a(t)y` + b(t)

DMartin-LAH
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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE
À COEFFICIENTS NON CONSTANTS :
a(t)y’ + b(t)y = c(t)
Soit y(t) une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de IR.
On considère l’équation différentielle (E) : a(t)y’ + b(t)y = c(t) où a(t) , b(t) et c(t) sont trois fonctions définies et
dérivables sur I, avec a(t) ≠ 0 pour tout t
∈
I.
1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION SANS SECOND MEMBRE (E
0
) : a(t)y' + b(t)y = 0
Nous avons vu dans le paragraphe précédent le cas particulier de cette équation différentielle lorsque a et b sont des
constantes.
Il s'agit ici d'étudier les solutions de l'équation lorsque a et b sont des fonctions de la variable t.
Théorème : Soient a(t) et b(t) des fonctions dérivables sur un intervalle I ( a(t) ≠ 0 pour tout t ∈ I ).
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E
0
) est l'ensemble des fonctions définies sur I
par : y
0
(t) = K e
–F(t)
où K est une constante réelle et F(t) est une primitive de b(t)
a(t) .
Exemple : Résolvons (E
0
) : (t + 1) y' + (t – 1) y = 0 Sur I = ]–1 ; + ∞ [
On isole y’ :
Il faut chercher une primitive de
On obtient : F(t) =
Alors e
–F(t)
=
Les solutions de (E
0
) sont les fonctions définies sur I par : y
0
(t) =
Exercice : Résoudre (E
0
) : t y’+ 2 y = 0 Sur ]0 ; + ∞ [

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2. GÉNÉRALITÉS
La résolution d’une équation différentielle du premier ordre : a(t)y’ + b(t)y = c(t) se fait en quatre étapes :
1. Résoudre l’équation sans second membre (E
0
) : a(t)y’ + b(t)y = 0.
Û La solution est : y
0
(t) = K e
–F(t)
où K est une constante réelle et F(t) est une primitive de b(t)
a(t)
2. Déterminer une solution particulière de (E) : h(t)
Û Elle est donnée dans l’énoncé pour les équations différentielles à coefficients non constants
3. Additionner les deux solutions obtenues : y
0
(t) + h(t)
Û C’est l’ensemble de toutes les solutions de (E). (il y en a une infinité)
4. Trouver la solution unique vérifiant une condition initiale donnée.
Û Il s’agit ici de trouver la constante K de y
0
(t) telle que la condition initiale soit vérifiée.
Exercice :
On considère l’équation différentielle (E) : (1 + x) y’ – y = ln 
+x11
où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur r
+ et y’ sa dérivée.
1. Déterminer les solutions sur r
+ de l’équation différentielle (E0) : (1 + x) y’ – y = 0.
2. Soit h la fonction définie sur r
+ par : h(x) = ln (1 + x) + C avec C
∈ r.
Déterminer C pour que la fonction h soit une solution particulière de (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de (E) dont la courbe représentative passe par l’origine du repère.