Équations différentielles

Équations différentielles
Objectifs
X Vérifier qu’une fonction est solution d’une équation différentielle.
X Résoudre une équation différentielle sans second membre.
X Résoudre une équation différentielle avec second membre connaissant une solution particulière.
X Déterminer la constante d’intégration.
On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants toute équation du type
a y′ + b y = ϕ ,
( E)
où :
• y est la fonction inconnue, supposée définie et dérivable sur un intervalle I,
• y′ est la dérivée de y,
• a et b sont deux nombres réels avec a 6= 0,
• ϕ est une fonction définie sur I.
Une solution de l’équation ( E) est une fonction f telle que, pour tout t ∈ I :
a f ′ ( t) + b f ( t) = ϕ ( t) .
Exemple
La fonction g définie sur R par g(t) = 2t e−2t est une solution de l’équation différentielle
( E)
y′ + 2y = 2e−2t .
En effet, g est dérivable sur R, sa dérivée vaut g′ (t) = 2 e−2t + 2t × −2 e−2t = 2 e−2t − 4t e−2t
et on vérifie que pour tout t ∈ R :
g′ (t) + 2g(t) = 2 e−2t − 4t e−2t + 2 × 2t e−2t = 2 e−2t .
Théorème
L’équation différentielle ay′ + by = 0
admet pour solutions les fonctions définies sur R par :
b
f (t) = K e− a t , où K est un nombre réel quelconque.
Démonstration
b
Soit g la fonction définie sur R par g(t) = e− a t : on vérifie facilement que g est une solution.
b
En effet, g est dérivable sur R, de dérivée g′ (t) = − ba e− a t , et
b
b
b
b −bt
′
ag (t) + bg(t) = a · − e a + b e− a t = −b e− a t + b e− a t = 0 .
a
Soit maintenant f une solution quelconque de l’équation ay′ + by = 0 et supposons que f (t) = k(t) g(t) pour
tout t ∈ R (ce qui est possible car g ne s’annule pas). On a alors
0 = af′ + bf
= a ( g′ k + gk′ ) + b gk = ag′ k + agk′ + b gk = k ( ag′ + bg ) + agk′ = agk′ ,
| {z }
=0
Comme g ne s’annule pas et que a 6= 0, on en déduit que k′ (t) = 0 pour tout t ∈ R, si bien que k est une
b
fonction constante, k(t) = K, et les solutions s’écrivent : f (t) = k(t) g(t) = K e− a t .
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Théorème
Supposons que u est une solution donnée (aussi appelée solution particulière) de l’équation ay′ + by = ϕ.
Alors l’équation différentielle ay′ + by = ϕ admet pour solutions les fonctions définies sur R par :
b
f (t) = K e− a t + u(t) , où K est un nombre réel quelconque.
On retiendra que les solutions d’une équation différentielle linéaire sont la somme des solutions de
l’équation différentielle sans second membre et d’une solution particulière.
Démonstration
Soit f une solution quelconque de l’équation ay′ + by = ϕ et posons g(t) = f (t) − u(t) pour tout t ∈ R. On a
donc f = g + u et :
ϕ = af′ + bf
+ bu} = ag′ + ag + ϕ .
= a ( g′ + u′ ) + b ( g + u) = ag′ + bg + |au′ {z
=ϕ
b
On en déduit que ag′ + bg = 0 et, d’après le théoréme précédent, que g(t) = K e− a t où K ∈ R.
b
Finalement, les solutions s’écrivent : f (t) = g(t) + u(t) = K e− a t + u(t).
Détermination de la constante K
Étant donnée une équation différentielle du premier ordre, il n’existe qu’une seule solution qui remplisse
en outre une condition initiale de la forme f ( x0 ) = y0 . Pour déterminer cette solution, il suffit de choisir
convenablement la constante K, également appelée constante d’intégration,
Exemple
Problème : déterminer la solution f de l’équation différentielle ( E)
3y′ + 6y = 0 telle que f (0) = 1, 5.
Résolution
− 63 = −2 donc les solutions de ( E) sont les fonctions y(t) = K e−2t , où K ∈ R.
La condition f (0) = 1, 5 s’écrit :
K e−2×0 = 1, 5
soit
K = 1, 5.
La solution du problème est donc la fonction f définie par : f (t) = 1, 5 e−2t .
y
5
4
3
Solutions de l’équation
3y′ + 6y = 0
2
1
x
1
2
−1
−2
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Solution du problème
2

3y′ + 6y = 0
y(0) = 1, 5
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Exercice corrigé
On note ( E) l’équation différentielle : y′ + 3y = 15 e−2t .
