Modèle mathématique.

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H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) http://www.sacrecoeur.nantes.e-lyco.fr
Ch.5 : Dérivation
Exercice n°A page 74 : Revoir les équations de droites
Vrai ou faux ? Dans un repère (O ; I, J) du plan, on définit par leurs équations les droites :
d1 : y = –2x + 3, d2 : x = 3 et d3 : y = mx + p, où m et p sont deux réels fixés.
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1) La droite d1 a pour coefficient directeur 3.
2) La droite d2 est parallèle à l'axe des abscisses.
3) Si m = –2, alors d3 est parallèle à d1.
4) Si d3 est parallèle à d1 , alors m = –2.
5) La droite d2 n'a pas de coefficient directeur.
6) L'ordonnée à l'origine de d3 est p.
1) Faux , c’est –2.
2) Faux , d2 est parallèle à l’axe des ordonnées.
3) Vrai , d3 et d1 ont alors le même coefficient directeur –2.
4) Vrai , d3 et d1 ont alors le même coefficient directeur –2.
5) Vrai , car d2 est parallèle à l’axe des ordonnées.
6) Vrai , d3 passe par le point de coordonnes (0 ; p).
Exercice n°B page 74 : Coefficients directeurs et lectures graphiques
QCM Pour chacune des affirmations suivantes, préciser la seule réponse correcte.
1) Le coefficient directeur de la droite (AB) :
a) est 5
2
b) est –2
5
c) est –5
2
d) n'existe pas
2) Le coefficient directeur de la droite (AC) :
a) n'existe pas
b) est 0
c) est –2
d) est 2
3) Le coefficient directeur de la droite (BC) :
a) est 0
b) est 5
c) est –5
d) n'existe pas
4) Si un point D est tel que yC – yD
xC – xD = –5 2 , alors :
a) (CD) // (AB)
b) D  (BC)
c) B  (CD)
d) (CD) // (Oy)
1) yB – yA
xB – xA = –3 – 2 4 – 2 = –5 2 . Réponse c .
2) (AC) est parallèle à l’axe des abscisses, alors son coefficient directeur est nul. Réponse b .
3) (BC) est parallèle à l’axe des ordonnées, alors son coefficient directeur n’existe pas. Réponse d .
4) (CD) et (AB) ont alors le même coefficient directeur –5
2 . Réponse a .
Exercice n°C page 74 : Coefficient directeur et calcul littéral
QCM Pour chacune des affirmations suivantes, préciser la (ou les) bonne(s) réponse(s).
1) Soit A(1 ; 1) et M(x ; x2) avec x  1.
Le coefficient directeur de la droite (AM) est :
a) x2 – 1
x – 1
b) x – 1
c) x + 1
d) 1 – x2
1 – x
2) Soit A(1 ; 1) et M(x ; x) avec x réel positif et différent de 1.
Le coefficient directeur de la droite (AM) est :
a) x – 1
x – 1
b) 1 – x
1 – x
c) 1
x + 1
d) 1
x + 1
3) Soit A(1 ; 1) et M le point d'abscisse 1 + h de la courbe
représentative de la fonction inverse x  1
x , avec h
différent de 0 et de –1. Le coefficient directeur de la droite
(AM) est :
a)
1
1 + h – 1
1 + h
b) –h
1 + h
h
c) –1
1 + h
d) 1
–1 – h
1) yM – yA
xM – xA = x2 – 1 x – 1 = (x – 1)(x + 1) x – 1 = x + 1. Réponses a, c et d .
2) yM – yA
xM – xA = x – 1 x – 1 = x – 1
( )x – 1 ( )x + 1 = 1
x + 1 . Réponses b et c .

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3) M 1 + h , 1
1 + h et yM – yA xM – xA =
1
1 + h – 1
(1 + h) – 1 = 1 – (1 + h)
1 + h
h = –h
1 + h
h = –h 1 + h  1 h = –1 1 + h = 1 –1 – h .
Réponses b, c et d .
Exercice n°1 page 98
Calculer le coefficient directeur de la droite (AB) dans chacun des cas suivants :
a) A(–3 ; 1), B(1; 2) ;
b) A(1 ; 4), B(2 ; 0) ;
c) A(–3 ; 3), B(4 ; 3).
a) yB – yA
xB – xA = 2 – 1 1 – (–3) = 1 4.
b) yB – yA
xB – xA = 0 – 4 2 – 1 –4.
c) 3 – 3
4 – (–3) = 0.
