Chapitre 2.7 – La dynamique du mouvement circulaire

Chapitre 2.7 –
La dynamique du
mouvement circulaire
Les forces centripètes
Une force centripète est le nom de porte une force ayant une composant orientée vers le
centre d’une trajectoire circulaire contribuant ainsi à produire une accélération
centripète. Puisqu’une force centripète n’est pas proprement une force mais plutôt un
qualificatif, on peut affirmer qu’une force peut jouer le rôle de force centripète dans un
problème de dynamique si elle est correctement orientée.
Voici quelques exemples de forces qui jouent le rôle de force centripète :
Un satellite en orbite autour de la terre
Force centripète :
v
aC
Force gravitationnelle
v
mM
( Fg = −G 2 rˆ )
r
v
Fg
r
Un looping tête renversée dans un « rollercoaster »
v
v
v
v
v
v
n mg
v
r
aC
Force centripète :
Force gravitationnelle
v
v
( Fg = mg ) et force
v
normale ( n )
Une balançoire (pendule)
Force centripète :
v
Tension ( T ) et force
v
gravitationnelle ( mg )
Force tangentielle :
Force gravitationnelle
v
( mg )
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
v
aC
v
v
v
T
r
v
mg
v
aT
Page 1
Situation 1 : Un bloc tournoie au bout d’une corde. On attache un bloc de 2 kg avec une
corde à un crochet fixé au centre d’une table à air (frottement négligeable). On fait tourner
le bloc sur une trajectoire circulaire dont le rayon est égal à 0,5 m et on observe que le bloc
prend 3 secondes pour faire un tour. On désire déterminer le module de la tension dans la
corde.
v
v
Solution graphique : ( ∑ F = ma )
Schéma des forces :
T
r′
v
mg
v
T
ac
m
v
n
v
ma
r
Vue du haut (normale annule le poids)
Appliquons la 2ième loi de Newton à cette situation :
v
v v
v
v
v
⇒
T + n + mg = ma
(Appliquer la 2ième loi de Newton)
∑ F = ma
v
v
v
v
T = ma
⇒
(La normale annule le poids, n + mg = 0 )
Puisque la trajectoire est circulaire, nous avons une accélération centripète a C dans le plan
du mouvement :
v
v
T = ma
⇒
T = ma C
(Décomposition selon l’axe r ' et a = aC )
⇒
T =m
v2
r
(Remplacer a C =
v2
)
r
On peut obtenir la vitesse de rotation à partir de la définition de la vitesse :
v=
∆x
∆t
⇒
⇒
⇒
(2π r )
(T )
2π (0,5)
v=
(3)
v=
v = 1,05 m/s
(Remplacer ∆x = 2π r et ∆t = T )
(Remplacer valeurs numériques)
(Simplifier)
Évaluer maintenant la tension dans la corde :
T =m
v2
r
(2)(1,05)2
(0,5)
⇒
T=
⇒
T = 4,41 N
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(Remplacer valeurs numériques)
(Simplifier)
Page 2
Situation 2 : Un bloc entraîné par la rotation d’un disque. Un disque
de métal de 50 cm de rayon tourne autour d’un axe vertical à 40 tours
par minutes. Un petit bloc est situé à mi-chemin entre le centre et le
bord du disque et il tourne avec le disque sans glisser. On désire
déterminer le coefficient de frottement statique minimal qui doit
exister entre le bloc et le disque pour rendre ce mouvement possible.
v
v
Solution graphique : ( ∑ F = ma )
Schéma des forces :
v
n
v
mg
v
aC
v
ma
y
r′
v
fs
v
mg
r
v
fs
v
n
Appliquons la 2ième loi de Newton à la situation :
v
v
v
v v
v
⇒
n + mg + f = ma
∑ F = ma
Selon y :
∑F
y
= n − mg = ma y = 0
⇒
(Isoler la normale)
n = mg
v
( f s joue le rôle de la force centripète)
Selon r’ :
∑ Fr ' = f s = mar ' = maC
 v2 
f s = m 
 r 
2
(µ s n ) = mv
r
mv 2
µ s (mg ) =
r
2
v
µs =
gr
⇒
⇒
⇒
⇒
(Remplacer a C =
v2
)
r
(Remplacer f s = f s (max ) = µ s n )
(Remplacer n = mg )
(Simplifier m et isoler µ s )
On peut évaluer la vitesse à l’aide de la période et de la définition de la vitesse :
