x , e y et K sur l'axe d i Oz. La position de H est repérée dans le plan par ses coordonnées polaires Hbρ, ϕ g et celles de K sur Oz par la mesure algébrique OK = z . z K Le point M est donc repéré par le triplet M x x H x1 y d i r eρ r eϕ r ez De plus, ⎯ ⎯→ r r OM = ρeρ + ze z r r r = ρ cos ϕ e x + sin ϕ e y + ze z r r r = xe x + ye y + ze z d croissants. i f) c Il faut d'abord déterminer les relations entre les vecteurs de la base des coordonnées r r r cartésiennes B = e x , e y , e z et les vecteurs de la base orthonormée locale des coordonnées r r r cylindriques B c = eρ , eϕ , e z . d r ex r ey r ez cos ϕ sin ϕ 0 − sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1 R|x = ρ cos ϕ S| y = ρ sin ϕ Tz = z d'où . (1.6) . (1.7) Relations avec les coordonnées cartésiennes Marche à suivre : d (1.5) ce qui peut être résumé dans le tableau suivant : On définit la base orthonormée locale des r r r coordonnées cylindriques B c = eρ , eϕ , e z où r r r eρ , eϕ , e z sont définis dans le sens des ρ, ϕ, z i sur ceux de la base R| S| T z Figure 1.5 iii) i sur ρ et ϕ déjà signalée. y ϕ ρ = OH d bρ, ϕ, zg appelér"coordonnées cylindriques" de M r r dans R = d O; e , e , e i , avec l'indétermination z = OK O d r r r Inversement, la projection des vecteurs de la base B = e x , e y , e z r r r B c = eρ , eϕ , e z donne : r r r e x = cos ϕ eρ − sin ϕ eϕ r r r e y = sin ϕ eρ + cos ϕ eϕ , r r ez = ez i i b Coordonnées sphériques g d i r r r Le repère O , x y z étant donné, ce qui revient à définir R = O; e x , e y , e z , et M désignant un point quelconque non situé sur Oz, on considère le plan défini par Oz et ce point M. Ce r r plan coupe le plan O; e x , e y selon une droite que l'on oriente de telle sorte que l'axe Ox1 r ainsi défini "pointe" dans le demi plan contenant M. Comme précédemment, on appelle eρ le d i vecteur unitaire porté par cette droite orientée. Catherine Potel - 1.3 - Université du Maine - Le Mans Catherine Potel - 1.4 - Université du Maine - Le Mans Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2 b g ϕ Oy1 r eϕ : l'angle algébrique Ox, Ox1 , défini modulo 2π, r r : l'axe perpendiculaire, dans le plan O; e x , e y tel que Oy, Oy1 = ϕ , Oz 2 : la droite OM orientée dans le sens du vecteur OM , r r er θ : la mesure algébrique OM , toujours positive, : le vecteur unitaire porté par l'axe Oz 2 , : l'angle orienté Oz, Oz2 , compté positivement dans le plan O, z x1 , c'estr r à-dire le plan O; e z , eρ , conformément à l'orientation de sa normale Oy1 et d i b b g d d i d i ⎯ ⎯→ b g i b g * Il faut ensuite déterminer les relations entre les vecteurs de la base locale des coordonnées r r r cylindriques B c = eρ , eϕ , e z avec les vecteurs de la base locale des coordonnées sphériques r r r B s = e r , eθ , eϕ . d i d i ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ r r r r * Sachant ensuite que OM = xe x + ye y + ze z et aussi que OM = re r , on en déduira alors les g b b g compris entre 0 et π, r r : l'axe perpendiculaire, dans le plan O; e z , eρ tel que Ox1 , Ox 2 = θ , relations entre x, y, z et r, θ, ϕ . : le vecteur unitaire porté par l'axe Ox 2 . Obtention des relations cherchées : d b O , x y zg 1 i b d g r r r ou R c = O; eρ , eϕ , e z 1 i est donc un b nouveau repère orthonormé positif, déduit de O , x y z z z2 M b O, z y1 y O ϕ θ H 2 x 2 y1 g d r r r ou R s = O; e r , eθ , eϕ ez est donc un θ nouveau repère orthonormé positif, déduit de O, x1 y1 z par rotation de θ autour de Oy1, commun b er eρ eθ θ g . eϕ b g Le point M est donc repéré par le triplet r, θ, ϕ appelé "coordonnées x2 Figure 1.7 i Les deux figures suivantes 1.8 a) et 1.8 b) sont tout à fait équivalentes. La première se rapproche plus du dessin en perspective de la figure 1.7, alors que la deuxième permet de se ramener à une configuration classique pour projeter les vecteurs de base. aux deux repères. x1 x g par rotation de ϕ autour de Oz, commun aux deux repères. K θr DEUST VAS 2 * Il faut d'abord déterminer les relations entre les vecteurs de la base des coordonnées r r r cartésiennes B = e x , e y , e z avec les vecteurs de la base locale des coordonnées cylindriques r r r B c = eρ , eϕ , e z , ce qui a fait l'objet du § I/1-e). g : le vecteur unitaire porté par l'axe Oy1, d sphériques" i r r r R = O; e x , e y , e z , avec de M R| r > 0 S| θ ∈ 0, π . Tϕ ∈ 0, 2π b2πg eρ . eϕ figure 1.8-a) er θ ez figure 1.8-b) (1.8) où . désigne un vecteur "rentrant" dans le plan de la feuille . désigne un vecteur "pointant" vers le lecteur. d i d r r r r r r La projection des vecteurs de la base B s = e r , eθ , eϕ sur ceux de la base B c = eρ , eϕ , e z i donne : R| rer S|re Te r = cos θ e z + sin θ r θ = − sin θ e z + cos θ r eϕ ϕ = Cherchons maintenant les relations avec les coordonnées cartésiennes. - 1.5 - θ eθ dans Remarque. Ces coordonnées ne sont pas définies lorsque M est sur Oz. ϕ s'appelle l'azimut et θ la colatitude. Catherine Potel Cinématique du solide Marche à suivre : On désigne par : Ox 2 r eθ Chapitre 1 Université du Maine - Le Mans Catherine Potel r - 1.6 - r eρ r eρ . (1.9) Université du Maine - Le Mans Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2 d r r r Inversement, la projection des vecteurs de la base B c = eρ , eϕ , e z r r r B s = e r , eθ , eϕ donne : r r r e z = cos θ e r − sin θ eθ r r r eρ = sin θ e r + cos θ eθ . r r eϕ = e ϕ d i i sur ceux de la base R| S| T d Chapitre 1 2. i a) Définition : on appelle vecteur vitesse (ou simplement la vitesse) d'un point M par rapport à un repère R = O,B le vecteur dérivée par rapport au temps t , et par b ⎯ ⎯→ Notation : r ey r ez sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ − sin θ − sin ϕ cos ϕ 0 De plus, ⎯ ⎯→ r OM = re r d r r r = r sin θ cos ϕ e x + sin θ sin ϕ e y + cos θe z r r r = xe x + ye y + ze z - ⎯ ⎯→ (1.11) I JJ K . (1.13) /B Dimension : V = L T −1 en m / s Vecteur accélération Définition : On appelle vecteur accélération ( ou simplement accélération) d'un point M par rapport à un repère R = O,B le vecteur dérivée par rapport au temps, et par r rapport à la base B , du vecteur vitesse V M / R . b i R|x = r sin θ cos ϕ S| y = r sin θ sin ϕ T z = r cos θ d'où F f GG H a r d OM V M /R = dt b) g) g rapport à la base B , du vecteur position OM . résumé dans le tableau suivant : r er r eθ r eϕ Vecteur vitesse (1.10) i r ex DEUST VAS 2 Vecteurs vitesse, rotation et accélération r r r Il reste ensuite à remplacer les vecteurs de la base B c = eρ , eϕ , e z par leur expression en r r r fonction des vecteurs de la base B = e x , e y , e z dans l'équation précédente, ce qui peut être d Cinématique du solide . Notation : (1.12) a F f GG H g ⎯ ⎯→ r d 2 OM Γ M /R = dt 2 b I JJ K g r F dV I =G H dt JK M /R /B . (1.14) /B Dimension : Γ = L T − 2 en m / s 2 En résumé ⎯ ⎯→ r r r Coordonnées cartésiennes : x, y, z ; OM = xe x + ye y + ze z b g ⎯ ⎯→ - r r Coordonnées cylindriques : ρ, ϕ , z ; OM = ρeρ + ze z - ⎯ ⎯→ r Coordonnées sphériques : r, θ, ϕ ; OM = re r b g ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ c) ⎯ ⎯→ Vecteur rotation OM x OM ρ OM r 0= 0 y= B z Bc z Bs 0 i) Introduction : mouvement d'un point dans le plan Ö Première méthode : utilisation des composantes cartésiennes sur B 0 bg Les coordonnées polaires ρ t y 0 O z ρ = OM ϕ . Μ x1 x 0 0 bg et ϕ t sont liées aux coordonnées cartésiennes par (voir ch 1 § I/1-g) : RSxb tg = ρ b tg cos ϕ b tg . T yb tg = ρ b tg sin ϕ b tg (1.15) Figure 1.9 Catherine Potel - 1.7 - Université du Maine - Le Mans Catherine Potel - 1.8 - Université du Maine - Le Mans Chapitre 1 Cinématique du solide On a donc : Or , c'est-à-dire d r V M /R 0 RSx& b tg = ρ& cos ϕ − ρ ϕ& sin ϕ T y& b tg = ρ& sin ϕ + ρ ϕ& cos ϕ r r r Vd M / R i = x& e + y& e i = ρ& der cos ϕ + er sin ϕi + ρ ϕ& d − er 0 x0 x0 (1.16) Chapitre 1 i (1.17) r sin ϕ + e y 0 cos ϕ , i i dépend de la position du point M. Ö Deuxième méthode : utilisation des composantes sur la base locale B c ⎛ ⎯⎯→ ⎞ r r ⎜ d OM ⎟ ⎛ d eρ ⎞ r ⎟⎟ = ρ& eρ + ρ ⎜⎜ . V M / R 0 =⎜ ⎟ ⎝ d t ⎠ /B 0 ⎜ dt ⎟ ⎝ ⎠ /B 0 ( ⎯ ⎯→ r OM = ρ eρ donc ) (1.19) 1 α ex ex 1 r e y2 r e z2 cos α − sin α sin α cos α 0 0 0 1 0 Définition : On appelle vecteur rotation instantané (à l'instant t) associé au mouvement de B 2 par rapport à B 1 le vecteur : r r Ω B 2 / B 1 = α& e z 1 , (1.23) r c'est-à-dire que Ω B 2 / B 1 est le vecteur autour duquel on tourne, multiplié par la dérivée d ! d i 1 tr / min = i i ( ( ( ) ) (1.20) ) LM F i M GH MN r r de y 2 r Ω B 2 / B 1 = ez 2 . dt d (1.21) (1.22) Cas particulier important Soient B 1 et B 2 deux bases orthonormées définies par : r r r r r r r r B 1 = e x1 , e y1 , e z1 et B 2 = e x 2 , e y 2 , e z 2 avec e z 1 = e z 2 . i r B 1 et B 2 sont déduites l'une de l'autre par rotation d'angle α autour de e z 1 (figure 1.10). - 1.9 - Université du Maine - Le Mans Cas général On peut montrer que, lorsque les bases B 1 et B 2 sont quelconques, avec d 2π rad. s −1 60 iii) 0 1 r r 0∧ 0 = Ω B c / B 0 ∧ eρ . ϕ& B 0 0 r ⎛ d OM ⎞ ⎛ d OM ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ =⎜ + Ω B c / B 0 ∧ OM ⎜ dt ⎟ ⎜ dt ⎟ ⎝ ⎠ /B ⎝ ⎠ /B 0 c r r Ω B c / B 0 = ϕ& e z 0 . Catherine Potel → d Le vecteur vitesse du point M par rapport au repère R 0 peut donc s'écrire i r e x2 r e x1 r e y1 r e z1 r e y1 r e y1 r Dimension : Ω B 2 / B 1 est une vitesse angulaire instantanée, donc Ω = rad. s −1 r ⎛ d eρ ⎞ = ⎜⎜ d t ⎟⎟ ⎝ ⎠ /B 0 B 0 d z1 r = cos α e x1 + sin α r = − sin α e x1 + cos α r e z1 = Figure 1.10 0 ii) α 2 DEUST VAS 2 par rapport au temps de l'angle dont on tourne. Par identification des relations (1.18) et (1.19), il vient r ⎛ d eρ ⎞ r ⎜⎜ ⎟⎟ = ϕ& e ϕ , d t ⎝ ⎠ /B avec y2 → 1 Ö Identification soit x2 . → ez r r r V M / R 0 = ρ& eρ + ρ ϕ& eϕ (1.18) d'où r r en introduisant la base B c = eρ , eϕ , vue au chapitre 1 § I/1-g), dite "base locale" car elle d R|err S|er Te ey → 2 x0 Cinématique du solide → ey y0 y0 d DEUST VAS 2 Catherine Potel IJ OP er K /B PP Q 1 ⎧ r ⎪⎛ de x 2 ⎪⎜⎜ dt ⎪⎝ ⎪ ⎪⎛ der ⎪⎜ y2 ⎨⎜ ⎪⎝ dt ⎪ ⎪ der ⎪ ⎛⎜ z 2 ⎪ ⎜⎝ dt ⎩⎪ LMr F der I OP r + Me . G J e MN H dt K /B PPQ z2 x2 x2 LMr F der I OP r + Me . G J e MN H dt K /B PPQ x2 y2 1 y2 z2 (1.24) 1 r ⎞ r ⎟ = Ω B2 / B1 ∧ e x 2 ⎟ ⎠ /B ( ) 1 r ⎞ r ⎟ = Ω B2 / B1 ∧ e y2 ⎟ ⎠ /B ( ) . (1.25) 1 r ⎞ r ⎟ = Ω B2 / B1 ∧ e z 2 ⎟ ⎠ /B ( ) 1 - 1.10 - Université du Maine - Le Mans Chapitre 1 3 Cinématique du solide DEUST VAS 2 Dérivée d'une fonction vectorielle par rapport à des bases mobiles entre elles Chapitre 1 dS i Cinématique du solide d i R1 R2 S2 1 La base de projection est la base sur laquelle on projette un vecteur. La base de dérivation est la base par rapport à laquelle on dérive un vecteur. La base de dérivation et la base de projection ne sont pas forcément les mêmes et seront souvent différentes. Si la base de projection est la même que la base de dérivation, alors la dérivée du vecteur sera obtenue en dérivant uniquement les composantes de ce vecteur par rapport au temps. Si les deux bases sont différentes, il faudra alors dériver aussi les vecteurs de la base de projection par rapport à la base de dérivation, ou utiliser la formule de changement de base de dérivation. Soit F une fonction vectorielle à dériver par rapport au temps t et par rapport à B 1. → F d FI GG dt JJ H K /B → = 1 → r + Ω B 2 /B1 ∧ F d i dS i ⇒ Nécessité de préciser par rapport à quel repère on étudie le mouvement d'un point ou d'un solide. d i d i R i = O i ,B i lié au solide S i . Notation : 3 Figure 1.11 a) Point lié à un repère donné et point coïncident i) Point lié à un repère donné Définition : Etant donné un repère R 1 , éventuellement mobile par rapport à d'autres repères, on dit qu'un point M est lié au repère R 1 s'il est fixe par rapport à R 1 , → F d FI GG dt JJ H K /B R3 DEUST VAS 2 . (1.26) c'est-à-dire que ses coordonnées dans R 1 ne dépendent pas du temps. r r ∀ t , V M / R1 = 0 c h (1.29) Notation : lorsqu'un point M est lié à un repère indicé, comme R1 ci-dessus, on prendra 2 l'habitude d'affecter le point du même indice, soit ici M 1. M ∈ S 1 ⇔ M ∈ R1 ⇔ M 1 c h Cette égalité apparaît comme la formule de changement de base de dérivation. En particulier, la vitesse et l'accélération d'un point M par rapport au repère R 0 s'écrivent ii) c h Point coïncident respectivement r r ⎛ d OM ⎞ ⎛ d OM ⎞ ⎟ ⎟ V M /R 0 = ⎜ + Ω B1 / B 0 ∧ OM =⎜ ⎜ dt ⎟ ⎜ dt ⎟ ⎠ /B ⎠ /B ⎝ ⎝ ( ) ( 0 et 4 ( r Γ M /R 0 ) r ⎛ d V M /R 0 =⎜ ⎜ dt ⎝ ( ) ) (1.27) 1 r ⎞ ⎛ dV M / R 0 ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ dt ⎠ /B ⎝ 0 ( ) ⎞⎟ ⎟ ⎠ /B r r + Ω B1 / B 0 ∧ V M / R 0 (1.28) ( ) ( ) 1 Composition des mouvements On a déjà vu que l'étude du mouvement des systèmes mécaniques fait souvent appel à plusieurs repères de l'espace, mobiles les uns par rapport aux autres. On attachera alors un repère à un solide, et on dira que le repère est lié au solide. Catherine Potel - 1.11 - Université du Maine - Le Mans Soit un point M mobile à la fois par rapport au repère R 0 et par rapport au repère R 1 , avec R 1 mobile par rapport à R 0 . A chaque instant, M occupe une position M 0 dans R 0 , avec M 0 lié à R 0 et une position M 1 dans R 1 , avec M 1 lié à R 1 Définition : On appelle M 0 et M 1 les points coïncidents avec M , à l'instant t considéré, dans les repères R 0 et R 1 respectivement. Remarque fondamentale : lorsque le temps varie, ces points coïncidents, fixes dans leurs repères respectifs, changent néanmoins. Ainsi, soit un voyageur M qui part de Compiègne à 13 h, se trouve à Paris à 14 h, à Melun à 15 h et à Troyes à 16 h. Le point coïncident de M dans le repère R 0 = France à l'instant t = 14 est M 0 = Paris , et à l'instant t =15 : M 0 = Melun . Le point coïncident varie d'un instant à l'autre, et cependant chacun d'entre eux est fixe par rapport à la France ! Catherine Potel - 1.12 - Université du Maine - Le Mans Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2 Le point coïncident avec M dans un repère donné est donc le lieu (lié à ce repère) où se trouve le point M à l'instant considéré. La succession, au cours du temps, des points coïncidents avec M (donc des lieux occupés par M) dans le repère R 0 (ou dans le repère R 1) constitue la trajectoire C 0 de M par rapport à R 0 (ou C 1 par rapport à R 1). 