Chapitre 2.7 – La dynamique du mouvement circulaire

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 1
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Chapitre 2.7 – La dynamique du
mouvement circulaire
Les forces centripètes
Une force centripète est le nom de porte une force ayant une composant orientée vers le
centre d’une trajectoire circulaire contribuant ainsi à produire une accélération
centripète. Puisqu’une force centripète n’est pas proprement une force mais plutôt un
qualificatif, on peut affirmer qu’une force peut jouer le rôle de force centripète dans un
problème de dynamique si elle est correctement orientée.
Voici quelques exemples de forces qui jouent le rôle de force centripète :
Un satellite en orbite autour de la terre
Force centripète :
Force gravitationnelle
( r
r
mM
GF
g
ˆ
2
−=
v
)
g
F
v
r
v
v
C
a
v
Un looping tête renversée dans un « rollercoaster »
Force centripète :
Force gravitationnelle
( gmF
g
v
v
= ) et force
normale (
n
v
)
g
m
v
r
n
v
C
a
v
v
v
Une balançoire (pendule)
Force centripète :
Tension (
T
v
) et force
gravitationnelle (
g
m
v
)
Force tangentielle :
Force gravitationnelle
(
g
m
v
)
g
m
v
r
T
v
C
a
v
T
a
v
v
v

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 2
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Situation 1 : Un bloc tournoie au bout d’une corde. On attache un bloc de 2 kg avec une
corde à un crochet fixé au centre d’une table à air (frottement négligeable). On fait tourner
le bloc sur une trajectoire circulaire dont le rayon est égal à 0,5 m et on observe que le bloc
prend 3 secondes pour faire un tour. On désire déterminer le module de la tension dans la
corde.
Schéma des forces :
Solution graphique : ( amF
v
v
=
∑
)
a
c
T
r′
r
m
T
v
a
m
v
g
m
v
n
v
Vue du haut (normale annule le poids)
Appliquons la 2
ième
loi de Newton à cette situation :
amF
v
v
=
∑
⇒
amgmnT
v
v
v
v
=++ (Appliquer la 2
ième
loi de Newton)
⇒
amT
v
v
=
(La normale annule le poids, 0
=
+
gmn
v
v
)
Puisque la trajectoire est circulaire, nous avons une accélération centripète
C
a dans le plan
du mouvement :
amT
v
v
=
⇒
C
maT = (Décomposition selon l’axe
'
r
et
C
aa =)
⇒
r
v
mT
2
= (Remplacer
r
v
a
C
2
=)
On peut obtenir la vitesse de rotation à partir de la définition de la vitesse :
t
x
v∆
∆
=
⇒
(
)
( ) T
r
v
π
2
= (Remplacer rx
π
2
=
∆
et Tt
=
∆
)
⇒
(
)
( ) 3
5,02
π
=v (Remplacer valeurs numériques)
⇒
m/s05,1
=v
(Simplifier)
Évaluer maintenant la tension dans la corde :
r
v
mT
2
=
⇒
(
)
(
)
( ) 5,0
05,12
2
=T (Remplacer valeurs numériques)
⇒
N41,4
=T
(Simplifier)

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 3
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Situation 2 : Un bloc entraîné par la rotation d’un disque. Un disque
de métal de 50 cm de rayon tourne autour d’un axe vertical à 40 tours
par minutes. Un petit bloc est situé à mi-chemin entre le centre et le
bord du disque et il tourne avec le disque sans glisser. On désire
déterminer le coefficient de frottement statique minimal qui doit
exister entre le bloc et le disque pour rendre ce mouvement possible.
Schéma des forces :
Solution graphique : ( amF
v
v
=
∑
)
C
a
v
gmv
s
f
v
r ′ n
v
y
r
gmv
s
f
v
n
v
am
v
Appliquons la 2
ième
loi de Newton à la situation :
amF
v
v
=
∑
⇒
amfgmn
v
v
v
v
=++
Selon y :
0==−=
∑
yy
mamgnF
⇒
mg
n
=
(Isoler la normale)
Selon r ’ : (
s
f
v
joue le rôle de la force centripète)
Crsr
mamafF ===
∑
''
⇒
=r
v
mf
s
2
(Remplacer
r
v
a
C
2
=)
⇒
( )
r
mv
n
s
2
= µ (Remplacer
( )
nff
sss
µ ==
max
)
⇒
( )
r
mv
mg
s
2
= µ (Remplacer
mg
n
=
)
⇒
gr
v
s
2
= µ
(Simplifier m et isoler
s
µ )
On peut évaluer la vitesse à l’aide de la période et de la définition de la vitesse :
1
s666,0
s
60
min1
min
tours40
−
=∗=f (Fréquence) et s5,1
666,0
11 === f
T (Période)
Donc :
t
x
v∆
∆
=
⇒
(
)
( ) 5,1
2/5,02
2
π
π
== T
r
v
⇒
m/s05,1=v
Ainsi :
gr
v
s
2
= µ
⇒
(
)
( )( ) 2/5,08,9
05,1
2
=
s
µ
⇒
45,0=
s
µ