f =
40 tours 1 min
∗
= 0,666 s −1
min
60 s
Donc : v =
∆x
∆t
⇒
v=
(Fréquence)
2π r 2π (0,5 / 2 )
=
T
(1,5)
et
T=
1
1
=
= 1,5 s
f 0,666
⇒
v = 1,05 m/s
⇒
µ s = 0,45
(Période)
2
v2
(1,05)
⇒
µs =
gr
(9,8)(0,5 / 2)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Ainsi : µ s =
Page 3
Situation A : Un bloc entraîné par la rotation d’un disque en accélération. Un disque de
métal de 1,5 m de rayon initialement immobile tourne autour d’un axe vertical de plus en
plus vite avec une accélération constante. Un bloc de 5 kg situé à 0,2 m du bord du disque
tourne avec le disque sans glisser avec une accélération tangentielle de 0,2 m/s2. On désire
évaluer le module du frottement statique exercé par le disque sur le bloc après 4 secondes de
rotation.
Évaluons la vitesse tangentielle du bloc après 4 secondes à l’aide des équations du MUA :
v x = (0 ) + (0,2 )(4 )
⇒
vx = v x0 + a xt
v x = 0,8 m/s
⇒
Évaluons l’accélération radiale requise (accélération centripète) pour permettre au bloc de
demeurer sur la trajectoire circulaire :
 v2 
a r ' =  
 r 
⇒
a r ' = aC
(0,8)2
⇒
ar' =
⇒
a r ' = 0,4923 m/s 2
(1,5 − 0,2)
Puisque c’est uniquement le frottement qui permet de générer l’accélération tangentielle,
évaluons la partie tangentielle du frottement statique :
f x = (5)(0,2 )
⇒
f x = ma x
fx =1 N
⇒
Puisque c’est uniquement le frottement qui permet de générer l’accélération radiale,
évaluons la partie radiale du frottement statique :
f r ' = (5)(0,4923)
⇒
f r ' = ma r '
f r ' = 2,4615 N
⇒
Puisque les deux composantes du frottement
tangentiel et radial sont perpendiculaires,
évaluons le module du frottement statique à
l’aide du théorème de Pythagore :
f =
2
f x + f r'
(1)
2
f =
⇒
f = 2,657 N
Triangle
décomposition force
de frottement :
2
+ (2,4615)
⇒
Décomposition de la force de
frottement vue de haut :
2
v
v
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
v
fx
v
ar '
v
v
a x fr '
v
fr '
r
v θ
f
où tan(θ ) =
Page 4
v
fx
fx
fr '
Situation 3 : Un virage surélevé. Dans un virage de 50 m de rayon, on a relevé le bord
extérieur d’une piste de course afin que la chaussée fasse un angle de 20o avec
l’horizontale. On désire calculer le module maximal de la vitesse à laquelle une voiture de
1200 kg peut négocier le virage sans déraper. Il y a un coefficient de frottement statique de
0,8 entre les pneus et la chaussée.
Schéma de la situation :
Vue de haut
Vue de côté
n
r
y n
r′
v
aC
v
v
Sol. graphique : ( ∑ F = ma ):
Schéma des forces :
v
f
aC
mg
y
v
ma
n cosθ
θ
v
mg
v
n
r′ n sinθ
f cosθ θ
f f sinθ mg
v
fs
Appliquons la 2ième loi de Newton à cette situation :
v
v
v
v v
v
F
=
m
a
⇒
n
+
m
g
+ f s = ma
∑
Selon y :
∑F
y
= n cos(θ ) − f sin (θ ) − mg = ma y = 0 ( a y = 0 )
⇒
n cos(θ ) − (µ s n )sin (θ ) − mg = 0
(Remplacer f s = f s (max ) = µ s n )
⇒
n[cos(θ ) − µ s sin (θ )] = mg
(Factoriser n)
⇒
n=
mg
cos(θ ) − µ s sin (θ )
⇒
n=
(1200)(9,8)
cos(20°) − (0,8)sin (20° )
⇒
n = 17656 N
∑F
r'
⇒
(Isoler n)
(Remplacer valeurs numériques)
(Calcul)
(P.S. n > mg = 11760 N )
v
v
( f et n jouent le rôle de force centripète)
Selon r’ :
⇒
(1)
= f cos(θ ) + n sin (θ ) = ma r ' = maC
 v2 
f cos(θ ) + n sin (θ ) = m 
 r 
r
v 2 = ( f cos(θ ) + n sin (θ )) )
m
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
( a r ' = aC )
(Remplacer a C =
v2
)
r
(Isoler v 2 )
Page 5
Remplaçons maintenant le frottement par son expression lorsque le frottement est statique
maximale et évaluons la vitesse maximale de la voiture sans déraper :
r