1 0 d i 1 Ce n'est pas toujours le même point de S 1 qui est I1 dS i Cinématique du solide F dO MI GG J dt J H K ⎯ ⎯→ R0 /B 0 d i /B 1 0 d i ⎯ ⎯→ r + Ω B1 / B0 ∧ O1 M 1 g b g c (1.33) . /B 0 h c h . (1.34) La relation (1.34) peut également s'écrire, en faisant intervenir le point coïncident avec M , à l'instant t considéré, dans le repère R 1 : b r V M /R Figure 1.12 b) F dO O I GG J dt J H K ⎯ ⎯→ + 1 DEUST VAS 2 soit, en termes de vecteurs vitesse : r r r r ⎯ ⎯→ V M / R 0 = V M / R 1 + V O1 / R0 + Ω B1 / B0 ∧ O1M en contact avec le sol S 0 . I0 F dO MI GG J dt J H K ⎯ ⎯→ = 0 b Exemple : dS i R Chapitre 1 vitesse absolue 0 g = Vr b M / R g + Vr b M 1 1 /R vitesse relative 0 g. (1.35) vitesse d'entraînement La relation (1.35) est dite de "composition des vitesses" Composition des vitesses Soit un point M en mouvement par rapport à un train S 1 , lui même en mouvement par Terminologie et interprétation : rapport au rail S 0 (figure 1.13). r - le vecteur V M /R 0 représente la vitesse du point M par rapport au repère "fixe" (par b g convention) R 0 . Un usage ancien désigne ce repère fixe comme "absolu" (ce qui n'a aucune train S 1 signification physique particulière dans ce contexte) et ce vecteur vitesse s'appelle alors la vitesse absolue du point M. Par commodité, nous conserverons cette appellation. rail S 0 b convention également) R 1. L'usage est d'appeler ce vecteur la vitesse relative du point M. Vectoriellement, partant de la relation de Chasles pour les vecteurs : ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ O 0 M = O 0O1 + O1M , (1.30) on obtient, par dérivation de l'équation (1.30) par rapport au temps et par rapport à la base B0 : F d O MI GG J dt J H K ⎯ ⎯→ FdO O I =G GH dt JJK ⎯ ⎯→ 0 0 /B 0 F d O MI +G GH dt JJK ⎯ ⎯→ 1 1 /B 0 (1.31) /B 0 . Utilisant la formule de changement de base de dérivation (1.26), on écrit le second terme du second membre de l'équation précédente sous la forme : F dO MI GG J dt J H K ⎯ ⎯→ F dO MI =G GH dt JJK ⎯ ⎯→ 1 d /B 0 i ⎯ ⎯→ r + Ω B1 / B0 ∧ O1 M 1 /B 1 (1.32) . On peut alors s'écrire : Catherine Potel - 1.13 - g r - le vecteur V M /R 1 représente la vitesse du point M par rapport au repère "mobile" (par Figure 1.13 Université du Maine - Le Mans b g r - la compréhension du terme V M1 /R 0 est plus subtile. Comme on l'a vu au § I/4-a), le point coïncident M1 est le lieu du repère R 1 où se trouve M à l'instant considéré. Ce point M1, ainsi bien identifié à cet instant précis, en tant que point lié au repère R 1 mobile par r rapport à R 0 , admet un vecteur vitesse par rapport à ce repère "fixe" : V M1 /R 0 . On l'appelle vitesse d'entraînement du point M dans le mouvement de R 1 par rapport à R 0 . En b d'autres termes, le point M décrit, au cours du temps, une trajectoire C 1 g dans le repère R 1. A l'instant t considéré, il se trouve au point M 1 de cette trajectoire. D'une part, le point M possède à cet instant une vitesse par rapport au repère R 1 : c'est la vitesse "relative" r V M /R 1 , tangente à la trajectoire C 1 au point M 1 . D'autre part, puisque R 1 est mobile b g par rapport à R 0 , le point M 1 de C 1, lié à R 1, possède à ce même instant une vitesse par r rapport à R 0 : c'est la vitesse "d'entraînement" V M1 /R 0 , totalement indépendante de la b g vitesse relative précédente. Par ailleurs, le point mobile M se déplace lui aussi par rapport à R 0 et il possède donc une vitesse par rapport à ce repère : c'est la vitesse "absolue" Catherine Potel - 1.14 - Université du Maine - Le Mans Chapitre 1 b Cinématique du solide DEUST VAS 2 Chapitre 1 Cinématique du solide g F d O MI GG J dt J H K r V M /R 0 . La formule de composition des vitesses nous apprend que ce dernier vecteur est la somme vectorielle de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement. c) ⎯ ⎯→ b b b g 0 b g. g b M par rapport à R 1 . Cette accélération, appelée accélération complémentaire, sera notée : r Γ c M / R 1/ R 0 . g Avec ces notations, la formule de composition des accélérations s'écrit : r r r r Γ M / R 0 = Γ M / R 1 + Γ M1 / R 0 + Γ c M / R 1 / R 0 g b g b g b g g b g c h c . b h 0 r d V M /R 1 /B0 1 r d V O 1/ R / B0 ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ (1.37) 1 1 1 0 / B0 F d Vr b M / R g I + Ωr dB / B i ∧ Vr b M / R g GH d t JK r r r = Γ b M / R g + Ω dB / B i ∧ Vb M / R g = 1 / B0 1 1 0 1 /B1 1 b 1 0 /B0 h OP Q (1.38) g c h b g (1.39) Dans cette expression, le mouvement de R 1 par rapport à R0 apparaît par le vecteur rotation r Ω B1 / B0 , tandis que le mouvement relatif de M par rapport à R 1 intervient par la vitesse r relative V M / R 1 . Ce terme complémentaire porte parfois le nom d'accélération de i b g Coriolis. / B0 On peut écrire autrement le premier et le quatrième termes du second membre de l'équation (1.37) en utilisant la formule de changement de base de dérivation : F d Vr b M / R g I GH d t JK 1 c Le dernier terme donne une expression de l'accélération complémentaire : r r r Γ c M / R 1 / R 0 = 2 Ω B1 / B0 ∧ V M / R 1 . d 0 / B0 0 0 h LMN c r r ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ∧ O1M + Ω B1 / B0 ∧ Ω B1 / B0 ∧ O1M La deuxième ligne regroupe les termes qui ne font intervenir que le mouvement de R 1 par rapport à R0 . Ils correspondent donc à l'accélération d'entraînement. g = FGH b d t g IJK = FGH b d t g IJK + FGH b d t g IJK F d O MI F d Ωr dB / B i I r +G GH d t JJK ∧ O M + ΩdB / B i ∧ GGH d t JJK r d V M /R 0 1 hI JK g (1.36) et dérivons-la par rapport à t et par rapport à la base B0 . On obtient l'accélération "absolue" du point M : r Γ M /R g b g c h FG c H r r + 2 ΩcB / B h ∧ Vb M / R Le premier terme du second membre de l'équation (1.38) est l'accélération relative. Elle ne fait intervenir que le mouvement de M par rapport au repère R 1 . Vectoriellement, reprenons l'égalité vectorielle (1.34) r r r r ⎯ ⎯→ V M / R 0 = V M / R 1 + V O1 / R0 + Ω B1 / B0 ∧ O1M b / B1 i r r Γ M /R 0 = Γ M /R 1 r r d Ω B1 / B0 + Γ O1 / R0 + dt accélérations, puisque la deuxième ligne représente un terme complémentaire qui couple les effets du mouvement du repère R 1 par rapport au repère R 0 à ceux du mouvement relatif de b g d i r Γ M / R 0 peut alors être réécrit de la manière suivante : Cependant, contrairement au cas de la composition des vitesses, il ne suffit pas d'ajouter ces b /B0 d ⎯ ⎯→ r + Ω B1 / B0 ∧ O1 M 1 ⎯ ⎯→ r r = V M / R 1 + Ω B1 / B0 ∧ O1 M Composition des accélérations : La terminologie est identique r - accélération relative : Γ M / R 1 r - accélération d'entraînement : Γ M 1 / R F d O MI GG J dt J H K ⎯ ⎯→ = 1 et DEUST VAS 2 d) Composition des rotations Soient trois bases B 0 , B1 et B 2 , en mouvement les unes par rapport aux autres. On cherche une relation entre les vecteurs rotation associés au mouvement de B 2 par rapport à r B 0 c'est-à-dire Ω B 2 /B 0 , au mouvement de B1 par rapport à B 0 c'est-à-dire r r Ω B1 /B 0 et au mouvement de B 2 par rapport à B1 c'est-à-dire Ω B 2 /B1 . ( ) ( ) ( ) 1 r Calculons la dérivée d'une fonction vectorielle F quelconque par rapport au temps et par rapport à la base B 0 , en appliquant la formule de changement de base de dérivation (1.26) à Catherine Potel - 1.15 - Université du Maine - Le Mans Catherine Potel - 1.16 - Université du Maine - Le Mans Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2 et en faisant tout d'abord intervenir sa dérivée par rapport au temps et par rapport à la base B2 r ⎛dF⎞ ⎜ ⎟ ⎜ dt ⎟ ⎝ ⎠ /B 0 r ⎛dF⎞ ⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ r r + Ω B 2 /B0 ∧ F , ( ) /B0 r ⎛dF⎞ ⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ / B1 r ⎛dF⎞ ⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ sphériques mobiles par rapport à une base fixe i) Coordonnées cylindriques ( ) (1.41) / B1 r r + Ω B 2 / B1 ∧ F . ( On a vu au chapitre 1 § I/1-e) le passage des vecteurs de la base des coordonnées cartésiennes r r r B = e x , e y , e z aux vecteurs de la base orthonormée locale des coordonnées cylindriques r r r B c = eρ , eϕ , e z . Ces deux bases sont déduites l'une de l'autre par rotation d'angle ϕ autour r de e z . Comme on l'a vu au § I/2-c, le vecteur rotation associé au mouvement de B c par d r r + Ω B1 / B 0 ∧ F . ) i d i rapport à B est donné par (1.42) [ ( ) i d )] ( i d i r r r Ω B 2 /B 0 = Ω B 2 /B1 + Ω B1 /B 0 . (1.44) r r Ω Bc / B = ϕ& e z c ii) /B 2 Le report de la relation (1.42) dans la relation (1.41) s'écrit r r r r r ⎛dF⎞ ⎛dF⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = + Ω B 2 / B1 + Ω B1 / B 0 ∧ F . (1.43) ⎜ dt ⎟ ⎜ dt ⎟ ⎝ ⎠ /B ⎝ ⎠ /B 0 2 r L'identification des équations (1.43) et (1.40), vraies pour tout vecteur F , donne finalement la formule de composition des rotations : d h d d i i d On a vu au chapitre 1 § I/1-f) le passage des vecteurs de la base des coordonnées cartésiennes r r r B = e x , e y , e z aux vecteurs de la base orthonormée locale des coordonnées sphériques r r r B s = e r , eθ , eϕ , par l'intermédiaire de la base orthonormée locale des coordonnées r r r cylindriques B c = eρ , eϕ , e z . r - On passe de B à B c par rotation d'angle ϕ autour de e z . r - On passe de B c à B s par rotation d'angle θ autour de eϕ d i d i d i Comme on l'a vu au § § I/2-c, on obtient donc le vecteur rotation associé au mouvement de B s par rapport à B c : r r (1.47) Ω B s / B c = θ& eϕ . d d i i r r Ω B 2 / B 1 = −Ω B 1 / B 2 . d'où → ez o S2 S1 i r Exemple : solides en rotation autour du même axe O, e z 0 r r Ω B 2 /B 0 = ω 2 e z 0 , r r r et Ω B 1 / B 0 = ω 1 e z 0 = − Ω B 0 / B 1 , r r r r donc Ω B 2 / B 1 = Ω B 2 / B 0 + Ω B 0 / B 1 = ω 2 − ω 1 e z 0 . ( d ) d i i d d i d i i d i i d i d c e) . (1.48) Vitesse de glissement Il faut distinguer trois points (S 2 ) I I 1 ≡ I ∈R 1 I 2 ≡ I ∈R 2 I2 I1 (S 1 ) h i point géométrique de contact point de R 1 au contact point de R 2 au contact I Figure 1.15 Figure 1.14 Catherine Potel i r r r Ω Bs / B = ϕ& e z + θ& e ϕ d'où (1.45) d (1.46) Or, par application de la composition des rotations (1.44), on a : r r r Ω Bs /B = Ω B s /B c + Ω B c /B , Remarque : r r r L'équation (1.44) implique aussi : Ω B 2 / B 2 = Ω B 2 / B 1 + Ω B 1 / B 2 . r r Or Ω B 2 /B 2 = 0, i d i . Coordonnées sphériques d Ce résultat est tout à fait généralisable à n bases. d DEUST VAS 2 Cas particuliers importants : base locale des coordonnées cylindriques et des coordonnées (1.40) r L'application de la formule de changement de base de dérivation (1.26) au vecteur F , en faisant intervenir les bases B1 et B 2 donne r ⎛dF⎞ ⎜ ⎟ ⎜ dt ⎟ ⎝ ⎠ Cinématique du solide /B2 puis sa dérivée par rapport au temps et par rapport à la base B1 r ⎛dF⎞ ⎜ ⎟ ⎜ dt ⎟ ⎝ ⎠ Chapitre 1 - 1.17 - Université du Maine - Le Mans Catherine Potel - 1.18 - Université du Maine - Le Mans Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2 d i d i ) ( ( ) ) ( Cinématique du solide DEUST VAS 2 ( ) Le vecteur Q 1P1 étant lié au solide S 1 , sa dérivée par rapport au temps et par rapport à B1 Définition : La vitesse de glissement de S 2 par rapport à S 1 est : r r Vg S 2 / S1 = V I 2 / R 1 , r r = V I 2 / R − V I1 / R ∀ R . ( Chapitre 1 (1.49-a) (1.49-b) ) est nulle, ce qui conduit à la relation cherchée → ⎯ ⎯→ r r V P1 / R 0 = V Q 1 / R 0 + Ω B1 / B0 ∧ Q 1P1 , d i d i d i (1.52) dite formule de distribution des vitesses. Lorsque le contact est sans glissement, r r r r Vg S 2 / S 1 = 0 ⇒ V I 2 / R = V I 1 / R . d i d i d i ! (1.50) Exemple : roue indéformable sur une chaussée. Dans les cas d'utilisation usuels, le contact se fait avec roulement sans glissement. Pour des situations particulières, fort freinage ou verglas, le contact peut se faire avec glissement ; il y a alors dérapage au contact. 2. Equiprojectivité des vitesses D'après la formule de distribution des vitesses, d i d b g d i d → V P1/R 0 CHAMP DE VITESSE D'UN SOLIDE INDEFORMABLE Relation entre les vitesses de deux points liés au même solide ( ) d V Q 1/R0 ) ( ) (1.53) Graphiquement, cette propriété d'équiprojectivité se traduit par le dessin de la figure 1.16 sur laquelle on voit que les vecteurs projetés orthogonalement sur la droite PQ sont égaux. i b g Soient P1 et Q 1 deux points appartenant au même solide S 1 , lié au repère R 1 = O 1 ,B1 et en mouvement par rapport au repère R 0 = O 0 ,B 0 . i i → ( d ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ r r V P1 / R 0 ⋅ P1Q 1 = V Q1 / R 0 ⋅ P1Q 1 . d'où Q 1 OP PQ i 0 naturellement à la même vitesse que la roue. C'est le morceau I 2 de la roue situé au lieu de II LM d MN i ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ → ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ r r V P1 / R 0 ⋅ P1Q 1 = V Q1 / R 0 ⋅ P1Q 1 + Ω B1 / B0 ∧ Q 1P1 ⋅ P1Q 1 144444244444 