Équations différentielles

Équations différentielles
Objectifs
XVérifier qu’une fonction est solution d’une équation différentielle.
XRésoudre une équation différentielle sans second membre.
XRésoudre une équation différentielle avec second membre connaissant une solution particulière.
XDéterminer la constante d’intégration.
On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants toute équation du type
(E)a y′+b y =ϕ, où :
•yest la fonction inconnue, supposée définie et dérivable sur un intervalle I,
•y′est la dérivée de y,
•aet bsont deux nombres réels avec a6=0,
•ϕest une fonction définie sur I.
Une solution de l’équation (E)est une fonction ftelle que, pour tout t∈I:a f ′(t) + b f (t) = ϕ(t).
Exemple
La fonction gdéfinie sur Rpar g(t) = 2te−2test une solution de l’équation différentielle
(E)y′+2y=2e−2t.
En effet, gest dérivable sur R, sa dérivée vaut g′(t) = 2e−2t+2t×−2e−2t=2e−2t−4te−2t
et on vérifie que pour tout t∈R:
g′(t) + 2g(t) = 2e−2t−4te−2t+2×2te−2t=2e−2t.
Théorème
L’équation différentielle ay′+by =0admet pour solutionsles fonctions définies sur Rpar :
f(t) = Ke−b
at, où Kest un nombre réel quelconque.
Démonstration
Soit gla fonction définie sur Rpar g(t) = e−b
at: on vérifie facilement que gest une solution.
En effet, gest dérivable sur R, de dérivée g′(t) = −b
ae−b
at, et
ag′(t) + bg(t) = a·−b
ae−b
at+be−b at=−be−b at+be−b at=0 .
Soit maintenant fune solution quelconque de l’équation ay′+by =0 et supposons que f(t) = k(t)g(t)pour
tout t∈R(ce qui est possible car gne s’annule pas). On a alors
0=a f ′+b f =a(g′k+gk′)+b gk =ag′k+agk′+b gk =k(ag′+bg
|{z }
) +agk′=agk′,
=0
Comme gne s’annule pas et que a6=0, on en déduit que k′(t) = 0 pour tout t∈R, si bien que kest une
fonction constante, k(t) = K, et les solutions s’écrivent : f(t) = k(t)g(t) = Ke−b
at.
APP2 Opticien Lunetier – 2016 / 2017 1 Lycée Fresnel - Paris

Théorème
Supposons que uest une solution donnée (aussi appelée solution particulière) de l’équation ay′+by =ϕ.
Alors l’équation différentielle ay′+by =ϕadmet pour solutions les fonctions définies sur Rpar :
f(t) = Ke−b
at+u(t), où Kest un nombre réel quelconque.
On retiendra que les solutions d’une équation différentielle linéaire sont la somme des solutions de
l’équation différentielle sans second membre et d’une solution particulière.
Démonstration
Soit fune solution quelconque de l’équation ay′+by =ϕet posons g(t) = f(t)−u(t)pour tout t∈R. On a
donc f=g+uet :
ϕ=a f ′+b f =a(g′+u′)+b(g+u)=ag′+bg +au′+bu
|{z } =ag′+ag +ϕ.
=ϕ
On en déduit que ag′+bg =0 et, d’après le théoréme précédent, que g(t) = Ke−b
atoù K∈R.
Finalement, les solutions s’écrivent : f(t) = g(t) + u(t) = Ke−b
at+u(t).
Détermination de la constante K
Étant donnée une équation différentielle du premier ordre, il n’existe qu’une seule solution qui remplisse
en outre une condition initiale de la forme f(x0)=y0. Pour déterminer cette solution, il suffit de choisir
convenablement la constante K, également appelée constante d’intégration,
Exemple
Problème : déterminer la solution fde l’équation différentielle (E)3y′+6y=0 telle que f(0) = 1, 5.
Résolution
−6
3=−2 donc les solutions de (E)sont les fonctions y(t) = Ke−2t, où K∈R.
La condition f(0) = 1, 5 s’écrit : Ke−2×0=1, 5 soit K=1, 5.
La solution du problème est donc la fonction fdéfinie par : f(t) = 1, 5 e−2t.
Solution du problème 
3y′+6y=0
y(0) = 1, 5
Solutions de l’équation 3y′+6y=0
1
2
3
4
5
−1
−2
1 2
x
y
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Exercice corrigé
On note (E)l’équation différentielle : y′+3y=15 e−2t.
1. Résoudre l’équation différentielle (E0):y′+3y=0.
2. Vérifier que la fonction hdéfinie sur Rpar h(t) = 3 e2test solution de (E).
3. En déduire les solutions de l’équation (E).
4. Déterminer la solution fde (E)telle que f(0) = 4
Résolution
1. Les solutions de (E0)sont les fonctions y(t) = Ke−3t, où K∈R.
2. La dérivée de hvaut : h′(t) = 3×2 e2t=6 e2t. On calcule ensuite h′+3h:
h′(t) + 3h(t) = 6 e2t+3×3 e2t=6 e2t+9 e2t=15 e2t
h′(t) + 3h(t) = 15 e2tdonc hest bien solution de E.