( f cos(θ ) + n sin (θ ))
m
r
v 2 = ((µ s n ) cos(θ ) + n sin (θ ))
m
v2 =
⇒
r
(µ s cos(θ ) + sin (θ ))
m
(Remplacer f s = f s (max ) = µ s n )
⇒
v2 = n
⇒
v 2 = (17656 )
⇒
v 2 = 804,7
(Calcul)
⇒
v = 28,37 m/s
(Choisir la valeur positive)
⇒
v = 102,1 km/h
(Expression en km/h)
Équation générale :
(2)
(50) ((0,8) cos(20°) + sin (20°))
(1200)
v 2 = gr
µ s cos(θ ) + sin (θ )
cos(θ ) − µ s sin (θ )
(Factoriser n)
(Remplacer valeurs numériques)
(À partir de (2) et (1))
Exercices
2.7.1 Une trajectoire le long d’une table horizontale.
On attache un bloc de 2 kg avec
une corde à un crochet fixé au centre d’une table à air (frottement négligeable). On fait
tourner le bloc sur une trajectoire circulaire dont le rayon vaut 0,5 m. (a) Si le bloc fait 10
tours par minute, quelle est la tension dans la corde? (b) Si la corde peut supporter une
tension maximale de 5 N avant de se rompre, quel est le nombre maximal de tours par
minute que peut faire le bloc?
2.7.3 La tension au point le plus haut et au point le plus bas.
Une balle de 0,5 kg
attachée à une corde de masse négligeable tourne sur un cercle vertical de 50 cm de rayon.
Au point le plus haut du cercle, elle se déplace à 2,44 m/s; au point le plus bas du cercle,
elle se déplace à 5,06 m/s. Calculez le module de la tension dans la corde à ces deux
endroits.
2.7.11 Le rayon de l’orbite géostationnaire. Un satellite de communication géostationnaire
tourne autour de la Terre dans le plan de l’équateur avec une période de 24h : ainsi, il
demeure toujours au-dessus du même point du globe. Quel est le rayon de son orbite? (La
masse de la Terre est égale à mTerre = 5,98 × 10 24 kg .)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 6
Solutions
2.7.1 Une trajectoire le long d’une table horizontale. On attache un bloc de 2 kg avec une
corde à un crochet fixé au centre d’une table à air (frottement négligeable). On fait tourner
le bloc sur une trajectoire circulaire dont le rayon vaut 0,5 m. (a) Si le bloc fait 10 tours par
minute, quelle est la tension dans la corde? (b) Si la corde peut supporter une tension
maximale de 5 N avant de se rompre, quel est le nombre maximal de tours par minute que
peut faire le bloc?
Circonférence de la trajectoire :
C = 2π r = 2π (0,5) = 3,14 m
Période du mouvement :
f =
nbtour 1 min 10
*
=
= 0,167 s −1
min 60 s 60
1
1
=
=6 s
f (0,167 )
⇒
T=
⇒
T = 1,10 N
⇒
v=
⇒
T=
⇒
f min =
Vitesse tangentielle :
v=
C (3,14 )
=
= 0,524 m/s
T
(6)
Accélération centripète :
2
v 2 (0,524 )
aC =
=
= 0,549 m/s 2
r
(0,5)
(a) Tension dans la corde :
T = FC = maC = (2 )(0,549 )
Vitesse maximale à 5 N de tension :
v2
T = FC = ma C = m
r
Évaluer la période :
C
T
(b) La fréquence :
v=
f =
1
1
=
= 0,356 s −1
T (2,810 )
⇒
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Tr
=
m
(5)(0,5) = 1,118
(2)
m/s
C (3,14 )
=
= 2,810 s
v (1,118)
0,356 tours 60 s
∗
s
min
f min = 21,35 tours/min
Page 7
2.7.3 La tension au point le plus haut et au point le plus bas.
Une balle de 0,5 kg
attachée à une corde de masse négligeable tourne sur un cercle vertical de 50 cm de rayon.
Au point le plus haut du cercle, elle se déplace à 2,44 m/s; au point le plus bas du cercle,
elle se déplace à 5,06 m/s. Calculez le module de la tension dans la corde à ces deux
endroits.
Avec la 2ième loi de Newton :
v
v
v
v
v
∑ F = ma ⇒ T + mg = ma
Prenons le système d’axe en y orienté vers le haut pour y > 0 :
Haut du cercle :
Bas du cercle :
− T − mg = − maC
⇒
T + mg = m
⇒
T =m
⇒
T = 1,05 N
v2
r
 (2,44 )2