3 ! même lorsque le contact se fait sans glissement, la vitesse du point géométrique de contact I par rapport à la chaussée S1 est non nulle (figure 1.15) : le point de contact va contact qui voit, à cet instant et à cet instant seulement, sa vitesse passer par la valeur zéro. d i Cette relation n'est vraie que pour deux points appartenant au même solide rigide S 1 . P Figure 1.16 La vitesse du point P1 par rapport au repère R 0 s'écrit 3. ⎛ d OP1 ⎞ r ⎟ , V P1 / R 0 = ⎜ ⎜ dt ⎟ ⎝ ⎠ /B0 ( ) Torseur distributeur des vitesses ou torseur cinématique (1.51-a) a) Rappel de la formule de changement de point soit, en faisant usage de la relation de Chasles, ⎛ d O 0Q 1 ⎞ ⎛ d Q 1P1 ⎞ r ⎟ ⎟ . (1.51-b) +⎜ V P1 / R 0 = ⎜ ⎜ dt ⎟ ⎜ dt ⎟ ⎝ ⎠ /B0 ⎝ ⎠ /B0 r En reportant l'expression de la vitesse V Q 1 / R 0 dans la relation (1.51-b), et en faisant ( ) ( P A1 F ) A A' 1 usage de la formule de changement de base de dérivation (1.26), il vient ⎛ d Q 1P1 ⎞ r r r ⎟ + Ω B1 / B 0 ∧ Q 1P1 . V P1 / R 0 = V Q 1 / R 0 + ⎜ ⎜ dt ⎟ ⎝ ⎠ / B1 ( Catherine Potel ) ( ) ( - 1.19 - ) A' Une mesure de l'efficacité de serrage d'un écrou r (figure 1.17) est donnée par le moment de la force F r appliquée au point A , notée A, F , par rapport au B point P (centre de l'écrou) : F ( ) F (1.51-c) Université du Maine - Le Mans r r M P (A,F)=PA ∧ F B' Catherine Potel - 1.20 - (1.54) Université du Maine - Le Mans Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2 ) ∆ r r r r r M Q (A,F)= M P (A,F) + Q P ∧ F = M P (A,F) + F ∧ P Q . d'où Cinématique du solide En utilisant les résultats de ce qui est appelé "la réduction canonique des torseurs" (à admettre dans le cadre de ce cours), la répartition la plus générale des vitesses des points d'un solide à un instant donné est représentée sur la figure 1.18. (1.55) r La relation (1.55) fait intervenir le vecteur F , correspondant ici à la résultante des forces appliquées à la clé. W Ω ( B 1/ B 0) P1' V ( P 1/ R 0) b) Définition d'un torseur M P (T ) en un point H P1 Un torseur T est un "être mathématique" constitué d'une résultante R (T DEUST VAS 2 A un instant donné, le champ des vitesses des points liés à un solide s'identifie au champ des vitesses d'un mouvement hélicoïdal, parfois appelé vissage. Figure 1.17 En un autre point Q , la relation (1.54) s'écrit r r r r r M Q (A,F)=Q A ∧ F = Q P + P A ∧ F = Q P ∧ F + P A ∧ F , ( Chapitre 1 ) et d'un moment On voit ainsi que le champ des vitesses peut se décomposer en la somme d'un champ → r constant W parallèle à Ω B 1 /B 0 et d'un P1" P1'" P. d i champ perpendiculaire à Ω dB /B i : r r V d P / R i = W + Ω dB / B i ∧ HP (1.58) A → 1 0 → Notation : ⎧⎪ R (T ) T ⎨ avec ⎪⎩M P (T ) M Q (T )= M P (T ) + Q P ∧ R (T ) = M P (T ) + R (T ) ∧ P Q (1.56-a) (1.56-b) Figure 1.18 b∆g ΩdB / B i r 1 0 ⎯ ⎯→ 1 0 1 où : axe instantané de vissage (ou de rotation et de glissement), → c) 1 Torseur distributeur des vitesses 0 W Par analogie entre la formule de distribution des vitesses (1.52) → ⎯ ⎯→ r r V P1 / R 0 = V Q 1 / R 0 + Ω B1 / B0 ∧ Q 1P1 , d i d i d i (1.52) 4. d i : vecteur vitesse de translation instantanée. Mouvement de translation d'un solide d i couple de points b P, Q g ∈dS i , donc tout couple b P , Q g , le vecteur P Q demeure constant, c'est-à-dire que le vecteur lié b P , Q g se déplace en restant équipollent à et la formule de changement de point (1.56-b), le champ des vitesses du solide S 1 peut Définition : Le mouvement de S 1 , donc de R 1 par rapport à R 0 , est tel que pour tout s'interpréter comme étant le champ des moments d'un torseur appelé torseur distributeur des vitesses et noté V R 1 / R 0 , dont la définition est donnée ci-dessous. d : vecteur rotation instantanée, ⎯⎯→ i 1 1 1 d i d R| b g d S| b g d T ≡ P ∈ dS i ≡ P ∈dR i i P1 ! P1 1 i i ⎯⎯ ⎯→ On a alors : 1 ce qui donne FdO Q I GG J dt J H K 1 d'où 0 ⎯⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ O 0 Q 1 = O 0 P1 + P1Q 1 , ⎯ ⎯→ (1.57) 1 1 lui-même (pour un observateur placé dans R 0 ). Définition : On appelle torseur distributeur des vitesses, ou parfois torseur cinématique, du repère R 1 dans son mouvement par rapport à R 0 à l'instant t le torseur noté V = V R 1 / R 0 d'éléments de réduction en un point P1 : r → R V = Ω B1 / B0 V =V R 1 / R 0 = r r M P1 V = V P1 / R 0 1 FdO P I GG JJ H dt K ⎯⎯→ = 1 /B 0 FdPQ I GG JJ , H144dt244 K3 ⎯ ⎯→ + 0 1 /B 0 b g d i d 1 1 /B 0 i d r 0 r r ∀ P, Q ∈ S 1 , V Q1 / R 0 = V P1 / R 0 i (1.59) Ce torseur est représentatif des degrés de liberté d'un solide par rapport à un autre (voir chapitre 2). Catherine Potel - 1.21 - Université du Maine - Le Mans Catherine Potel - 1.22 - Université du Maine - Le Mans Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2 A chaque instant, le mouvement élémentaire instantané est une translation rectiligne, mais cette translation élémentaire change à chaque instant aussi bien par sa vitesse que par sa direction. Chapitre 1 Cinématique du solide Roulement d'un cylindre sur un plan dΠ i dΠ i du cylindre se déplace sur le plan b Π g , fixe par rapport au plan de roulement et perpendiculaire à ce dernier (figure 1.21). L'axe b ∆ g du cylindre Une section droite 1 bΠ g Définitions : r - i) Si ∀ t , V P1 / R 0 garde la même direction, alors la translation est rectiligne. r - ii) Si ∀ t , V P1 / R 0 est une constante, alors la translation est uniforme. d d - iii) i i 1 0 0 (∆) reste parallèle à lui même. Si ∀ t , on a à la fois i) et ii), alors la translation est rectiligne uniforme. En pratique, des droites sont tracées sur un solide en translation, ces droites restent toujours parallèles à elles-mêmes. Il en est ainsi de la translation circulaire (figure 1.19). DEUST VAS 2 Figure 1.21 dS i solide fixe, caractérisé par le repère R dS i solide mobile par rapport à dS i, P point lié à dS i et P .point lié à dS i . Notations : 0 i 0 0 Bien que chaque point soit animé d'un mouvement circulaire, il n'y a pas d'axe de rotation pour le mouvement de S 1 par 0, 0 i i d i 2. rapport à R 0 . → ez Un exemple de tel mouvement est celui des nacelles d'une grande roue (figure 1.19) : il y a une rotation de la roue r autour de e z , mais chaque nacelle (dont on néglige le Figure 1.19 balancement) est animée d'un mouvement de translation à génératrices circulaires. Définition Définition : On appelle mouvement plan d'un solide S 1 par rapport à un repère R 0 , d i d i un mouvement tel qu'il existe une direction (fixe) de plan π 0 telle que tout plan Π 1 d i b g d i d i lié à S 1 parallèle à cette direction π 0 , coïncide tout au long du mouvement avec un plan fixe Π 0 , lui aussi parallèle à π 0 . Il ne faut pas confondre un tel mouvement avec la rotation d'un solide autour d'une droite. Un tel mouvement sera donc parfaitement défini dès lors que l'on aura précisé le mouvement d'un de ces plans Π 1 , lié à S 1 , par rapport au plan fixe Π 0 , lié à R 0 , avec lequel il III trajectoire identique à celle de sa projection orthogonale H 1 sur Π 1 : on appelle donc ! MOUVEMENT PLAN : CINEMATIQUE GRAPHIQUE d i d i d i b g d i coïncide en permanence. En effet, un point M 1 de S 1 en dehors de Π 1 décrit une d i fréquemment un tel mouvement, "mouvement plan sur plan". On choisira des axes O 1x 1 y 1 et 1 d i O 0 x 0 y 0 liés à ces plans respectivement. Tous les points de S 1 considérés dorénavant sont Exemples d i choisis dans ce plan Π 1 . Leurs vecteurs vitesses sont également situés dans ce plan. Mouvement d'une échelle simple dans le plan vertical de la figure y0 dΠ i 1 bΠ g d i Le plan Π 1 de symétrie de l'échelle (figure 1.20) b g se déplace sur le plan Π 0 . 