la fonction propositionnelle en logique algorithmique et le principe

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le rôle de réalisations et les nouveaux concepts celui de notions abstraites correspon-
dantes.
On peut d'ailleurs atteindre le « plan du logique pur » sur un front beaucoup plus
large, et comprenant, à côté de la géométrie, l'arithmétique (spécialement celle des
nombres entiers) et la logique classique (spécialement la logique des classes). A pro-
pos de cette dernière, il faut remarquer que la notion fondamentale d'objet est elle
aussi schématique et sommaire, et qu'elle est toute engagée dans la notion de « pro-
priété a priori ». La notion intuitive de « type » permettrait de lui opposeï une autre
notion de l'objet: nous nommons objet aristotélicien celle qui est à la base de la
logique classique. Cette notion appartient au premier stade axiotnatique.
On peut maintenant caractériser la théorie des ensembles de Cantor comme une
théorie des ensembles d'objets aristotéliciens. La tentative de M. Zcrmclo et les tra-
vaux qui s'en inspirent n'abandonnent pas complètement ce terrain, en ce sens que les
éléments d'un ensemble y possèdent aussi au moins une propriété a priori: celle d'être
un ensemble.
Or une analyse attentive des paradoxes montre que leur source commune est Top-
position entre la notion statique de l'objet aristotélicien et la notion de l'infini (en
devenir). Dès lors il paraît assez naturel de chercher la solution des difficultés ac-
tuelles en faisant subir aussi aux notions de la logique classique et à celle de la théorie
des ensembles l'axiomatisation au second degré qui les portera sur le plan de la
logique pure.
Une esquisse de cette axiomatisation fait l'objet d'un travail qui vient de paraître1).
// se présente qu'en effet, les antinomies ne trouvent plus place dans cette nouvelle
théorie.
LA FONCTION PROPOSITIONNELLE EN LOGIQUE
ALGORITHMIQUE ET LE PRINCIPE DU TIERS
EXCLU
Par ARNOLD REYMOND, Lausanne
Pour la logique classique la proposition simple ne comporte que deux valeurs, le
vrai et le faux (dans lequel rentre l'absurde). Pour la logique algorithmique la
fonction propositionnelle spécifie un groupe de faits, d'événements, etc. . . . jugés
x)
F. Gonseth. Commentarli matematici helvetici. Vol. 5, 1933, pp. 108—136. (Vol. dédié au Congrès
de Zurich, pp. 434 —462.)
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possibles. Cela étant, le vrai désigne un possible réalisé, le faux un possible non réalisé,
l'absurde (ni vrai, ni faux) un impossible irréalisable parce que dénué de signification.
Soit çp (x) = ,,j'ai rencontré x dans les rues de Zurich". Pour x = un tigre, çp (x)
engendre une proposition qui peut être vraie ou fausse ; pour jr=la tante du loga-
rithme, çp {x) conduit à une proposition absurde. En mathématiques le problème
devient très délicat, parce que le champ assigné à la variable x peut être infini. Une
affirmation comme „2X -\- i est ou non un nombre premier" est-elle alors absurde,
x pouvant être l'un quelconque des nombres entiers ?
Si l'on examine les couples de propositions opposées {AE, AO, AI, etc.) on est
amené à distinguer dans leur emploi :
i) les ensembles simplement quantitatifs (hommes, mammouths, etc.) numérique-
ment indéterminés et. dont les éléments se groupent par „quelques, plusieurs, etc. . . .
tous".
2) les ensembles numériques, finis ou infinis, c'est-à-dire déterminés explicitement
par un nombre fini ou implicitement par une loi de succession. „Tous" a alors une
valeur numérique.
Dans le cas 1) les universelles (hypothèses) n'ont pas la même portée existentielle
que les particulières (faits constatés). Or un fait ne peut que confirmer (et non
sans absurdité contredire) une hypothèse vraie ; et inversement pour une hypothèse
fausse. Par conséquent dans le tableau des oppositions les contradictoires et les
subalternes comportent les valeurs „vrai" et ,,absurde" ; et les contraires et sub-
contraires les valeurs „vrai"' et „faux".
Dans le cas 2) les universelles ont la même portée existentielle que les particulières,
pour autant que dans la série des termes formant le domaine du „tous les . . ." la
différence entre un terme et le suivant n'est pas < e ou > N. L'opposition (vrai-
faux) entre „tous les . . ." et „quelque" subsiste alors formellement et légitime l'emploi
du „tertium non datur". L'erreur partielle de Brouwer est de considérer comme tout
à fait indéterminées des régions qui, sans être, pratiquement calculables, sont néan-
moins formellement déterminées (par exemple les décimales de n existent pour autant
que la différence entre les polygones inscrit et circonscrit n'est pas <^ s). L'élément <^ e
est toujours en rapport avec une certaine unité de giandeur. De là le double aspect
de l'unité numérique : propriété indivisible d'un élément discontinu (définition Frege-
Russell) et grandeur divisible (sitôt que le continu intervient).
D'une façon générale le „ni vrai, ni faux" concerne soit „le non encore jugé", soit
„le ne pouvant plus être jugé" parce que reconnu absurde (hors du champ de réalité qui
a été défini) ; mais dans tout raisonnement le principe du tiers exclu intervient comme
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