a(t)y` + b(t)

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE
À COEFFICIENTS NON CONSTANTS :
a(t)y’ + b(t)y = c(t)
Soit y(t) une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de IR.
On considère l’équation différentielle (E) : a(t)y’ + b(t)y = c(t) où a(t) , b(t) et c(t) sont trois fonctions définies et
dérivables sur I, avec a(t) ≠ 0 pour tout t ∈ I.
1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION SANS SECOND MEMBRE (E0) : a(t)y' + b(t)y = 0
Nous avons vu dans le paragraphe précédent le cas particulier de cette équation différentielle lorsque a et b sont des
constantes.
Il s'agit ici d'étudier les solutions de l'équation lorsque a et b sont des fonctions de la variable t.
Théorème : Soient a(t) et b(t) des fonctions dérivables sur un intervalle I ( a(t) ≠ 0 pour tout t ∈ I ).
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E0) est l'ensemble des fonctions définies sur I
b(t)
par : y0(t) = K e–F(t) où K est une constante réelle et F(t) est une primitive de
.
a(t)
Exemple : Résolvons (E0) :
Sur I = ]–1 ; +∞[
(t + 1) y' + (t – 1) y = 0
On isole y’ :
Il faut chercher une primitive de
On obtient : F(t) =
Alors e–F(t) =
Les solutions de (E0) sont les fonctions définies sur I par : y0(t) =
Exercice : Résoudre (E0) :
t y’+ 2 y = 0
Sur ]0 ; +∞[
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DMartin-LAH
2. GÉNÉRALITÉS
La résolution d’une équation différentielle du premier ordre : a(t)y’ + b(t)y = c(t) se fait en quatre étapes :
1. Résoudre l’équation sans second membre (E0) : a(t)y’ + b(t)y = 0.
Û La solution est : y0(t) = K e–F(t) où K est une constante réelle et F(t) est une primitive de
b(t)
a(t)
2. Déterminer une solution particulière de (E) : h(t)
Û Elle est donnée dans l’énoncé pour les équations différentielles à coefficients non constants
3. Additionner les deux solutions obtenues : y0(t) + h(t)
Û C’est l’ensemble de toutes les solutions de (E). (il y en a une infinité)
4. Trouver la solution unique vérifiant une condition initiale donnée.
Û Il s’agit ici de trouver la constante K de y0(t) telle que la condition initiale soit vérifiée.
Exercice :
 1 
On considère l’équation différentielle (E) : (1 + x) y’ – y = ln 

1+ x 
où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur r+ et y’ sa dérivée.
1. Déterminer les solutions sur r+ de l’équation différentielle (E0) : (1 + x) y’ – y = 0.
2. Soit h la fonction définie sur r+ par : h(x) = ln (1 + x) + C avec C ∈ r.
Déterminer C pour que la fonction h soit une solution particulière de (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de (E) dont la courbe représentative passe par l’origine du repère.
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