0 x0 O0 Figure 1.20 Catherine Potel Remarque : ce mouvement plan sera étudié en III/5a) sous une forme légèrement différente. - 1.23 - Université du Maine - Le Mans Catherine Potel - 1.24 - Université du Maine - Le Mans Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2 Chapitre 1 Cinématique du solide Centre instantané de rotation du mouvement de R 1 par rapport à R 0 3. ii) DEUST VAS 2 Construction du c.i.r. à partir de deux vecteurs vitesse équiprojectifs a) Cas où le torseur distributeur des vitesses est un glisseur : r r r r Ω B1 / B 0 ≠ 0 et Ω B1 / B 0 ⋅ V P1 / R 0 = 0 ( ) ( - b∆ g d → Ω B 1 /B 0 I P''1 P1 P'''1 → d V P 1/R 0 → d V P"'1 /R 0 P1 est la projection orthogonale de d i → d V P"1 /R 0 i ) d i P'1 sur le plan Π 1 . On a bien : r r V P1 / R 0 = V P'1 /R 0 I' P'1 ) ( i i d d autour de Figure 1.22 i d bg bΠ g. i d i 0 i La formule de distribution des vitesses (1.52) donne : → ⎯ ⎯→ r V P1 / R 0 = Ω B1 / B0 ∧ I 1P1 , (1.61) → ⎯ ⎯→ r (1.62) et V Q 1 / R 0 = Ω B1 / B0 ∧ I 1Q 1 . d d i d → V P1/R 0 Q bg b g b g I ∈ b ∆ g , que l'on appelle alors d → V Q 1/R0 centre instantané de rotation. i) i champ des moments d'un glisseur de support ∆ passant par I et perpendiculaire à Π 1 et à vissage instantané est une rotation pure autour de l'axe ∆ , perpendiculaire à Π 0 . Dans ce plan Π 0 , on a une rotation pure i d r On vient de voir qu'à un instant t, le champ des vitesses V P1 / R 0 apparaît comme le On est ici dans un cas de r r dégénérescence où Ω B 1 / B 0 ≠ 0 . Le d i r r Cas où V P1 / R 0 et V Q 1 / R 0 ne sont pas parallèles : P i i L'équation (1.61) implique que I 1 appartient à la r perpendiculaire à V P1 / R 0 passant par P1 et i d i l'équation (1.62) implique que I 1 appartient à la r perpendiculaire à V Q 1 / R 0 passant par Q 1 . I est d I Figure 1.23 Définition du c.i.r. i d i d i donc le point d'intersection des normales aux vecteurs vitesse en P1 et en Q 1 . d i Le point I 1 de Π 1 qui se trouve en I à cet instant a sa vitesse nulle. On est donc conduit à d i Réciproquement, la donnée, à l'instant t, de la vitesse d'un point P1 de S 1 et de la position poser la définition suivante : Définition : On appelle centre instantané de rotation de R 1 par rapport à R 0 (c.i.r.) d i le point géométrique I tel que la vitesse du point I 1 = I ∈ S 1 se trouvant en I à l'instant considéré soit nulle, c'est-à-dire tel que : r r V I 1 / R 0 = 0. d i du centre instantané de rotation I permet de construire la vitesse de tout autre point Q 1 , par équiprojectivité des vitesses voir (figure 1.23). d i d i d i d i r r r r Cas où V P1 / R 0 et V Q 1 / R 0 sont parallèles mais V P1 / R 0 ≠ V Q 1 / R 0 : (1.60) On utilise alors la figure 1.22 en prenant P1'" pour point Q 1 : Pour un mouvement plan quelconque, il en est ainsi à tout instant t, mais le point géométrique I varie au cours du temps, aussi bien dans le plan fixe Π 0 que dans le ! b g d i d → P V P1/R 0 i plan mobile Π 1 . Il est essentiel de remarquer que la vitesse de ce point géométrique d i I , par rapport à R 0 , n'est pas nulle. C'est la vitesse du point I 1 du plan Π 1 , qui se Q d → V Q 1/R0 trouve en I à l'instant t, qui est nulle. d i d i r r r V I / R 0 = V I / R 1 ≠ 0 ! d i C'est la vitesse du point I 1 du plan Π 1 , qui se trouve en I à I i I est donc le centre de l'homothétie qui fait se correspondre les deux vecteurs vitesse. Le mouvement élémentaire instantané est encore une rotation instantanée d'axe ∆ passant par I . Cette situation bg n'est pas différente du cas général traité plus haut ; c'est seulement un choix particulier des points P1 et Q 1 qui a conduit à deux vecteurs vitesse parallèles. Figure 1.24 l'instant t, qui est nulle. Catherine Potel - 1.25 - Université du Maine - Le Mans Catherine Potel - 1.26 - Université du Maine - Le Mans Chapitre 1 Cinématique du solide b) d DEUST VAS 2 Chapitre 1 Cinématique du solide Cas où le torseur distributeur des vitesses est un couple : r r r r Ω B1 / B 0 = 0 et V P1 / R 0 ≠ 0 ( i d ) ( d) ) i r r Si V P1 / R 0 = V Q 1 / R 0 alors le champ des vitesses est constant. Il n'y a pas de centre instantané de rotation à cet instant. Le mouvement élémentaire instantané est une translation. Si cette circonstance se produit à tout instant, le mouvement plan est un mouvement de translation à génératrices planes. On peut aussi considérer que le c.i.r. I est rejeté à l'infini dans la direction perpendiculaire à celle des vecteurs vitesse, comme le montre la figure 1.24 r r sur laquelle on ferait tendre la longueur de V Q 1 / R 0 vers celle de V P1 / R 0 . d i d Eléments de cinématique graphique Comme on l'a déjà vu au § I/4-a), il va s'avérer utile d'affecter un indice particulier à tout solide mobile, afin d'identifier les points qui lui sont liés et le suivent donc dans son mouvement. S 0 représentera le solide fixe, caractérisé par le repère R 0 ≡ O 0 , x 0 y 0 z 0 et d i b i 0 0 2 3 But de la cinématique graphique une liaison pivot de centre A entre un solide c et un solide d implique : r r r r V A 1 / R 0 = V A 2 / R 0 , c'est-à-dire V A 1 /R 2 = 0 . d i d i d - i i d d i d i 0 Figure 1.25 d i d i On note I i j le c.i.r. du solide S i par rapport au repère R j , lié au solide S j . Ces points sont donnés par les propriétés géométriques des liaisons : d i d i r r La liaison pivot en O entre le bâti b et la manivelle c impose V O 1 / R 0 = V O 0 / R 0 . r r r r Or V O 0 / R 0 = 0 , donc V O 1 / R 0 = 0 , ce qui est la définition du c.i.r. du mouvement de d d i i d i I 10 ≡ O . i d d i i d i d r La liaison glissière entre le piston e et le bâti b impose que la direction de V B 3 / R 0 Dans un certain nombre de cas, le c.i.r. est souvent donné par la condition de roulement sans glissement, qui consiste à écrire que : r r r V I 1 /R0 = V I 0 /R0 = 0 . x B Exemple : système bielle-manivelle La