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Situation A : Un bloc entraîné par la rotation d’un disque en accélération. Un disque de
métal de 1,5 m de rayon initialement immobile tourne autour d’un axe vertical de plus en
plus vite avec une accélération constante. Un bloc de 5 kg situé à 0,2 m du bord du disque
tourne avec le disque sans glisser avec une accélération tangentielle de 0,2 m/s
2
. On désire
évaluer le module du frottement statique exercé par le disque sur le bloc après 4 secondes de
rotation.
Évaluons la vitesse tangentielle du bloc après 4 secondes à l’aide des équations du MUA :
tavv
xxx
+=
0
⇒
(
)
(
)
(
)
42,00 +=
x
v
⇒
m/s8,0=
x
v
Évaluons l’accélération radiale requise (accélération centripète) pour permettre au bloc de
demeurer sur la trajectoire circulaire :
Cr
aa =
'
⇒
=r
v
a
r
2
'
⇒
(
)
( ) 2,05,1
8,0
2
'
−
=
r
a
⇒
2
'
m/s4923,0=
r
a
Puisque c’est uniquement le frottement qui permet de générer l’accélération tangentielle,
évaluons la partie tangentielle du frottement statique :
xx
maf =
⇒
(
)
(
)
2,05=
x
f
⇒
N1=
x
f
Puisque c’est uniquement le frottement qui permet de générer l’accélération radiale,
évaluons la partie radiale du frottement statique :
'' rr
maf =
⇒
(
)
(
)
4923,05
'
=
r
f
⇒
N4615,2
'
=
r
f
Puisque les deux composantes du frottement
tangentiel et radial sont perpendiculaires,
évaluons le module du frottement statique à
l’aide du théorème de Pythagore :
2
'
2
rx
fff +=
⇒
( ) ( )
22
4615,21 +=f
⇒
N657,2=f
Décomposition de la force de
frottement vue de haut :
x
f
v
v
v
r
'r
a
v
x
a
v
'r
f
v
'r
f
v
x
f
v
θ
f
v
Triangle
décomposition force
de frottement :
( )
'
tan
r
x
f
f
= θ
où

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 5
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Situation 3 : Un virage surélevé. Dans un virage de 50 m de rayon, on a relevé le bord
extérieur d’une piste de course afin que la chaussée fasse un angle de 20
o
avec
l’horizontale. On désire calculer le module maximal de la vitesse à laquelle une voiture de
1200 kg peut négocier le virage sans déraper. Il y a un coefficient de frottement statique de
0,8 entre les pneus et la chaussée.
Schéma de la situation : Schéma des forces : Sol. graphique : ( amF
v
v
=
∑
):
v
r
Vue de haut
Vue de côté
m g
f
n y
r ′
a
C
a
C
v
Appliquons la 2
ième
loi de Newton à cette situation :
amF
v
v
=
∑
⇒
amfgmn
s
v
v
v
v
=++
Selon y :
(
)
(
)
0sincos ==−−=
∑
yy
mamgfnF θθ ( 0=
y
a)
⇒
(
)
(
)
(
)
0sincos =−− mgnn
s
θµθ (Remplacer
( )
nff
sss
µ ==
max
)
⇒
(
)
(
)
[
]
mgn
s
=− θµθ sincos (Factoriser n)
⇒
( ) ( ) θµθ sincos
s
mg
n− =
(1) (Isoler n)
⇒
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) °−°
=20sin8,020cos
8,91200
n (Remplacer valeurs numériques)
⇒
N17656=n (Calcul) ( P.S. N11760=> mgn )
Selon r’ : ( f
v
et
n
v
jouent le rôle de force centripète)
(
)
(
)
Crr
mamanfF ==+=
∑
''
sincos θθ (
Cr
aa =
'
)
⇒
( ) ( )
=+ r
v
mnf
2
sincos θθ (Remplacer
r
v
a
C
2
=)
⇒
( ) ( )( ) θθ sincos
2
nf
m
r
v+= ) (Isoler
2
v)
mg
f
n
r
′
y
n
cos
θ
n
sin
θ
θ
f
sin
θ
θ
f cos
θ
gmv
s
f
v
am
v
n
v