Équations différentielles
Objectifs
XVérifier qu’une fonction est solution d’une équation différentielle.
XRésoudre une équation différentielle sans second membre.
XRésoudre une équation différentielle avec second membre connaissant une solution particulière.
XDéterminer la constante d’intégration.
On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants toute équation du type
(E)a y+b y =ϕ, où :
yest la fonction inconnue, supposée définie et dérivable sur un intervalle I,
yest la dérivée de y,
aet bsont deux nombres réels avec a6=0,
ϕest une fonction définie sur I.
Une solution de l’équation (E)est une fonction ftelle que, pour tout tI:a f (t) + b f (t) = ϕ(t).
Exemple
La fonction gdéfinie sur Rpar g(t) = 2te2test une solution de l’équation différentielle
(E)y+2y=2e2t.
En effet, gest dérivable sur R, sa dérivée vaut g(t) = 2e2t+2t×2e2t=2e2t4te2t
et on vérifie que pour tout tR:
g(t) + 2g(t) = 2e2t4te2t+2×2te2t=2e2t.
Théorème
L’équation différentielle ay+by =0admet pour solutionsles fonctions définies sur Rpar :
f(t) = Keb
at, où Kest un nombre réel quelconque.
Démonstration
Soit gla fonction définie sur Rpar g(t) = eb
at: on vérifie facilement que gest une solution.
En effet, gest dérivable sur R, de dérivée g(t) = b
aeb
at, et
ag(t) + bg(t) = a·b
aeb
at+beb
at=beb
at+beb
at=0 .
Soit maintenant fune solution quelconque de l’équation ay+by =0 et supposons que f(t) = k(t)g(t)pour
tout tR(ce qui est possible car gne s’annule pas). On a alors
0=a f +b f =a(gk+gk)+b gk =agk+agk+b gk =k(ag+bg
|{z }
) +agk=agk,
=0
Comme gne s’annule pas et que a6=0, on en déduit que k(t) = 0 pour tout tR, si bien que kest une
fonction constante, k(t) = K, et les solutions s’écrivent : f(t) = k(t)g(t) = Keb
at.
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Théorème
Supposons que uest une solution donnée (aussi appelée solution particulière) de l’équation ay+by =ϕ.
Alors l’équation différentielle ay+by =ϕadmet pour solutions les fonctions définies sur Rpar :
f(t) = Keb
at+u(t), où Kest un nombre réel quelconque.
On retiendra que les solutions d’une équation différentielle linéaire sont la somme des solutions de
l’équation différentielle sans second membre et d’une solution particulière.
Démonstration
Soit fune solution quelconque de l’équation ay+by =ϕet posons g(t) = f(t)u(t)pour tout tR. On a
donc f=g+uet :
ϕ=a f +b f =a(g+u)+b(g+u)=ag+bg +au+bu
|{z } =ag+ag +ϕ.
=ϕ
On en déduit que ag+bg =0 et, d’après le théoréme précédent, que g(t) = Keb
atKR.
Finalement, les solutions s’écrivent : f(t) = g(t) + u(t) = Keb
at+u(t).
Détermination de la constante K
Étant donnée une équation différentielle du premier ordre, il n’existe qu’une seule solution qui remplisse
en outre une condition initiale de la forme f(x0)=y0. Pour déterminer cette solution, il suffit de choisir
convenablement la constante K, également appelée constante d’intégration,
Exemple
Problème : déterminer la solution fde l’équation différentielle (E)3y+6y=0 telle que f(0) = 1, 5.
Résolution
6
3=2 donc les solutions de (E)sont les fonctions y(t) = Ke2t, où KR.
La condition f(0) = 1, 5 s’écrit : Ke2×0=1, 5 soit K=1, 5.
La solution du problème est donc la fonction fdéfinie par : f(t) = 1, 5 e2t.
Solution du problème
3y+6y=0
y(0) = 1, 5
Solutions de l’équation 3y+6y=0
1
2
3
4
5
1
2
1 2
x
y
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Exercice corrigé
On note (E)l’équation différentielle : y+3y=15 e2t.
1. Résoudre l’équation différentielle (E0):y+3y=0.
2. Vérifier que la fonction hdéfinie sur Rpar h(t) = 3 e2test solution de (E).
3. En déduire les solutions de l’équation (E).
4. Déterminer la solution fde (E)telle que f(0) = 4
Résolution
1. Les solutions de (E0)sont les fonctions y(t) = Ke3t, où KR.
2. La dérivée de hvaut : h(t) = 3×2 e2t=6 e2t. On calcule ensuite h+3h:
h(t) + 3h(t) = 6 e2t+3×3 e2t=6 e2t+9 e2t=15 e2t
h(t) + 3h(t) = 15 e2tdonc hest bien solution de E.