 v2

v2
− mg = m − g  = (0,5)
− (9,8)
r
 r

 (0,5)

T − mg = maC
⇒
v2
T − mg = m
r
⇒
T =m
⇒
T = 30,50 N
 (5,06 )2

 v2

v2
+ mg = m + g  = (0,5)
+ (9,8)
r
 r

 (0,5)

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 8
2.7.11 Le rayon de l’orbite géostationnaire. Un satellite de communication géostationnaire
tourne autour de la Terre dans le plan de l’équateur avec une période de 24h : ainsi, il
demeure toujours au-dessus du même point du globe. Quel est le rayon de son orbite? (La
masse de la Terre est égale à mTerre = 5,98 × 10 24 kg .)
La force permettant de corriger la direction du satellite lui permettant de demeurer sur
l’orbite circulaire est la force gravitationnelle :
mM
Fg = G 2
r
Cette force joue le rôle d’une force centripète : ( ∑ Fr ' = ma r ' , selon l’axe r’)
Fg = maC
⇒
G
⇒
G
⇒
mM
v2
m
=
r
r2
(Remplacer Fg et a C =
M v2
=
r
r2
GM
r= 2
v
v2
)
r
(Simplifier la masse m)
(Isoler r)
On peut évaluer la vitesse du satellite avec la définition d’une orbite géostationnaire :
∆x 2π r
v=
=
T
∆t
On remplace cette expression de la vitesse dans notre équation précédente et nous pouvons
évaluer le rayon de l’orbite :
GM
GMT 2
GM
r= 2
⇒
r=
=
(Remplacer v)
2
v
4π 2 r 2
 2π r 


 T 
GMT 2
4π 2
⇒
r3 =
⇒
 GMT 2
r = 
2
 4π
⇒
 6,67 × 10 −11 5,98 × 10 24 (24 ∗ 60 ∗ 60 )2
r = 
4π 2

⇒
r = 4,225 × 10 7 m
(Isoler les termes r)



1/ 3
(
(Isoler r)
)(
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
)




1/ 3
Page 9