COURS DE MECANIQUE 2ème année

Catherine Potel, Philippe Gatignol Université du Maine, Le Mans
COURS DE MECANIQUE
2ème année
Catherine POTEL, Philippe GATIGNOL
Chapitre 1.
CINEMATIQUE DU SOLIDE
Université du Maine - UFR Sciences et Techniques
Catherine Potel, Philippe Gatignol Université du Maine, Le Mans
AVANT-PROPOS
A noter que la numérotation des paragraphes adoptée ici est calquée sur celle du cours oral
afin de faciliter le suivi du cours magistral, mais ne répond pas aux normes de présentation
usuelles d'un document écrit.

Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.1 - Université du Maine - Le Mans
I RAPPELS DE CINEMATIQUE DU POINT
1 Repères et bases
a) Base orthonormée directe
B=rrr eee
xyz
,,
d
i
est une base orthonormée si et seulement si :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
===
⊥⊥
1eee
eee
zyx
zyx rrr
rrr
(vecteurs orthogonaux deux à deux)
(vecteurs unitaires)
ey
ez
ex
Figure 1.1
.
ey
ez
ex
Figure 1.2
Si, de plus, deux des vecteurs de la base définissent le sens positif du
troisième selon la "règle du tire-bouchon" ou selon la "règle des trois
doigts", B=
r
r
r
eee
xyz
,,
d
i
est une base orthonormée directe. Sinon, elle
est indirecte.
Règle du tire bouchon :
rotation de
r
ex vers
r
ey : progression selon
r
ez (figure 1.1)
Représentation plane :
où
.
désigne un vecteur "rentrant" dans le plan de la feuille
.
désigne un vecteur "pointant" vers le lecteur (figure 1.2).
b) Repère orthonormé direct
Un repère R de l'espace est défini par la donnée
- d'un point de l'espace appelé origine, soit O.
- soit de
trois directions orientées x, y, z perpendiculaires deux à deux
- soit de trois vecteurs libres unitaires, orthogonaux deux à deux, soit
B
=
r
r
r
eee
xyz
,,
d
i
,
la base orthonormée associée au repère R.
Terminologie et notations : on parle alors du repère Oxyz,
bg
ou du repère d'origine O et de
base
B
=
r
r
r
eee
xyz
,,
d
i
, noté selon les cas :
R, Oxyz,
bg
, Oe e e
xyz
;,,
r
r
r
d
i
ou O,B
b
g
.
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.2 - Université du Maine - Le Mans
c) Coordonnées d'un point - composantes d'un vecteur
y
z
x
O
M
H
z
y
x
ey
ez
ex
Figure 1.3
 Un vecteur a des composantes sur une base
B
=
r
r
r
eee
xyz
,,
d
i
. Ainsi,
OM xe ye ze
xyz
⎯→⎯=++
rrr
,
également noté :
OM x
y
z
⎯→⎯
B
(1.1)
Remarque fondamentale. Un même vecteur a
des composantes différentes suivant la base sur
laquelle il est projeté. Il faut donc toujours
signaler dans quelle base on a projeté le vecteur.
 Un point M a pour coordonnées dans le repère RB
=
O,
b
g
: Mxyz,,
b
g
d) Repère cartésien. Coordonnées cartésiennes
Soit R=Oe e e
xyz
;,,
r
r
r
d
i
un repère orthonormé positif donné.
A tout point M de l'espace, on associe le vecteur libre OM
⎯→⎯.
Les composantes de OM
⎯→⎯ sur la base
r
r
r
eee
xyz
,,
d
i
sont appelées "coordonnées
cartésiennes du point M dans le repère R". Nous les noterons x, y, z.
Cela revient à dire que OM xe ye ze
xyz
⎯→⎯=++
rrr
(1.2)
e) Coordonnées cylindriques
On considère un plan Π orienté conformément au sens de sa normale, soit Oz, et un repère
R=Oe e e
xyz
;,,
r
r
r
d
i
. Le repère Oe e
xy
;,
r
r
d
i
est donc un repère positif du plan.
i) Coordonnées polaires dans le plan
H étant un point quelconque de Oe e
xy
;,
r
r
d
i
, on considère la droite OH
b
g
sur laquelle on
choisit une orientation qui n'est pas nécessairement celle du vecteur OH
⎯→⎯. On définit ainsi un
axe Ox1. On désigne par :

Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.3 - Université du Maine - Le Mans
O
y
zx
x1
= OH
ρ
ϕΗ
.