Exercice n°2 page 98
Par lecture graphique, déterminer l'équation réduite de chacune des droites
tracées dans le repère ci-contre.
D1 : y = 2x – 1 .
D2 : y = –2
3 x + 4 .
D3 : y = –4
3 x.
D4 : y = 2 .
Activité n°1 page 76 : Taux d'accroissement d'une fonction
Soit f une fonction et a un réel de l'ensemble de définition de f.
On appelle taux d'accroissement de f en a la fonction  définie
Indication :  se lit « tau »; c'est la dix-neuvième
lettre de l'alphabet grec.
par : h f (a + h) – f (a)
h .
Cette fonction est définie pour les réels h non nuls et tels que a + h est dans l'ensemble de définition de f.
1) On note A et M les points d'abscisses respectives a et a + h, avec h 0, appartenant à la courbe représentative de f.
Donner une interprétation géométrique du nombre (h).
1) A(a ; f (a) et M(a + h ; f (a + h)), d’où (h) = yM – yA
xM – xA est le coefficient directeur de la droite (AM).
2) Justifier dans les cas suivants l'expression de (h) proposée :
a) f est la fonction carré et a = 0 ; (h) = h ;
b) f est la fonction carré et a = –2 ; (h) = h – 4.
2)
a) (h) = f (0 + h) – f (0)
h = h2 – 02 h = h2 h = h.
b) (h) = f (–2 + h) – f (–2)
h = (–2 + h)2 – (–2)2 h = 4 – 4h + h2 – 4 h = h2 – 4h h = h – 4.
3) Calculer dans les cas suivants l'expression de (h), en précisant les valeurs possibles de h.
a) f est la fonction inverse et a = 1 ;
b) f est la fonction racine carrée et a = 0.
3)
a)  est définie sur D = ]– ; –1[  ]–1 ; 0[  ]0 ; +[ = IR – {–1 , 0} ;
(h) = f (1 + h) – f (1)
h =
1
1 + h – 1 1
h = 1 – (1 + h)
1 + h
h = 1 – (1 + h) 1 + h  1 h = –h h(1 + h) = –1 1 + h.

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b)  est définie sur D = ]0 , +[ ;
(h) = f (0 + h) – f (0)
h = h – 0 h = h h.
Activité n°2 page 76 : Approche de la « limite en zéro »
Comme vu dans l'activité 1, la fonction  associée à une fonction f en a n'est jamais définie pour h = 0. Cependant, elle
est définie pour des valeurs non nulles de h très proches de zéro.
Exemple : prenons le cas du 2.a) de l'activité 1, plus h est proche de zéro, plus (h) est proche de zéro (puisque
(h) = h). On dit que « la limite de (h) quand h tend vers zéro est égale à zéro » et on note : lim
h  0 (h) = 0.
1) Donner intuitivement (on ne demande pas de justification) la limite de (h) quand h tend vers zéro dans les cas 2.b)
et 3.a) de l'activité 1.
1) Dans le cas 2.b), (h) = h – 4, d’où lim
h  0 (h) = –4.
Dans le cas 3.a), (h) = –1
1 + h , d’où lim
h  0 (h) = –1.
2) On considère la fonction  de la question 3.b) de l'activité 1. Son
ensemble de définition est l'intervalle ]0 ; +[.
h
1
0,25
0,01
10–4
10–50
(h)
a) Reproduire et compléter, à l'aide de la calculatrice, le tableau ci-contre.
b) Quelle conjecture peut-on en déduire pour la limite de (h) quand h tend vers zéro ?
2)
a) Dans le cas 3.a), (h) = h
h = 1h .
h
1
0,25
0,01
10–4
10–50
(h)
1
2
10
100
1025
b) Il semble que lim
h  0 (h) = +.
1 NOMBRE DÉRIVÉ
DÉFINITIONS 1
Soit f une fonction et a un réel appartenant à l'ensemble de définition de f.
 Le taux d'accroissement de f en a est la fonction :  : h  f (a + h) – f (a)
h .
Cette fonction est définie pour les réels h non nuls tels que a + h soit dans l'ensemble de définition de f.
 On dit que f est dérivable en a lorsque le taux d'accroissement de f en a admet comme limite un nombre réel
quand h tend vers zéro.
