Philosophie und Geschichte le rôle de réalisations et les nouveaux concepts celui de notions abstraites correspondantes. O n peut d'ailleurs atteindre le « plan du logique pur » sur un front beaucoup plus large, et comprenant, à côté de la géométrie, l'arithmétique (spécialement celle des nombres entiers) et la logique classique (spécialement la logique des classes). A propos de cette dernière, il faut remarquer que la notion fondamentale d'objet est elle aussi schématique et sommaire, et qu'elle est toute engagée dans la notion de « propriété a priori ». L a notion intuitive de « type » p e r m e t t r a i t de lui opposeï une autre notion de l'objet: nous nommons objet aristotélicien celle qui est à la base de la logique classique. Cette notion appartient au premier stade axiotnatique. On peut maintenant caractériser la théorie des ensembles de Cantor comme une théorie des ensembles d'objets aristotéliciens. La tentative de M. Zcrmclo et les trav a u x qui s'en inspirent n'abandonnent pas complètement ce terrain, en ce sens que les éléments d'un ensemble y possèdent aussi au moins une propriété a p r i o r i : celle d'être un ensemble. O r une analyse attentive des paradoxes montre que leur source commune est Topposition entre la notion statique de l'objet aristotélicien et la notion de l'infini (en devenir). Dès lors il paraît assez naturel de chercher la solution des difficultés actuelles en faisant subir aussi a u x notions de la logique classique et à celle de la théorie des ensembles l'axiomatisation au second degré qui les portera sur le plan de la logique pure. U n e esquisse de cette axiomatisation fait l'objet d'un travail qui vient de p a r a î t r e 1 ) . // se présente qu'en effet, les antinomies ne trouvent plus place dans cette nouvelle théorie. LA FONCTION PROPOSITIONNELLE EN LOGIQUE ALGORITHMIQUE ET LE PRINCIPE DU TIERS EXCLU Par A R N O L D R E Y M O N D , Lausanne P o u r la logique classique la proposition simple ne comporte que deux valeurs, le vrai et le faux (dans lequel rentre l'absurde). P o u r la logique algorithmique la fonction propositionnelle spécifie un groupe de faits, d'événements, etc. . . . jugés x ) F. Gonseth. Commentarli matematici helvetici. Vol. 5, 1933, pp. 108—136. (Vol. dédié au Congrès de Zurich, pp. 434 —462.) 347 Philosophie und Geschichte possibles. Cela étant, le vrai désigne un possible réalisé, le faux un possible non réalisé, l'absurde (ni vrai, ni faux) un impossible irréalisable parce que dénué de signification. Soit çp (x) = ,,j'ai rencontré x dans les rues de Zurich". Pour x = un tigre, çp (x) engendre une proposition qui peut être vraie ou fausse ; pour j r = l a tante du logarithme, çp {x) conduit à une proposition absurde. En mathématiques le problème devient très délicat, parce que le champ assigné à la variable x peut être infini. Une affirmation comme „2X -\- i est ou non un nombre premier" est-elle alors absurde, x pouvant être l'un quelconque des nombres entiers ? Si l'on examine les couples de propositions opposées {AE, AO, AI, etc.) on est amené à distinguer dans leur emploi : i) les ensembles simplement quantitatifs (hommes, mammouths, etc.) numériquement indéterminés et. dont les éléments se groupent par „quelques, plusieurs, etc. . . . tous". 2) les ensembles numériques, finis ou infinis, c'est-à-dire déterminés explicitement par un nombre fini ou implicitement par une loi de succession. „Tous" a alors une valeur numérique. Dans le cas 1) les universelles (hypothèses) n'ont pas la même portée existentielle que les particulières (faits constatés). Or un fait ne peut que confirmer (et non sans absurdité contredire) une hypothèse vraie ; et inversement pour une hypothèse fausse. Par conséquent dans le tableau des oppositions les contradictoires et les subalternes comportent les valeurs „vrai" et ,,absurde" ; et les contraires et subcontraires les valeurs „vrai"' et „faux". Dans le cas 2) les universelles ont la même portée existentielle que les particulières, pour autant que dans la série des termes formant le domaine du „tous les . . ." la différence entre un terme et le suivant n'est pas < e ou > N. L'opposition (vraifaux) entre „tous les . . ." et „quelque" subsiste alors formellement et légitime l'emploi du „tertium non datur". L'erreur partielle de Brouwer est de considérer comme tout à fait indéterminées des régions qui, sans être, pratiquement calculables, sont néanmoins formellement déterminées (par exemple les décimales de n existent pour autant que la différence entre les polygones inscrit et circonscrit n'est pas <^ s). L'élément <^ e est toujours en rapport avec une certaine unité de giandeur. De là le double aspect de l'unité numérique : propriété indivisible d'un élément discontinu (définition FregeRussell) et grandeur divisible (sitôt que le continu intervient). D'une façon générale le „ni vrai, ni faux" concerne soit „le non encore jugé", soit „le ne pouvant plus être jugé" parce que reconnu absurde (hors du champ de réalité qui a été défini) ; mais dans tout raisonnement le principe du tiers exclu intervient comme 348