Figure 1.4
ρ : la mesure algébrique OH sur Ox1.
ϕ : l'angle algébrique Ox Ox, 1
bg
, défini modulo 2π.
ρ
et ϕ constituent un couple de "coordonnées polaires"
associé au point H.
Remarques : A un point H correspond une infinité de couples de coordonnées polaires :
- il y a déjà l'infinité
ρ
ϕ
π
,
+
∈2k k 
af
- si l'on change le choix de l'orientation de la droite OH
b
g
, l'axe Ox1 est changé en son
opposé, donc ρ en -ρ et ϕ en ϕ + π (modulo 2π).
- on a donc la double infinité de points : ρϕ
π
ρϕ π π
,
,
+
−++
R
S
T∈
2
2
k
kk
af
(1.3)
i) Coordonnées cylindriques
Le repère R=Oe e e
xyz
;,,
r
r
r
d
i
étant donné, on peut repérer un point M quelconque de l'espace
de la manière suivante : on considère les projections H sur le plan Oe e
xy
;,
r
r
d
i
et K sur l'axe
Oz. La position de H est repérée dans le plan par ses coordonnées polaires H
ρ
ϕ
,
b
g
et celles
de K sur Oz par la mesure algébrique OK z=.
O
y
z
x
M
H
K
= OH x1
ρ
= OK
z
ϕ
Figure 1.5
Le point M est donc repéré par le triplet
ρϕ,,z
b
g
appelé "coordonnées cylindriques" de M
dans R=Oe e e
xyz
;,,
r
r
r
d
i
, avec l'indétermination
sur ρ et ϕ déjà signalée.
On définit la base orthonormée locale des
coordonnées cylindriques Bcz
eee=
r
r
r
ρϕ
,,
d
i
où
rrr
eee
zρϕ
,, sont définis dans le sens des
ρ
ϕ
,,z
croissants.
iii) Relations avec les coordonnées cartésiennes
 Marche à suivre :
c Il faut d'abord déterminer les relations entre les vecteurs de la base des coordonnées
cartésiennes B=r
r
r
eee
xyz
,,
d
i
et les vecteurs de la base orthonormée locale des coordonnées
cylindriques Bcz
eee=r
r
r
ρϕ
,,
d
i
.
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.4 - Université du Maine - Le Mans
d Sachant ensuite que OM xe ye ze
xyz
⎯→⎯=++
rrr
et aussi que OM e zez
⎯→⎯=+ρρ
rr
, on en déduira
alors les relations entre xyz,,
bg
et
ρ
ϕ
,,z
b
g
 Obtention des relations cherchées :
ϕ
.
ey
ez
ex
ϕeρ
eϕ
Figure 1.6
La projection des vecteurs de la base Bcz
eee=rrr
ρϕ
,,
d
i
sur
ceux de la base B=
r
r
r
eee
xyz
,,
d
i
donne :
y
y
x
x
zz
e
e
cos
sin
e
e
e
sin
cos
e
e
er
r
r
r
rr
r
r
ϕ
ϕ
+
+
ϕ−
ϕ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
ϕ
ρ . (1.4)
Inversement, la projection des vecteurs de la base B=
r
r
r
eee
xyz
,,
d
i
sur ceux de la base
Bcz eee=
r
r
r
ρϕ
,,
d
i
donne :
r
r
rr
r
r
r
r
e
e
ee
e
e
e
e
x
y
zz
=
=
=
R
S
|
T
|
−
+
cos
sin
sin
cos
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ρ
ρ
ϕ
ϕ , (1.5)
ce qui peut être résumé dans le tableau suivant :
100e
0cossine
0sincose
eee
z
zyx
r
r
r
r
r
r
ϕϕ−
ϕϕ
ϕ
ρ . (1.6)
De plus,
OM e ze
eeze
xe ye ze
z
xyz
xyz
⎯→⎯=+
=++
=++
ρ
ρϕ ϕ
ρ
rr
rrr
rrr
cos sin
di
d'où
x
y
zz
=
=
=
R
S
|
T
|
ρϕ
ρϕ
cos
sin . (1.7)
f) Coordonnées sphériques
Le repère Oxyz,
bg
étant donné, ce qui revient à définir R=Oe e e
xyz
;,,
r
r
r
d
i
, et M désignant
un point quelconque non situé sur Oz, on considère le plan défini par Oz et ce point M. Ce
plan coupe le plan Oe e
xy
;,
r
r
d
i
selon une droite que l'on oriente de telle sorte que l'axe Ox1
ainsi défini "pointe" dans le demi plan contenant M. Comme précédemment, on appelle
r
eρ le
vecteur unitaire porté par cette droite orientée.

Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.5 - Université du Maine - Le Mans
On désigne par :
ϕ : l'angle algébrique
Ox Ox, 1
bg
, défini modulo 2π,
Oy1 : l'axe perpendiculaire, dans le plan Oe e
xy
;,
r
r
d
i
tel que Oy Oy, 1
bg
=ϕ
,
r
eϕ : le vecteur unitaire porté par l'axe Oy1,
Oz2 : la droite
OM
b
g
orientée dans le sens du vecteur OM
⎯→⎯,
r : la mesure algébrique
OM, toujours positive,
r
e
r
: le vecteur unitaire porté par l'axe Oz2,
θ : l'angle orienté Oz Oz,2
bg
, compté positivement dans le plan O zx,1
bg
, c'est-
à-dire le plan Oe e
z
;,
r
r
ρ
d
i
, conformément à l'orientation de sa normale Oy1 et
compris entre 0 et π,
Ox2 : l'axe perpendiculaire, dans le plan O e e
z
;,
r
r
ρ
d
i
tel que Ox Ox
12
,
bg
=θ,
r
eθ : le vecteur unitaire porté par l'axe Ox2.
Oy
z
x
M
H
K
x1
y1
ϕ
θ
z2
r
x2
θ
Figure 1.7
Oxyz,11
bg
ou Rcz Oe e e=;,,
r
r
r
ρϕ
d
i
est donc un
nouveau repère orthonormé positif, déduit de Oxyz,
bg
par rotation de ϕ autour de Oz, commun aux deux
repères.
Oz x y,221
bg
ou Rsr
Oe e e=;,,
r
r
r
θϕ
d
i
est donc un
nouveau repère orthonormé positif, déduit de
Oxyz,11
bg
par rotation de θ autour de Oy1, commun
aux deux repères.
Le point M est donc repéré par le triplet r, ,
θ
ϕ
b
g
appelé
"coordonnées sphériques" de M dans
R=Oe e e
xyz
;,,
r
r
r
d
i
, avec
r>
∈
∈
R
S
|
T
|
0
0
02 2
θπ
ϕππ
,
,bg
. (1.8)
Remarque.
Ces coordonnées ne sont pas définies lorsque M est sur Oz.
ϕ s'appelle l'azimut et θ la colatitude.
Cherchons maintenant les relations avec les coordonnées cartésiennes.
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.6 - Université du Maine - Le Mans
 Marche à suivre :
* Il faut d'abord déterminer les relations entre les vecteurs de la base des coordonnées
cartésiennes B=
r
r
r
eee
xyz
,,
d
i
avec les vecteurs de la base locale des coordonnées cylindriques
Bcz eee=
r
r
r
ρϕ
,,
d
i
, ce qui a fait l'objet du § I/1-e).
* Il faut ensuite déterminer les relations entre les vecteurs de la base locale des coordonnées
cylindriques Bcz
eee=
r
r
r
ρϕ
,,
d
i
avec les vecteurs de la base locale des coordonnées sphériques
Bsr eee=
r
r
r
,,
θϕ
d
i
.
* Sachant ensuite que OM xe ye ze
xyz
⎯→⎯=++
rrr
et aussi que OM re
r
⎯→⎯=r, on en déduira alors les
relations entre x y z,,
bg
et r, ,
θ
ϕ
b
g
.
 Obtention des relations cherchées :
Les deux figures suivantes 1.8 a) et 1.8 b) sont tout à fait équivalentes. La première se
rapproche plus du dessin en perspective de la figure 1.7, alors que la deuxième permet de se
ramener à une configuration classique pour projeter les vecteurs de base.
ezer
e
θ
θ
θeρ
eϕ
.θ
.ez
er
eθ
θ
eρ
eϕ
figure 1.8-a) figure 1.8-b)
où
.
désigne un vecteur "rentrant" dans le plan de la feuille
.
désigne un vecteur "pointant" vers le lecteur.