Ce nombre, noté f ' (a), est appelé nombre dérivé de f en a.
On a ainsi : f ' (a) = lim
h  0 f (a + h) – f (a)
h .
Exemples :
 La fonction carré est dérivable en zéro avec f ' (0) = 0, car : lim
h  0 (0 + h)2 – 02
h = lim
h  0 h = 0.
 La fonction inverse est dérivable en 1 avec f ' (1) = –1, car : lim
h  0
1
1 + h – 1
h = lim
h  0 –1
1 + h = –1.
 La fonction racine carrée n'est pas dérivable en zéro, car lim
h  0 0 + h – 0
h = lim
h  0 h
h = lim
h  0 1h = +.
Remarque :
Ces trois exemples sont traités dans l'activité 2, page 76.
Exercice n°17 page 90 Vrai ou faux ?
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Soit f : x x2 + 1.
1) Le taux d'accroissement de f en 0 est la fonction définie sur IR* par h h.
2) Le nombre dérivé de f en 1 est f (1 + h) – f (1)
h .
3) f ' (0) = 1.
1) (h) = f (h) – f (0)
h = (h2 + 1) – (02 + 1) h = h2 h = h. L’affirmation est vraie .
2) f ' (1) = lim
h  0 f (1 + h) – f (1)
h si cette limite est un nombre réel. L’affirmation est fausse .

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3) (h) = f (1 + h) – f (1)
h = (1 + h)2 + 1 – 2 h = 1 + 2h + h2 – 1 h = 2h + h2 h = 2 + h ; et lim
h  0 (2 + h) = 2.
Donc f ' (0) = 2. L’affirmation est fausse .
Exercice n°18 page 90 Vrai ou faux ?
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Soit f : x 3x + 1.
1) Pour tout réel a et tout réel h 0, f (a + h) – f (a)
h = 3
2) Pour tout réel a, f ' (a) = 3.
3) f n'est pas dérivable en –1
3 .
1) (h) = f (a + h) – f (a)
h = 3(a + h) + 1 – (3a + 1) h = 3a + 3h + 1 – 3a – 1 h = 3h h = 3. L’affirmation est vraie .
2) lim
h  0(h) = lim h  0 3 = 3, donc f ' (a) = 3. L’affirmation est vraie .
3) D’après la question 2), f est dérivable pour tout réel a, donc en particulier pour a = –1
3 .
L’affirmation est fausse .
Exercice n°20 page 90
Dans chacun des cas suivants, calculer le taux d'accroissement de la fonction f en a et sa limite quand h tend vers 0
(h 0). En déduire que f est dérivable en a et préciser f ' (a).
1) f (x) = 2x – 5 et a = 6.
2) f (x) = –2x + 15 et a = –2.
3) f (x) = x – 3 et a réel quelconque.
1) (h) = f (6 + h) – f (6)
h = 2(6 + h) – 5 – (2  6 – 5) h = 12 + 2h – 5 – 7 h = 2h h = 2.
lim
h  0(h) = lim h  0 2 = 2, donc f ' (6) = 2 .
2) (h) = f (–2 + h) – f (–2)
h = –2(–2 + h) + 15 – (–2(–2) + 15) h = 4 – 2h + 15 – 4 – 15 h = –2h h = –2.
lim
h  0(h) = lim h  0(–2) = –2, donc f ' (–2) = –2.
3) (h) = f (a + h) – f (a)
h = (a + h) – 3 – (a – 3) h = h h = 1.
lim
h  0(h) = lim h  0 1 = 1, donc f ' (a) = 1 .
Exercice n°2 page 79
Montrer que f est dérivable en 1 et préciser le nombre dérivé f ' (1) dans chacun des cas suivants :
a) f : x  3x – 5 ;
b) f : x  x2 – x.
a) Pour tout réel h non nul, on a : f (1 + h) – f (1)
h = 3h h = 3, donc f est dérivable en 1 et f ' (1) = 3.
b) Pour tout réel h non nul, on a : f (1 + h) – f (1)
h = h2 + h h = h + 1.
lim
h  0 (h + 1) = 1, donc f est dérivable en 1 et f ' (1) = 1 .
Exercice n°19 page 90 Vrai ou faux ?
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Soit f : x x + 1.
1) f n'est pas définie en –1
2) f n'est pas dérivable en –1.
