Séquence n°3 :Théorème de Thalès et sa réciproque I

Séquence n°3 :Théorème de Thalès et sa réciproque
I Agrandissement et réduction
II Théorème de Thalès
III Applications du théorème de Thalès
IV Réciproque du théorème de Thalès
I Agrandissement et réduction
1°) Définition
Une figure F ‘ est un agrandissement (ou une réduction) de la figure F si toutes les
longueurs de la figure F ‘ sont proportionnelles aux longueurs de la figure F .
Le coefficient de proportionnalité k est un nombre positif.
C’est le facteur :
 d’agrandissement lorsque
 de réduction lorsque
Remarque : Sur la figure suivante,
,
et les droites (BC) et (MN) sont
parallèles donc
 le triangle AMN est une réduction du triangle ABC
 le triangle ABC est un agrandissement du triangle AMN
Compétence 3-G-1 : Le triangle DEF est-il une réduction du triangle ABC ? Justifier.
Donc les longueurs des côtés des triangles DEF et ABC sont proportionnelles, le coefficient
de proportionnalité est 0,6.
Donc le triangle DEF est une réduction du triangle ABC.
2°) Propriété n°1
Lors d’un agrandissement ou d’une réduction, les mesures d’angles, le parallélisme et la
perpendicularité sont conservées.
3°) Propriété n°2
Lors d’un agrandissement ou d’une réduction de facteur k d’une figure F :
 Les longueurs de la figure F ‘ sont obtenues en multipliant par k les longueurs de la
figure F
 Le périmètre de la figure F ‘ est obtenu en multipliant par k le périmètre de la figure
F.
 L’aire de la figure F ‘ est obtenue en multipliant par k
2
l’aire de la figure F .
4°) Compétences
Pour les compétences 3-G-2 et 3-G-3, on utilise la figure ci-dessous.
On sait que ZG= 2 cm, ZE= 6 cm et (GD)// (ES).
Compétence 3-G-2 : Le triangle ZES est un agrandissement du triangle ZGD.
Quel est le coefficient d’agrandissement ?
Donc le coefficient d’agrandissement est 3.
Compétence 3-G-3 : On sait que ZD= 2,5 cm et ZGD= 80°.
Quelle est la longueur ZS ? Quelle est la mesure de l’angle
? Justifier.
car dans un agrandissement, les mesures des angles sont conservés.
Compétence 3-G-4 : Le triangle AMN est une réduction du triangle ABC. Le coefficient de
réduction est
. L’aire du triangle ABC est 36 cm2
Quelle est l’aire du triangle AMN ? Justifier .
AMN
ABC
=(
)2
AMN
II Théorème de Thalès
Soit (d) et (d ’) deux droites sécantes en A.
B et M sont deux points de (d) distincts de A.
C et N sont deux points de (d ’) distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors
Exemple : Il y a trois configurations de Thalès.
Figure indisponible pour le moment
.
Dans les trois configurations de Thalès, (BC) // (MN) donc d’après le théorème de Thalès,
on a
.
III Applications du Théorème de Thalès
1°) Calculer une longueur
Exemple : Sur la figure ci-dessous à main-levée, les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A,
et les droites (BC) et (MN) sont parallèles. On a BC= 3 cm, AC= 1,8cm, AN=4,8 cm et AM = 6
cm. Calculer les longueurs AB et MN.
Figure indisponible pour le moment
On se place dans la configuration de Thalès composée des triangles ABC et AMN.
On sait que (MN)//(BC) .
On applique le théorème de Thalès donc
Donc
.
Calcul de AB : On utilise
donc
donc
donc
Calcul de MN : On utilise
donc
donc
donc
2°) Partager un segment
Exemple : Soit un segment [AB].
Construire un point M appartenant au segment [AB] tel que
.
Figure indisponible pour le moment
3°) Prouver que deux droites ne sont pas parallèles
Exemple : Sur la figure ci-dessous à main-levée, RU= 4,2 cm, RT= 9 cm, RV= 6 cm et
RS= 7 cm.
Prouver que les droites(UV) et (ST) ne sont pas parallèles.
Figure indisponible pour le moment
=
=
Donc
donc les droites(UV) et (ST) ne sont pas parallèles.
IV Réciproque du théorème de Thalès
Cours bientôt indisponible