Appliquer le théorème de Thalès

Appliquer le théorème de Thalès
Le théorème de Thalès
Quand on coupe deux droites sécantes au point A par deux droites
parallèles (MN) et (BC), on obtient deux triangles ABC et AMN.
Le théorème de Thalès énonce que, dans ce type de configuration, les
côtés d'un triangle sont proportionnels aux côtés associés de l'autre
triangle.
=
=
Remarques
On ne peut pas appliquer le théorème de Thalès si la figure ne
comporte pas de droites parallèles.
Ici : (EH) // (FG).
Quand on écrit l'égalité des trois quotients, on met :
—
au numérateur, un côté du premier triangle ;
—
au dénominateur, le côté associé du second triangle.
Ici :
=
=
.
Démontrer que deux droites sont parallèles à l'aide du théorème de
Thalès
Problème
On donne un triangle IJK avec :
IJ = 3,6 ; IK = 4,5.
On place E sur [IJ] et F sur [IK] tels que :
IE = 2,4 et IF = 3.
On veut prouver que :
(EF) // (KJ).
Résolution
On va utiliser la réciproque du théorème de Thalès.
Par hypothèse, I, E, J, d'une part et I, F, K, d'autre part, sont alignés et ceci
dans le même ordre.
On calcule que :
=
Donc
= 1,5 ;
=
=
= 1,5.
.
Les deux hypothèses de la réciproque du théorème de Thalès étant vérifiées, on
en déduit que :
(EF) // (KJ).
Calculer le PGCD de deux nombres
Algorithme d'Euclide
Pour calculer le PGCD (plus grand diviseur commun) de a et b, on suit les étapes
suivantes :
1. On effectue la division euclidienne de a par b.
2. On divise le diviseur de la division précédente par son reste.
3. On recommence cette procédure jusqu'à obtenir un reste nul.
Le PGCD de a et b est le dernier reste non nul.
Exemple
Quel est le PGCD de 720 et de 192 ?
Le dernier reste non nul est 48 donc le PGCD de 720 et 192 est 48.
Développer une expression littérale
Règle de base
Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme ou en une
différence, en appliquant la règle de distributivité.
Exemples
A = 2(4a
- 3)
A = 2 × 4a
- 2 × 3 = 8a - 6
B = (2 + a)(4a
- 3)
On distribue la multiplication par 2 puis celle par a.
B = 8a - 6 + 4a2 - 3a
On réduit en regroupant les termes « semblables ».
B = 4a2 + 5a - 6
Attention aux signes « moins » !
C=1
- (4 + a)(a - 2)
On développe en écrivant le résultat entre parenthèses.
C=1
- (4a - 8 + a2 - 2a)
C=1
- (a2 + 2a - 8)
Puis on supprime les parenthèses précédées du signe « moins ».
C=1
- a2 - 2a + 8
C = -a2
- 2a + 9
Réduire une expression littérale
Définition et exemples
Réduire une expression littérale, c'est regrouper les termes « semblables » et
effectuer les calculs.
A = 2a + 1
- 4a - 3 + 2ab
Les termes « semblables » sont ici ceux qui contiennent la variable a.
A = 2a
- 4a + 1 - 3 + 2ab
A = -2a
- 2 + 2ab
B = 2a - 2b + 3a - ab - 5b - ab
B = 2a + 3a
B = 5a
- 2b - 5b - ab - ab
- 7b - 2ab.
Remarque
Attention, on ne peut additionner ou soustraire que des termes de même puissance.
C=x
- x2 + 3x - 4 + 3x2
On regroupe les termes dans l'ordre décroissant des exposants.
C=
- x 2 + 3x2 + x + 3x - 4
C = 2x2 + 4x
- 4.
C ne peut pas être plus réduit.
Factoriser une expression (1)
Règle
Pour factoriser une somme, il faut qu'il y ait le même facteur dans tous les termes de la
somme.
A = 7(x + 1)
- 2(x + 1) + x(x + 1)
Lors de la mise en facteur, on « enlève » le facteur commun de chaque terme et on met
ce qui « reste » dans des parenthèses.
A = (x + 1)(7
- 2 + x)
Attention, on doit retrouver, dans les parenthèses, les signes opératoires de la somme
initiale.
Remarque
Il faut parfois faire apparaître le facteur commun.
B = 7(x + 1) + x + 1
(x + 1) est en commun mais on doit réécrire l'expression pour qu'il apparaisse comme
facteur commun.
B = 7(x + 1) + 1(x + 1)
B = (x + 1)(7 + 1) = 8(x + 1)
C = 2(x + 1)
- (x + 1)2
C = 2(x + 1)
- (x + 1)(x + 1)
C = (x + 1)(2
- (x + 1))
C = (x + 1)(-x + 1)