La projection des vecteurs de la base Bsr
eee=
r
r
r
,,
θϕ
d
i
sur ceux de la base Bcz
eee=
r
r
r
ρϕ
,,
d
i
donne :
r
r
rr
r
r
r
r
e
e
ee
e
e
e
e
rz
z
=
=
=
R
S
|
T
|−
+
+
θ
ϕϕ
ρ
ρ
θ
θ
θ
θ
cos
sin
sin
cos . (1.9)

Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.7 - Université du Maine - Le Mans
Inversement, la projection des vecteurs de la base Bcz
eee=
r
r
r
ρϕ
,,
d
i
sur ceux de la base
Bsr eee=
r
r
r
,,
θϕ
d
i
donne :
r
r
rr
r
r
r
r
e
e
ee
e
e
e
e
zr
r
=
=
=
R
S
|
T
|
−
+
ρ
ϕϕ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
cos
sin
sin
cos . (1.10)
Il reste ensuite à remplacer les vecteurs de la base Bcz
eee=
r
r
r
ρϕ
,,
d
i
par leur expression en
fonction des vecteurs de la base B=rrr
eee
xyz
,,
d
i
dans l'équation précédente, ce qui peut être
résumé dans le tableau suivant :
rr
r
r
r
r
eee
e
e
e
xyz
rsin cos sin sin cos
cos cos cos sin sin
sin cos
θϕ θϕ θ
θϕ θϕ θ
ϕϕ
θ
ϕ
−
−0
(1.11)
De plus,
OM re
re ee
xe ye ze
r
xyz
xyz
⎯→⎯=
=++
=++
r
rrr
rrr
sin cos sin sin cosθϕ θϕ θ
di
d'où
xr
yr
zr
=
=
=
R
S
|
T
|
sin cos
sin sin
cos
θϕ
θϕ
θ
. (1.12)
g) En résumé
- Coordonnées cartésiennes : x, y, z ; OM xe ye ze
xyz
⎯→⎯=++
rrr
- Coordonnées cylindriques : ρϕ,,z
b
g
; OM e zez
⎯→⎯=+ρρ
rr
- Coordonnées sphériques : r, ,θϕ
b
g
; OM re
r
⎯→⎯=r
OM x
y
z
OM
z
OM r
cs
⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎯
==
BB B
ρ
00
0
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.8 - Université du Maine - Le Mans
2. Vecteurs vitesse, rotation et accélération
a) Vecteur vitesse
Définition : on appelle vecteur vitesse (ou simplement la vitesse) d'un point M par
rapport à un repère RB
=
O,
b
g
le vecteur dérivée par rapport au temps
t
, et par
rapport à la base B, du vecteur position OM
⎯→⎯.
Notation :
r
VM dM
dt
/
/
R
B
af
=
F
H
G
G
I
K
J
J
⎯→⎯
O . (1.13)
Dimension : VLT enms=
−
1/
b) Vecteur accélération
Définition : On appelle vecteur accélération ( ou simplement accélération) d'un point
M par rapport à un repère RB
=
O,
b
g
le vecteur dérivée par rapport au temps, et par
rapport à la base B, du vecteur vitesse
r
VM/R
bg
.
Notation :
r
r
ΓMdM
dt
dV
dt
M
/
/
/
/
R
B
R
B
af
=
F
H
G
G
I
K
J
J=
F
H
G
I
K
J
⎯→⎯
2
2
O . (1.14)
Dimension : Γ=
−
LT en m s
22
/
c) Vecteur rotation
i) Introduction : mouvement d'un point dans le plan
Ö Première méthode : utilisation des composantes cartésiennes sur B0
O
y
zx
x1
= OM
ρ
ϕΜ
.0
0
0
Figure 1.9
Les coordonnées polaires
ρ
t
b
g
et
ϕ
t
b
g
sont liées aux
coordonnées cartésiennes par (voir ch 1 § I/1-g) :
xt t t
yt t t
bg bg bg
bg bg bg
=
=
R
S
T
ρϕ
ρϕ
cos
sin . (1.15)