manivelle c est animée d'un mouvement circulaire autour du point fixe O. La bielle d permet de transformer ce mouvement circulaire en mouvement de translation du piston e. De même, la liaison pivot en A entre la manivelle c et la bielle d impose r r V A 2 / R 0 = V A 1 / R 0 avec I 12 ≡ A , et la liaison pivot en B entre la bielle d et le r r piston e impose V B 3 / R 0 = V B 2 / R 0 avec I 2 3 ≡ B . une liaison glissière entre un solide c et un solide d implique : r V A 1 / R 2 dans la direction de la glissière, ∀ A 1 du solide c. r I 12 est rejeté à l'infini dans la direction perpendiculaire à V A 1 / R 2 . d 0 c par rapport à b. On a donc : I 12 ≡ A avec I 12 , c.i.r. de c dans son mouvement par rapport à d. 0 i A O - 0 i i Dans la pratique, les mouvements plans concernent des mécanismes constitués d'un certain nombre de solides liés entre eux, tous ces solides se déplaçant parallèlement à un même plan. La cinématique graphique consiste à construire géométriquement les vitesses de certains points des constituants d'un système, connaissant la vitesse de l'un d'entre eux, en utilisant : le c.i.r. de chaque constituant par rapport au repère fixe. l'équiprojectivité des vitesses de deux points appartenant au même constituant. les propriétés géométriques des liaisons entre les constituants. g dS i un solide mobile par rapport à dS i. Tout point lié à dS i, donc fixe, sera noté P . Tout point lié à dS i , donc entraîné avec lui dans le mouvement, sera noté P . 1 c) DEUST VAS 2 (1.63) i soit parallèle à l'axe O x 0 . Il n'y a donc pas de c.i.r. du mouvement de e par rapport à b. D'après ce que l'on a vu au § III/3-b), on peut dire que I 3 0 est rejeté à l'infini dans la direction perpendiculaire à O x 0 . I 2 0 va être donné par la construction de la figure 1.26 : Catherine Potel - 1.27 - Université du Maine - Le Mans Catherine Potel - 1.28 - Université du Maine - Le Mans Chapitre 1 Cinématique du solide d → d d → i d V B 2 /R0 i B x même solide, et par utilisation de la construction présentée sur la figure 1.23, on en déduit I 2 0 . 0 Figure 1.26 d i d i r r La donnée de la vitesse V A 1 / R 0 = V A 2 / R 0 permet, par propriété r r d'équiprojectivité, d'en déduire V B 2 / R 0 = V B 3 / R 0 : A 2 et B 2 appartiennent au même r solide d, et l'on connaît de plus la direction de V B 3 / R 0 . Par équiprojectivité, on obtient r la norme de V B 3 / R 0 et par suite le vecteur vitesse (voir figure 1.27). d d i d i d i C ⎯ ⎯→ : si O 0 est l'origine du repère R 0 , on cherche alors O 0 I sur B 0 . 0 ⎯ ⎯→ C 1 : Si O 1 est l'origine du repère R 1 , on cherche alors O 1 I sur B 1. Par composition des vitesses (voir équation (1.35)) : r r r V I /R 0 = V I /R1 + V I1 /R 0 . r r Or, par définition du c.i.r., V I 1 / R 0 = 0, r r donc V I /R 0 = V I /R1 . d Les deux courbes C i → d V I /R0 i 0 bielle d, on a besoin de I 2 0 pour → d i connaître la direction de r V C 2 / R 0 . Par équiprojectivité, d i on obtient ensuite sa norme (voir figure 1.27). → d V C 2 /R0 A i → d i x 0 Figure 1.27 4. Base et roulante Rappel : Pour un mouvement plan quelconque, le point géométrique I varie au cours du temps, aussi bien dans le plan fixe Π 0 que dans le plan mobile Π 1 . Sa vitesse par rapport b g d i (1.64) d I i I1 Les deux courbes C 0 et C 1 roulent donc sans glisser l'une sur l'autre à chaque instant t (voir figure 1.28). Tout mouvement plan peut donc être généré par le roulement sans glissement d'une courbe sur une autre. B V B 2 /R0 i La vitesse de glissement de C 1 par rapport à C 0 r (voir équation (1.49)) est donnée par V I 1 / R 0 I0 Figure 1.28 C O i d i d i d i d i qui, par définition du c.i.r., est nulle. C1 I20 V A 2 /R0 d et C 1 sont donc tangentes en I à chaque instant t. C0 Si l'on souhaite construire la vitesse d'un autre point C 2 de la DEUST VAS 2 dans le repère mobile R 1 . i directions des vitesses de deux points, A 2 et B 2 , appartenant au 3 0 i Cinématique du solide Définitions : On appelle base la trajectoire C 0 du centre instantané de rotation dans le repère fixe R 0 . On appelle roulante la trajectoire C 1 du centre instantané de rotation OA , il en va de même de r V A 2 / R 0 . On connaît donc les A O d d i 2 1 i Chapitre 1 r V B 3 / R 0 étant parallèle à l'axe r O x 0 , V B 2 / R 0 aussi. De même, r V A 1 / R 0 étant perpendiculaire à I20 V A 2 /R0 DEUST VAS 2 d i à R 0 n'est pas nulle. C'est la vitesse du point I 1 du plan Π 1 , qui se trouve en I à l'instant t, 5. Exemples de mouvements plans Comme on l'a déjà vu sur l'exemple du § III/3-d), il va s'avérer utile d'affecter un indice particulier à tout solide mobile, afin d'identifier les points qui lui sont liés et le suivent donc dans son mouvement. S 0 représentera le solide fixe, caractérisé par le repère d i R ≡ b O , x y z g et dS i un solide mobile par rapport à dS i. Tout point lié à dS i, donc fixe, sera noté P . Tout point lié à dS i , donc entraîné avec lui dans le mouvement, sera noté 0 0 0 0 0 0 i 0 0 i Pi . qui est nulle. Catherine Potel - 1.29 - Université du Maine - Le Mans Catherine Potel - 1.30 - Université du Maine - Le Mans Chapitre 1 Cinématique du solide a) DEUST VAS 2 Chapitre 1 Cinématique du solide d → V Q 1/R0 I Q1 C1 O0 Ainsi, par rapport à S 0 , I décrit le cercle C i I Q1 est la base du mouvement. De même, par rapport à S 1 , I d i dS i dS i décrit le cercle C 1 de centre C 1 et de rayon a. C 1 est la 1 C1 1 3 dS i O1 x0 P1 0 P1 dS i 0 Figure 1.29 d → V P1/R 0 i O0 x0 0 de centre O 0 et de rayon 2 a . D'après la définition donnée en III/4, C 0 C1 C0 Q1 2 d i y0 Mouvement d'une barre d'extrémités guidées sur des glissières perpendiculaires y0 y0 DEUST VAS 2 x0 P1 roulante du mouvement. Le cercle C 0 est fixe tandis que Figure 1.30 d i le cercle C 1 lié à S 1 , roule d i Une barre S 1 , de longueur 2 a et de milieu C 1 , a ses extrémités P1 et Q 1 guidées sur des sans glisser sur C 0 . Le point glissières perpendiculaires par des coulisseaux d et e articulés à la barre (figure 1.29). I 1 de C 1 , donc lié à S 1 , qui d r Les vitesses V P1 / R 0 i d r et V Q 1 / R 0 i n'étant jamais parallèles, le mouvement r élémentaire tangent n'est donc jamais une translation. V P1 / R 0 étant parallèle à O 0 x 0 et r V Q 1 / R 0 à O 0 y 0 , par construction (voir § III/3-a-ii)), on obtient le point I, centre d i d i instantané de rotation. Celui-ci se trouve donc, à l'instant de figure, au quatrième sommet du rectangle. d i d i d i r r Si l'on se donne la vitesse V P1 / R 0 , on peut construire V Q 1 / R 0 par rotation (de centre I) et homothétie (de centre I). On peut également utiliser directement l'équiprojectivité des vitesses, comme le montre la figure 1.30. Figure 1.31 d i des dentures, ce