Le théorème de Thalès

Le théorème de Thalès
Programmes :
4e :
- Triangles, milieux et parallèles : théorèmes relatifs aux milieux de deux côtés d’un
triangle
- Triangles déterminés par 2 droites parallèles coupant deux demi-droites de même
origine
- Agrandissement et réduction
3 e : - Configuration de Thalès : connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour
les côtés des deux triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes
- Connaître et utiliser un énoncé réciproque
- Agrandissement et réduction
Pré-requis : Triangle, parallélogramme, angles, milieu d’un segment, droites parallèles, aire
d’une surface, volume d’un solide, proportionnalité, pourcentages, parabole, mesures
algébriques, axe de symétrie
I. Le théorème de Thalès dans un triangle
Deux configurations possibles :
(configuration "en papillon")
Théorème : Soit ABC un triangle non aplati. Si D et E sont deux points de (AB) et (AC)
respectivement, tels que (DE) et (BC) soient parallèles, alors les longueurs des côtés
correspondants des triangles ABC et ADE sont proportionnelles :
AD AE DE


.
AB AC BC
Exemple : Calcul de la longueur d’un segment
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ABCD est un parallélogramme tel que AB
= 8 cm, AD = 5 cm et BD = 7 cm.
E est un point de [AB] tel que AE = 3 cm.
La droite parallèle à (AD) passant par E
coupe (BD) en F et (CD) e, G.
On veut calculer la longueur du segment
[EF].
On se place dans le triangle ABD. E et F appartiennent respectivement à [AB] et [BD], et (EF)
est parallèle à (AD). En appliquant le théorème de Thalès dans ce triangle, on obtient donc :
BE EF
BE  AD
, soit : EF 
.

BA AD
BA
(8cm  3cm)  5cm
Application numérique : EF 
 3,1cm
8cm
Exercice d'application : Calcul de la hauteur d'une maison
M. Durand décide d'utiliser la méthode de Thalès pour mesurer la hauteur de sa maison. Il
plante un bâton vertical à 10m de la maison. Le bâton mesure 0,91m. L'extrémité de l'ombre
de la maison et celle du bâton coïncident en un point A à 2m du pied du bâton. Calculer la
hauteur de la maison.
II. La réciproque du théorème de Thalès dans un triangle
1) Cas général
Théorème : Soit ABC un triangle. Si A, D, B et A, E, C sont
AD AE
alignés dans le même ordre, et si
, alors (DE)

AB AC
et (BC) sont parallèles.
Exercice d'application (TICE) : Conjecturer puis prouver que deux droites sont parallèles ou
non (Transmath 2012, 3e, 9 p.234)
Tracer un quadrilatère ABCD quelconque.
Placer un point E sur [AB].
Tracer la parallèle à la droite (BC) passant par E ; elle coupe (AC) en F.
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Tracer la parallèle à la droite (CD) passant par F ; elle coupe (AD) en G.
Emettre une conjecture sur les droites (EG) et (BD).
Démontrer cette conjecture.
2) Cas particulier : le théorème de la droite des milieux dans un triangle
Théorème : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux des côtés, alors elle
est parallèle au troisième côté.
Exercice d'application (Transmath 4e, 64 p.243) :
Soit ABC un triangle. Soient D le milieu de [BC], M le
milieu de [AD], E le point d'intersection de (CM) et (AB),
et F le point d'intersection de (AB) et de la droite
parallèle à (CM) passant par D.
Montrer que AE = EF = FB.
III. Application du théorème de Thalès : agrandissement et réduction
1) Effets sur les longueurs et les angles
Propriété : Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les longueurs sont
multipliées par k, et les mesures d’angles sont conservées.
2) Effets sur les aires et les volumes
Propriété : Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, l’aire d’une surface est
multipliée par k², et le volume d’un solide par k3.
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IV. Exercices sur le théorème de Thalès dans un triangle et sa réciproque
Exercice 1 (niveau 3e) : Le puzzle de Lewis Carroll
On considère le carré de 8 carreaux de côté ci-dessus. En utilisant les triangles et les trapèzes
constituant le carré comme des pièces de puzzle, on transforme ce carré en un rectangle de
5 carreaux sur 13 carreaux (cf. figure ci-dessus).
1) Quel est le paradoxe considéré ici ?
2) Démontez ce paradoxe à l'aide d'un raisonnement par l'absurde.
Intérêt de l'exercice : exercice de recherche qui requiert l'utilisation d'un type de
raisonnement peu utilisé par les élèves en 3e : le raisonnement par l'absurde.
Plusieurs manières de démonter le paradoxe considéré.
Exercice 2 (niveau 4e / 3e) : Partage d'un segment
Soit [AB] un segment. Trouver une méthode permettant de le découper en 3 parties égales,
sans le mesurer.
Intérêt de l'exercice : Exercice de recherche et de construction.
Exercice 3 (niveau 2de / 1eS) : Construction d'une parabole en utilisant le théorème de Thalès
Soit P une parabole de sommet O, et d'axe de
symétrie D. Soit A un point de P. Soient Δ la
perpendiculaire à D issue de O, et H le projeté
orthogonal de A sur Δ.
On divise le segment [HA] en quatre parties égales,
et l'on fait de même avec [OH].
Les perpendiculaires à Δ en H1, H2 et H3 coupent
respectivement les droites (OA1), (OA2) et (OA3) en
M1, M2 et M3.
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Montrer que M1, M2 et M3 appartiennent également à P.
Exercice 4 (niveau 1eS, TICE) : Volume d’un cylindre inscrit dans un cône
Soit C1 un cône de hauteur H = 10 cm et de rayon de base R = 6 cm.
Soit C2 un cylindre de hauteur h et de rayon r, inscrit dans le cône C1.
1) Calculer le volume du cylindre en sachant que son rayon r est égal à la moitié du
rayon de la base du cône (R).
2) Optimisation : Calculer la valeur de r pour laquelle le volume du cylindre est maximal.
On pourra d’abord chercher à déterminer cette valeur à l’aide d’un logiciel adapté.
Intérêt de l'exercice : Exercice d'optimisation. Illustration du théorème de Thalès dans
l'espace. Utilisation des TICE.
IV. Un prolongement possible de l'utilisation du théorème de Thalès :
le théorème de Ménélaüs
Théorème : Soit ABC un triangle non
aplati.
Soient A’, B’ et C’ sont trois points
différents des sommets du triangle,
appartenant respectivement à (BC), (AC)
et (AB).
Les points A’, B’ et C’ sont alignés si et
A' B B' C C ' A


 1 (en
seulement si
A' C B' A C ' B
mesures algébriques)
Exercice d'application :
Soit DEFG un tétraèdre. R, S et T sont des points de [DE], [EF] et [FG] respectivement, et U
est un point de (DG), tels que R, S, T et U soient coplanaires. Soit V le point d'intersection de
RD SE TF UG



 1.
(RS) et (DF). Montrer que :
RE SF TG UD
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Complément : Le théorème de Thalès dans la plan (cas général) et dans l'espace
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