3) f est dérivable en –2.
1) f (x) est définie si, et seulement si : x + 1 0, soit : x –1. L’affirmation est fausse .
2) (h) = f (–1 + h) – f (–1)
h = h – 0 h = h h = 1h ; et lim
h  0 1h = +
. L’affirmation est vraie .
3) f n’est pas définie en –2, donc f n’est pas dérivable est –2. L’affirmation est fausse .
Exercice n°21 page 90
Dans chacun des cas suivants, calculer le taux d'accroissement de la fonction f en a et sa limite quand h tend vers 0
(h 0). En déduire que f est dérivable en a et préciser f ' (a).
1) f (x) = x2 – 5 et a = 1.
2) f (x) = –2x2 + x et a = –2.

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3) f (x) = x2 – x + 2 et a = 0.
1) (h) = f (1 + h) – f (1)
h = (1 + h)2 – 5 – (12 – 5) h = h2 + 2h h = h + 2 .
lim
h  0(h) = lim h  0(h + 2) = 2, donc f ' (1) = 2 .
2) (h) = f (–2 + h) – f (–2)
h = –2(–2 + h)2 + (–2 + h) – ( )
–2(–2)2 + (–2)
h = –2(4 – 4h + h2) – 2 + h + 10 h = –2h2 + 9h h =
9 – 2h.
lim
h  0(h) = lim h  0(9 – 2h) = 9, donc f ' (–2) = 9 .
3) (h) = f (h) – f (0)
h = h2 – h + 2 – 2 h = h2 – h h = h – 1 .
lim
h  0(h) = lim h  0 (h – 1) = –1, donc f ' (0) = –1.
Exercice n°22 page 90
On considère la fonction g définie sur IR \{–1} par : g(x) = 1
x + 1 .
1) Pourquoi g n'est-elle pas dérivable en –1 ?
2) Montrer que le taux d'accroissement de g entre 1 et 1 + h (avec h 0) est égal à –1
2(h + 2) .
3) En déduire que g est dérivable en 1 et préciser g' (1).
1) g n’est pas définie en –1.
2) (h) = g(1 + h) – g(1)
h =
1
h + 2 – 1 2
h = 2 – (h + 2) 2(h + 2)  1 h = –h 2h(h + 2) = –1 2(h + 2) .
3) lim
h  0(h) = lim h  0 –1
2(h + 2) = –1 4 , donc g est dérivable en 1 et g' (1) = –1 4.
Exercice n°23 page 90
Soit f la fonction définie sur IR \ {2} par : f (x) = 1
x – 2 .
Montrer que f est dérivable en 1 et préciser f ' (1).
(h) = f (1 + h) – f (1)
h =
1
h – 1 – (–1)
h = 1 + (h – 1) h – 1  1 h = h h(h – 1) = 1 h – 1 .
lim
h  0(h) = lim h  0 f (1 + h) – f (1)
h = lim
h  0 1
h – 1 = –1, donc f est dérivable en 1 et f ' (1) = –1.
Exercice n°24 page 90
Soit f la fonction définie sur IR par f (x) = x3.
1) Montrer que le taux d'accroissement de f en –2 est : h (h) = h2 – 6h + 12.
2) En déduire le nombre dérivé de f en –2.
1) (h) = f (–2 + h) – f (–2)
h = (–2 + h)3 – (–8) h .
Or (–2 + h)3 = (–2 + h)(–2 + h)2 = (–2 + h)(4 – 4h + h2) = –8 + 8h – 2h2 + 4h – 4h2 + h3 = h3 – 6h2 + 12h – 8,
donc (h) = h3 – 6h2 + 12h
h = h2 – 6h + 12.
2) lim
h  0(h) = lim h  0(h2 – 6h + 12) = 12, donc f est dérivable en –2 et f ' (–2) = 12 .
Exercice n°25 page 90
On considère la fonction g définie sur [1 ; + [ par : g(x) = x – 1.
1) La fonction g est-elle dérivable en 0 ?
2)
a) Vérifier que le taux d'accroissement de g en 2 est : h  (h) = h + 1 – 1
h .
b) Montrer que (h) = 1
h + 1 + 1 .
c) En déduire que g est dérivable en 2 et préciser g' (2).
3) Étudier la dérivabilité de g en 1.
1) g n'est pas définie en 0 ; donc elle n'est pas dérivable en 0.