Formule d`Al Kashi - Ducros Prof

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Secteur BACPRO 3 Ans - Première
215.05- Les Relations d’Al Kashi COURS 1-3
Géométrie
Leçon 05 :
Les Relations d’Al Kashi
Les objectifs de cette petite leçon sont simples :
- Etre capable d’appliquer les relations trigonométriques dans le triangle rectangle,
- Etre capable d’appliquer les relations trigonométriques dans le triangle quelconque,
- Etre capable d’utiliser les formules d’addition et de multiplication.
1- Calculs dans le triangle rectangle
 Activité N°1 :
Rappeler les formules trigonométriques donnant le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle CAB.
Les formules sont :
AB
AC
B
BC
AC
B
BC
AB
B
tan
sin
cos
 Activité N°2 :
Résoudre les deux problèmes suivants :
On a sin 20° = x÷5 donc x = 1,71 On a tan 70 = y÷3 donc y = 8,24
 Activité N°3 :
Calculer la distance la plus courte d’un point à une droite.
On crée un triangle ABH (H projeté orthogonal de A sur (D) et B le
point d’intersection et on applique les formules trigonométriques :
Sin 17 = AH ÷ 25
Donc AH = 7,31
2- Calculs dans le triangle quelconque
 Activité N°4 : Aire d’un triangle quelconque
On connaît l’aire d’un triangle ABC qui vaut
A = ½ × base × hauteur soit A = ½ × b × h
Or ici on vous demande d’exprimer h en fonction de l’angle BAC et de la longueur c.
Sin BAC = h÷c
h = c× sin BAC

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215.05- Les Relations d’Al Kashi COURS 2-3
On peut alors donner une nouvelle formule pour l’aire :
AbcAˆ sin
2
1
On pourrait aussi montrer que :
BacAˆ sin
2
1
CabAˆ sin
2
1
Théorème :
L’aire d’un triangle quelconque est égale au demi-produit des deux côtés par le sinus de leur angle
 Activité N°5 :
On a :
A = ½ × AB × BC× sin B
Soit :
A = 15,43
Démonstration : Relation entre les côtés et le sinus de l’angle opposé
On connaît la formule qui donne l’aire du triangle ABC :
A = ½ ac sin B = ½ bc sin A
On en déduit donc que :
ac sin B = bc sin A
Puis on simplifie par c et on en arrive a :
a sin B = b sin A
Ce résultat est celui d’un produit en croix qui nous permet d’écrire :
B
b
A
a
ˆ
sin
ˆ
sin 
Ce qui se généralise par la formule bien connue :
C
c
B
b
A
a
ˆ
sin
ˆ
sin
ˆ
sin 
Théorème :
Dans un triangle, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.
 Activité N°6 :
On a la formule précédente qui nous permet d’écrire la relation :
35 65sin20
ˆ
sin  C
On en déduit alors :
C = 31,2 °
Puis en utilisant la somme des angles d’un traingle on en déduit :
B = 83,8°

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215.05- Les Relations d’Al Kashi COURS 3-3
Démonstration : Relation entre les côtés et le cosinus de l’angle opposé
Dans BHC, on a :
BC² = BH² + HC²
Et
BH = AB – AH
BH² = (AB – AH)²
D’ou
BC² = (AB – AH)² + HC²
BC = AB² + AH² - 2×AB×AH
Or on vient de démontrer que :
AC
AH
Acos
donc AH = AC × cos A
d’où BC = AB² + AC² + 2×AB×AC×cos A
En utilisant les longueurs des côtés du triangle on en arrive aux Formules d’Al Kashi pour le triangle
quelconque :
a² = b² + c² - 2 bc × cos A
b² = a² + c² - 2 ac × cos B
c² = a² + b² - 2 ab × cos C
Théorème :
Dans un triangle, le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés diminué de leur double
produit par le cosinus de leur angle.
 Activité N°7 :
En calculant les angles en degrés et en utilisant les formule d’Al Kashi, on en arrive à :
OB² = OA² + AB² - 2× OA × OB × cos OAB
OB² = 63,17
OB = 7,95