3. Les solutions de l’équation différentielle (E)sont somme des solutions de l’équation différentielle sans
second membre (E0)et de la solution particulière h.
Les solutions de (E)sont donc les fonctions y(t) = Ke−3t+3 e2t, où K∈R.
4. fest solution de (E), donc f(t) = Ke−3t+3 e2tet f(0) = K+3. Ainsi f(0) = 4 ssi K+3=4 d’où K=1.
La solution cherchée est donc : f(t) = e−3t+3 e2t.
Solution ftelle que 
f′(t) + 3f(t) = 15 e−2t
f(0) = 4
Solutions de l’équation y′+3y=15 e−2t
10
20
−10
0,5 1,0−0,5−1,0−1,5
x
y
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Exercices
Exercice 1
1. Compléter les phrases ci-dessous.
•La dérivée de xnest nxn−1.
•La dérivée de eax est aeax.
2. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
f(x) = x(x−2) + 2(x−2)(2x+1)
g(x) = x5+5x4+x3
3+3x2+2x+3+5 ex−4 e2x+7 e−3x+5 e4x+1 5e5x
h(x) = (x+1)e−x
ϕ(t) = e3t
e2t+1
Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, vérifier que fest une solution de l’équation différentielle (E).
1) (E):y′2−4y+4=0f(t) = t2+1
2) (E):y′−2y=e2tf(t) = te2t
3) (E):y′−3y=4te3tf(t) = 2t2e3t
4) (E):ty′=1f(t) = ln(t)
5) (E):ty′−y=t f (t) = tln(t)
6) (E):y′−2 e−2ty2=0f(t) = 1
e−2t+1
7) (E):y′+2y=4t f (t) = 2t−1
8) (E):y′+2y=4t f (t) = 2t−1+e−2t
9) (E):y′+2y=4t f (t) = 2t−1+7 e−2t
10) (E):y′+2y=4t f (t) = 2t−1+Ke−2t
11) (E): 2y′−8y=64t2f(t) = Ke4t−8t2−4t−1
Exercice 3
Résoudre chacune des équations différentielles ci-dessous, puis déterminer la solution vérifiant la condition
indiquée :
1) (E):y′−y=0y(0) = 2 2) (E):y′+y=0y(1) = 1
3) (E):y′+3y=0y(0) = 2 4) (E): 2y′+8y=0y(2) = 5
5) (E): 3y′+12y=0y(2) = 6 6) (E): 5y′+2y=0y(−1) = −1
7) (E): 0, 4y′−0, 7y=0y(0) = 0, 2 8) (E): 2y′−y=0y′(0) = 2
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Exercice 4 –(Groupe D)
On considère l’équation différentielle (E):y′+0, 25y=3e−t,
où yest une fonction de la variable réelle t, définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[, et y′la fonction dérivée
de la fonction y.
1. Déterminer les solutions sur l’intervalle [0 ; +∞[de l’équation différentielle
(E0):y′+0, 25y=0
2. Soit hla fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[par : h(t) = −4e−t.
Démontrer que hest une solution particulière de l’équation différentielle (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution fde l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale : f(0) = 75.
Exercice 5 –(Groupe D)
On considère l’équation différentielle (E): 4y′+y=1200e−1
4x
où yest une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur R.
1. Déterminer la constante réelle atelle que la fonction h1définie par
h1(x) = axe−1
4xsoit solution de (E).
2. Résoudre l’équation différentielle (E0): 4y′+y=0 et en déduire les solutions de (E).
3. Déterminer la fonction hsolution de (E)qui vérifie h(6) = 0.
Exercice 6 –(Groupe D)
On considère l’équation différentielle (E):
y′−y=2(x+1)ex
où ydésigne une fonction de la variable réelle xdéfinie et dérivable sur R,y′sa fonction dérivée.
1. Résoudre l’équation différentielle (E0):y′−y=0.
2. Déterminer les réels aet bde façon que la fonction gdéfinie sur Rpar g(x) = (ax2+bx)exsoit une
solution particulière de (E).
3. En déduire la solution générale de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution fde l’équation (E)qui vérifie la condition initiale : f′(0) = 3.
Exercice 7 –(Extrait de l’examen de 2013)
On considère l’équation différentielle
(E): 1, 22y′+y=632
où yest une fonction inconnue de la variable t, définie et dérivable sur [0 ; +∞[, et y′, la fonction dérivée de y.
On admet que la fonction correspondant à l’épaisseur de la cornée, exprimée en micromètres, en fonction du
temps, exprimé en heures, vérifie l’équation différentielle (E).
1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E0): 1, 22y′+y=0.
2. Soit gla fonction définie sur [0 ; +∞[par g(t) = 632. Vérifier que gest une solution de (E).
3. En déduire les solutions de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution fde l’équation différentielle (E)vérifiant la condition initiale f(0) = 983.
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