qui, dans le cas présent, ramène le mouvement au roulement d'une roue dentée sur une autre (engrenage). Cependant, dans le cas général, cette réalisation technologique n'est pas possible car base et roulantes ne sont pas circulaires. Base et roulante d i d i solides dS i ou dS i . On a : O rapport à S 1 . C'est un point géométrique, sans indice, qui n'appartient à aucun des deux 0 1 0 I = 2 a et C 1I = a . b g Remarque : cinématiquement, le mouvement de Π 1 par rapport à Π 0 est le même que celui de C 1 sur C 0 . Le roulement sans glissement peut être réalisé technologiquement par b) Le centre instantané de rotation I bouge, lorsque t varie, aussi bien par rapport à S 0 que par se trouve au contact I des deux cercles à l'instant t a sa vitesse nulle. Roulement sans glissement d'un cercle sur une droite fixe d i Le cercle S 1 de centre C 1 et de rayon a roule sans glisser sur la droite fixe, support de l'axe O 0 x 0 (voir figure 1.32). Cette condition s'exprime (voir équation (1.50)) en écrivant que la d i vitesse du point I ∈ S 1 ≡ I 1 qui se trouve au contact I à l'instant considéré a sa vitesse nulle : r r (1.65) V I 1 / R 0 = 0. d i d i I est donc le centre instantané de rotation de S 1 par rapport à R 0 . Si l'on se donne r V C 1 / R 0 , sur la parallèle à O 0 x 0 , c'est-à-dire sur la droite y 0 = a , on peut construire par d i d i rotation et homothétie de centre I les vitesses des autres points liés à S 1 , comme le montre r r V B1 / R 0 = 2V C1 / R 0 . (1.66) la figure 1.33. Par exemple, Catherine Potel - 1.31 - Université du Maine - Le Mans Catherine Potel d i d - 1.32 - i Université du Maine - Le Mans Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2 En I, il y a lieu de considérer que trois points sont confondus à l'instant t : - le point fixe I 0 , d i - le point I 1 lié à S 1 et dont la vitesse s'annule à cet instant précis, - le point géométrique I de contact, centre instantané de rotation, dont la vitesse n'est nulle, ni par rapport à R 0 , ni par rapport à R 1 . y0 y1 a B1 → d V B 1 /R 0 i → ex C1 x(t) → ex 0 θ(t) 1 A1 i C1 i ! (1.69) b g La faute à ne pas faire est de calculer les coordonnées de I dans R 0 , c'est-à-dire x, 0 et d'écrire que leurs dérivées sont nulles, ce qui donnerait x& = 0 . Application : les engrenages dS i x1 1 I I dS i O0 d V C 1 /R 0 a i d r r V I 1 / R 0 = x& + a θ& e x 0 . Afin de limiter la quantité d'outils de taillage des roues dentées et de faciliter les réassortiments, on répartit régulièrement les surfaces conjuguées sur une surface appelée surface primitive. Leur écartement, donnant la largeur de la dent, dépend des efforts à transmettre et d'une condition de continuité d'engrènement. 1 a d DEUST VAS 2 La condition cinématique de roulement sans glissement s'écrit donc : x& + a θ& = 0. 6. dS i → Cinématique du solide ⎯⎯ ⎯→ r Or C 1I 1 = a e y 0 , donc Remarque : y0 Chapitre 1 dS i O0 x0 0 x0 0 figure 1.32 figure 1.33 ⎯ ⎯→ Comme C 1I reste constant par rapport à R 0 , on a dans le cas présent : r r V I /R 0 = V C1 /R 0 , r r et on a vu par ailleurs que V I /R 0 = V I /R1 . d i d i d d i i (1.67) Figure 1.34 Expression analytique de la condition de roulement sans glissement a) Si l'on ne tient compte que du contact (avec ou sans glissement) du cercle sur la droite, la position de S 1 par rapport à S 0 peut être définie par deux paramètres : l'abscisse x t de d i d i bg bg son centre C 1 sur la droite y 0 = a et la rotation (algébrique) θ t du cercle sur lui-même. r Cette dernière est définie en considérant un axe C 1x 1 lié à S 1 , de vecteur unitaire e x1 et en r r posant : (1.68) θ = e x 0 , e x1 2π On notera sur la figure 1.32 que lorsque x t Ê x& > 0 alors θ t Ì θ& < 0 algébriquement, d i b g bg b g d i bg d i Définition La surface active d'une dent est la surface latérale d'un prisme dont la section droite (donc perpendiculaire à l'axe de la roue) est appelée profil de denture. La dent menante et la dent menée sont dites conjuguées par leurs surfaces de contact. Le profil de l'une est le profil conjugué de l'autre. ce qui est une difficulté de la configuration. d i Le vecteur rotation instantanée de S 1 r par rapport à R 0 étant θ& e z 0 , on a, d'après l'équation (1.52) : d i d i ⎯⎯→ r r r V I 1 / R 0 = V C 1 / R 0 + θ& e z 0 ∧ C 1I 1 . Catherine Potel - 1.33 - Université du Maine - Le Mans Catherine Potel - 1.34 - Université du Maine - Le Mans Chapitre 1 Cinématique du solide b) DEUST VAS 2 Chapitre 1 Développante de cercle Cinématique du solide c) Ligne d'engrènement, angle de pression, cercles de base Le profil le plus utilisé en construction mécanique est le profil en développante de cercle. Le cercle de la développante est appelé cercle de base de la roue dentée. y0 T1 3.5 y D1 R'1 I C 2 cercle primitif D2 2.5 O M A 0 1.5 I Figure 1.35 1 0.5 0 Deux définitions possibles : -1 trajectoire d'un point M appartenant à la droite c qui roule sans glisser sur un cercle fixe b. lieu de l'extrémité M d'un fil c enroulé sur un cylindre b que l'on déroule, le fil restant toujours tendu. R2 α 2 1 0 O -0.5 0 K θ A 1 x R1 roue (S 1 ) x0 C 2' cercle de base ligne d'engrènement cercle de base C 1' C 1 cercle primitif arc IA = distance IM b b O2 R'2 2 Figure 1.36 Equations cartésiennes x = R cos θ + θ sin θ y = R sin θ − θ cos θ α T2 R = OA -1 RS T roue (S 2 ) I 12 O1 M DEUST VAS 2 g g Figure 1.37 d i , centre instantané de rotation du mouvement de dS i Les cercles primitifs C1 et C 2 , respectivement base et roulante du mouvement de S 2 par d i par rapport à dS i . rapport à S 1 , sont tangents en I 12 2 1 Les cercles C 1' et C 2' , de rayons R'1 et R'2 sont les cercles de base. La développante du cercle C 1' constitue le profil de dents D 1 de la roue S 1 . La développante du cercle C '2 constitue le profil de dents D 2 de la roue S 2 . d i d i d i La droite T1T 2 , passant par I 12 et tangente à C 1' et à C '2 est appelée droite de poussée ou droite d'engrènement. Cette droite roule sans glisser sur les cercles mobiles C ' et C ' . Le 1 2 point de contact entre D 1 et D 2 est le point K . Pendant les rotations de C1 et de C 2 , la droite dT T i est immobile et le point de contact K se déplace sur cette droite. Si l'on néglige le frottement de D sur D , d T T i étant normale aux profils, la poussée d'une dent sur l'autre a lieu suivant d T T i et par suite la poussée a un support constant. 1 2 1 2 1 2 1 2 α est appelé angle de pression. En général, il est normalisé α = 20° . Les angles de 14°30' et 22° sont aussi utilisés. Quand l'angle de pression diminue, la tête de la dent devient pointue et se fragilise. Catherine Potel - 1.35 - Université du Maine - Le Mans Catherine Potel - 1.36 - Université du Maine - Le Mans