1. Résoudre l’équation différentielle ( E0 ) : y′ + 3y = 0.
2. Vérifier que la fonction h définie sur R par h(t) = 3 e2t est solution de ( E).
3. En déduire les solutions de l’équation ( E).
4. Déterminer la solution f de ( E) telle que f (0) = 4
Résolution
1. Les solutions de ( E0 ) sont les fonctions y(t) = K e−3t , où K ∈ R.
2. La dérivée de h vaut : h′ (t) = 3 × 2 e2t = 6 e2t . On calcule ensuite h′ + 3h :
h′ (t) + 3h(t) = 6 e2t + 3 × 3 e2t = 6 e2t + 9 e2t = 15 e2t
h′ (t) + 3h(t) = 15 e2t donc h est bien solution de E.
3. Les solutions de l’équation différentielle ( E) sont somme des solutions de l’équation différentielle sans
second membre ( E0 ) et de la solution particulière h.
Les solutions de ( E) sont donc les fonctions y(t) = K e−3t + 3 e2t , où K ∈ R.
4. f est solution de ( E), donc f (t) = K e−3t + 3 e2t et f (0) = K + 3. Ainsi f (0) = 4 ssi K + 3 = 4 d’où K = 1.
La solution cherchée est donc : f (t) = e−3t + 3 e2t .
y
20
10
Solutions de l’équation
y′ + 3y = 15 e−2t
x
−1,5
−1,0
−0,5
0,5
Solution f telle que
1,0

 f ′ (t) + 3 f (t) = 15 e−2t
 f ( 0) = 4
−10
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Exercices
Exercice 1
1. Compléter les phrases ci-dessous.
• La dérivée de xn est nx n−1 .
• La dérivée de eax est ae ax .
2. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
f ( x)
=
x( x − 2) + 2( x − 2)(2x + 1)
g( x )
=
x5 + 5x4 +
h( x )
=
ϕ ( t)
=
( x + 1) e − x
e3t
e2t + 1
x3
3
+ 3 x2 + 2x + 3 + 5 ex − 4 e2x + 7 e−3x + 5 e4x + 51 e5x
Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, vérifier que f est une solution de l’équation différentielle ( E).
1)
( E) : y′2 − 4y + 4 = 0
f ( t ) = t2 + 1
2)
( E) : y′ − 2y = e2t
f (t) = t e2t
3)
( E) : y′ − 3y = 4t e3t
f (t) = 2t2 e3t
4)
( E) : ty′ = 1
f (t) = ln(t)
5)
( E) : ty′ − y = t
f (t) = t ln(t)
6)
( E) : y′ − 2 e−2t y2 = 0
f ( t) =
7)
( E) : y′ + 2y = 4t
f (t) = 2t − 1
8)
( E) : y′ + 2y = 4t
f (t) = 2t − 1 + e−2t
9)
( E) : y′ + 2y = 4t
f (t) = 2t − 1 + 7 e−2t
10)
( E) : y′ + 2y = 4t
f (t) = 2t − 1 + K e−2t
11)
( E) : 2y′ − 8y = 64t2
f (t) = K e4t − 8t2 − 4t − 1
1
+1
e−2t
Exercice 3
Résoudre chacune des équations différentielles ci-dessous, puis déterminer la solution vérifiant la condition
indiquée :
1)
( E ) : y′ − y = 0
y ( 0) = 2
2)
( E ) : y′ + y = 0
y ( 1) = 1
3)
( E) : y′ + 3y = 0
y ( 0) = 2
4)
( E) : 2y′ + 8y = 0
y ( 2) = 5
5)
( E) : 3y′ + 12y = 0
y ( 2) = 6
6)
( E) : 5y′ + 2y = 0
y(−1) = −1
7)
( E) : 0, 4y′ − 0, 7y = 0
y(0) = 0, 2
8)
( E) : 2y′ − y = 0
y ′ ( 0) = 2
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Exercice 4 – (Groupe D)
On considère l’équation différentielle
(E) : y′ + 0, 25y = 3e−t ,
où y est une fonction de la variable réelle t, définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[, et y′ la fonction dérivée
de la fonction y.
1. Déterminer les solutions sur l’intervalle [0 ; +∞[ de l’équation différentielle
(E0 ) :
y′ + 0, 25y = 0
2. Soit h la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : h(t) = −4e−t .
Démontrer que h est une solution particulière de l’équation différentielle (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale : f (0) = 75.
Exercice 5 – (Groupe D)
1
On considère l’équation différentielle
( E) : 4y′ + y = 1200e− 4 x
où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur R.
1. Déterminer la constante réelle a telle que la fonction h1 définie par
1
h1 ( x) = axe− 4 x soit solution de ( E).