3. Les solutions de l’équation différentielle (E)sont somme des solutions de l’équation différentielle sans
second membre (E0)et de la solution particulière h.
Les solutions de (E)sont donc les fonctions y(t) = Ke3t+3 e2t, où KR.
4. fest solution de (E), donc f(t) = Ke3t+3 e2tet f(0) = K+3. Ainsi f(0) = 4 ssi K+3=4 d’où K=1.
La solution cherchée est donc : f(t) = e3t+3 e2t.
Solution ftelle que
f(t) + 3f(t) = 15 e2t
f(0) = 4
Solutions de l’équation y+3y=15 e2t
10
20
10
0,5 1,00,51,01,5
x
y
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Exercices
Exercice 1
1. Compléter les phrases ci-dessous.
La dérivée de xnest nxn1.
La dérivée de eax est aeax.
2. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
f(x) = x(x2) + 2(x2)(2x+1)
g(x) = x5+5x4+x3
3+3x2+2x+3+5 ex4 e2x+7 e3x+5 e4x+1
5e5x
h(x) = (x+1)ex
ϕ(t) = e3t
e2t+1
Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, vérifier que fest une solution de l’équation différentielle (E).
1) (E):y24y+4=0f(t) = t2+1
2) (E):y2y=e2tf(t) = te2t
3) (E):y3y=4te3tf(t) = 2t2e3t
4) (E):ty=1f(t) = ln(t)
5) (E):tyy=t f (t) = tln(t)
6) (E):y2 e2ty2=0f(t) = 1
e2t+1
7) (E):y+2y=4t f (t) = 2t1
8) (E):y+2y=4t f (t) = 2t1+e2t
9) (E):y+2y=4t f (t) = 2t1+7 e2t
10) (E):y+2y=4t f (t) = 2t1+Ke2t
11) (E): 2y8y=64t2f(t) = Ke4t8t24t1
Exercice 3
Résoudre chacune des équations différentielles ci-dessous, puis déterminer la solution vérifiant la condition
indiquée :
1) (E):yy=0y(0) = 2 2) (E):y+y=0y(1) = 1
3) (E):y+3y=0y(0) = 2 4) (E): 2y+8y=0y(2) = 5
5) (E): 3y+12y=0y(2) = 6 6) (E): 5y+2y=0y(1) = 1
7) (E): 0, 4y0, 7y=0y(0) = 0, 2 8) (E): 2yy=0y(0) = 2
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Exercice 4 (Groupe D)
On considère l’équation différentielle (E):y+0, 25y=3et,
yest une fonction de la variable réelle t, définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +[, et yla fonction dérivée
de la fonction y.
1. Déterminer les solutions sur l’intervalle [0 ; +[de l’équation différentielle
(E0):y+0, 25y=0
2. Soit hla fonction définie sur l’intervalle [0 ; +[par : h(t) = 4et.
Démontrer que hest une solution particulière de l’équation différentielle (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution fde l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale : f(0) = 75.
Exercice 5 (Groupe D)
On considère l’équation différentielle (E): 4y+y=1200e1
4x
yest une fonction de la variable elle x, définie et dérivable sur R.
1. Déterminer la constante réelle atelle que la fonction h1définie par
h1(x) = axe1
4xsoit solution de (E).
2. Résoudre l’équation différentielle (E0): 4y+y=0 et en déduire les solutions de (E).
3. Déterminer la fonction hsolution de (E)qui vérifie h(6) = 0.
Exercice 6 (Groupe D)
On considère l’équation différentielle (E):
yy=2(x+1)ex
ydésigne une fonction de la variable réelle xdéfinie et dérivable sur R,ysa fonction dérivée.
1. Résoudre l’équation différentielle (E0):yy=0.
2. Déterminer les réels aet bde façon que la fonction gfinie sur Rpar g(x) = (ax2+bx)exsoit une
solution particulière de (E).
3. En déduire la solution générale de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution fde l’équation (E)qui vérifie la condition initiale : f(0) = 3.
Exercice 7 (Extrait de l’examen de 2013)
On considère l’équation différentielle
(E): 1, 22y+y=632
yest une fonction inconnue de la variable t, définie et dérivable sur [0 ; +[, et y, la fonction dérivée de y.
On admet que la fonction correspondant à l’épaisseur de la cornée, exprimée en micromètres, en fonction du
temps, exprimé en heures, vérifie l’équation différentielle (E).
1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E0): 1, 22y+y=0.
2. Soit gla fonction définie sur [0 ; +[par g(t) = 632. Vérifier que gest une solution de (E).
3. En déduire les solutions de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution fde l’équation différentielle (E)vérifiant la condition initiale f(0) = 983.
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