2. Résoudre l’équation différentielle ( E0 ) : 4y′ + y = 0 et en déduire les solutions de ( E).
3. Déterminer la fonction h solution de ( E) qui vérifie h(6) = 0.
Exercice 6 – (Groupe D)
On considère l’équation différentielle ( E) :
y ′ − y = 2( x + 1) e x
où y désigne une fonction de la variable réelle x définie et dérivable sur R , y′ sa fonction dérivée.
1. Résoudre l’équation différentielle ( E0 ) : y′ − y = 0.
2. Déterminer les réels a et b de façon que la fonction g définie sur R par g( x) = ( ax2 + bx)ex soit une
solution particulière de ( E).
3. En déduire la solution générale de l’équation différentielle ( E).
4. Déterminer la solution f de l’équation ( E) qui vérifie la condition initiale : f ′ (0) = 3.
Exercice 7 – (Extrait de l’examen de 2013)
On considère l’équation différentielle
( E) :
1, 22y′ + y = 632
où y est une fonction inconnue de la variable t, définie et dérivable sur [0 ; +∞[, et y′ , la fonction dérivée de y.
On admet que la fonction correspondant à l’épaisseur de la cornée, exprimée en micromètres, en fonction du
temps, exprimé en heures, vérifie l’équation différentielle ( E).
1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle ( E0 ) :
1, 22y′ + y = 0.
2. Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par g(t) = 632. Vérifier que g est une solution de ( E).
3. En déduire les solutions de l’équation différentielle ( E).
4. Déterminer la solution f de l’équation différentielle ( E) vérifiant la condition initiale f (0) = 983.
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Exercice 8 – (Extrait de l’examen de 2014)
La rétinite pigmentaire est une maladie génétique caractérisée par la dégénérescence des cellules en cônes et
en bâtonnets responsables de la vision. Afin de freiner l’évolution de cette maladie, un traitement consiste à
faire absorber au malade par voie orale un médicament à base de palminate de vitamine A et d’oméga-3.
L’évolution, en fonction du temps (exprimé en heures), de la quantité de principe actif présente dans le sang
après absorption (exprimée en mg) est modélisée par une fonction vérifiant l’équation différentielle :
( E) y′ + y = 2, 5 e−0,5t ,
où y est une fonction inconnue de la variable t, définie et dérivable sur [0 ; +∞[, et y′ la fonction dérivée de y.
1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle ( E0 ) :
y′ + y = 0.
2. Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par g(t) = 5 e−0,5t . Vérifier que g est une solution de ( E).
3. En déduire les solutions de l’équation différentielle ( E).
4. Déterminer la solution f de l’équation différentielle ( E) vérifiant la condition initiale f (0) = 0.
Exercice 9 – (Extrait de l’examen 2012)
1. On désigne par x(t) la quantité de collyre antiallergique, exprimée en dizaines de microlitres, présente
dans le cul-de-sac conjonctival à l’instant t. On suppose que la fonction x, de la variable réelle t, est définie
et dérivable sur l’intervalle [0 ; 5] et vérifie l’équation différentielle
( E1 ) :
x′ (t) + 2x(t) = 0
où x′ désigne la fonction dérivée de la fonction x.
(a) Déterminer les solutions définies sur [0 ; 5] de l’équation différentielle ( E1 ).
(b) Déterminer la solution f de l’équation différentielle ( E1 ) qui vérifie la condition initiale f (0) = 5.
2. On désigne par y(t) la quantité de collyre antiallergique pénétrant dans le tissu conjonctival à l’instant t.
On suppose que la fonction y, de la variable réelle t, est définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 5] et vérifie
l’équation différentielle
( E2 ) : y′ (t) + y(t) = 10e−2t
où y′ désigne la fonction dérivée de la fonction y.
(a) Déterminer les solutions définies sur [0 ; 5] de l’équation différentielle
y′ (t) + y(t) = 0.
( E0 ) :
(b) Soit h la fonction définie sur [0 ; 5] par h(t) = −10e−2t . Démontrer que la fonction h est une solution
de l’équation différentielle ( E2 ).
(c) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle ( E2 ).
(d) Déterminer la solution g de l’équation différentielle ( E2 ) qui vérifie la condition initiale g(0) = 0.
Exercice 10 – (Extrait de l’examen 2007)
Soit (E) l’équation différentielle
y′ + y = −2xe− x
où y désigne une fonction de la variable réelle x définie dérivable sur R et y′ sa fonction dérivée.
1. Déterminer les solutions sur R de l’équation différentielle (E0 )
:
y′ + y = 0.
2. Vérifier que la fonction f définie sur R par f ( x) = − x2 e− x est une solution particulière de (E).
3. Donner l’ensemble des solutions de (E).
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