Applications linéaires

Cours PCSI Applications linéaires.
Table des matières
Introduction..........................................................................................................................................2
I- Définitions et exemples....................................................................................................................3
1- Définition.....................................................................................................................................3
2- Exemples.....................................................................................................................................4
II- Noyaux et images............................................................................................................................5
1- Rappels : images directes et images réciproques........................................................................5
a- Définitions...............................................................................................................................5
b- Quelques exemples.................................................................................................................5
2- Ker et Im......................................................................................................................................5
a- Définitions...............................................................................................................................5
b- Noyau caractérise l'injectivité.................................................................................................6
c- Image caractérise la surjectivité..............................................................................................6
3- Structure des solutions d'une équation linéaire...........................................................................7
III- Structures algébriques....................................................................................................................8
1- Structure d'espace vectoriel de L(E,F).........................................................................................8
2- Structure d'anneau de L(E)..........................................................................................................8
3- Le groupe linéaire........................................................................................................................9
IV- Projecteurs et symétries................................................................................................................10
1- Projecteurs ................................................................................................................................10
2- Symétries...................................................................................................................................11
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Introduction
Généralisation de la proportionnalité : la linéarité.
Idée importante en mathématiques et en physique : conservation.
Physique : premier principe de la thermodynamique, conservation de l'énergie, de la quantité de
mouvement.
Mathématique : on a des structures. Et on cherche les transformations qui conserve ces structures.
Exemples : isométrie conserve les distances.
Fonctions croissantes qui conserve l'ordre.
Fonction continue transforme des intervalles en intervalles. (des compacts en compact, des
connexes en connexe).
En algèbre, conserve les structures.
Morphisme de groupe : f(x x')=f(x)f(x').
Morphisme d'anneau : conservation de l'addition, de la multiplication et de l'élément neutre.
Application linéaire : conservation des 2 lois de composition.
Application linéaire : approximation au premier ordre de fonction.
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L'ensemble E est muni d'une structure algébrique. Les applications linéaires traduisent une mise en
mouvement des vecteurs. Ces applications conservent la structure algébrique.
I- Définitions et exemples
1- Définition
Définition
Soient
E
et
F
deux
K
espaces-vectoriels.
Une application
u
de
E
dans
F
est K-linéaire si :
∀(
x
,
y
)∈
E
2
,
u
(
x
+
y
)=
u
(
x
)+
u
(
y
)
∀(λ
,
x
)∈
K
×
E
,
u
(λ
x
)=λ
u
(
x
)
Ce qui est équivalent à :
Propriété caractéristique
u
est
linéaire
⇔∀(λ
,
µ)∈
K
2
et
(
x
,
y
)∈
E
2
,
u
(λ
x
+µ
y
)=λ
u
(
x
)+µ
u
(
y
)
Démonstration : équivalente à la propriété caractéristique des sous-espaces vectoriels.
Remarque : extension à une combinaison linéaire d'un nombre fini de vecteurs.
u
(
∑
i=1
m
λ
i
x
i
)
=∑
i=1
m
λ
i
u(x
i
)
Propriété : Si u est une application linéaire de
E
dans
F
, alors
u
(
0
E
)=
0
F
Remarque : c'est un morphisme de groupe. Il transforme le neutre de E en élément neutre de F.
Démonstration :
u
(
0
E
)=
u
(
0
0
E
)=
0
u
(
0
E
)=
0
F
Même propriété, pour les morphismes de groupe et d'anneau (pour les anneaux on impose f(1)=1).
Remarque : en utilisant la contraposée, si
u
(
0
E
)≠
0
, alors u n'est pas linéaire.
Notation : l'ensemble des applications linéaires de E dans F est noté
L
(
E
,
F
).
Définition
Cas particulier :
F
=
K
. Dans ce cas, l'application est une forme linéaire.
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2- Exemples
–L'application linéaire nulle. C'est la seule application constante qui est linéaire.
–Dans K, toutes les applications linéaires sont de la forme
u
(
x
)=λ
x
. (homothéties)
–Plus généralement, dans tout espace vectoriel les homothéties sont des applications
linéaires.
–Dans ℂ
,
u
(
z
)=
̄
z
est
ℝ
linéaire. v(z)=Re(z).
–Dans les espaces de vecteurs (dimension 2 ou 3), les rotations, les symétries, les projections.
–L'application de K[X] dans K[X] qui à P associe P' est linéaire.
–L'application de K[X] dans K[X] qui à P associe XP est linéaire.
–P associe
P
2
n'est pas linéaire.
–L'application de l'ensemble des fonctions de classe
C
2
dans l'ensemble des fonctions
continue définie par : Φ(
y
)=
ay
'
'
+
by
'
+
c
est linéaire.
–Produit scalaire et produit vectoriel. Soit y un vecteur donné l'application de E dans ℝ qui à
x associe
x
⋅
y
est linéaire. De même l'application qui va de E dans E qui à x associe
x
∧
y
est linéaire.
–Intégrale. Forme linéaire : application des fonctions continues sur [
a
,
b
] qui à f associe
∫
a
b
f(t)dt
–Sur
M
n
(
K
), l'application qui à
M
associe
t
M
(c'est une symétrie).
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II- Noyaux et images.
1- Rappels : images directes et images réciproques.
a- Définitions
Soient
f
une application de
E
dans
F
, A une partie de E et B une partie de F.
Définition :
L'image directe de
A
, notée
f
(
A
) est définie par :
f
(
A
)={
y
∈
F
∣∃
x
∈
A
,
f
(
x
)=
y
}. On a aussi :
f
(
A
)={
f
(
x
)
,
x
∈
A
}.
f
(
A
) est une partie de
F
. C'est l'ensemble des images des éléments de
E
.
Définition :
L'image réciproque de
B
notée f
1
(B) est définie par :
f
1
(B)={x∈E∣f(x)∈B}. f
1
(B)est une partie de
A
. C'est l'ensemble des éléments de
E
qui ont leur image dans
F
. C'est l'ensemble des antécédents des éléments de
B
.
b- Quelques exemples.
Fonctions réelles : fonction carrée, fonction logarithme, fonction circulaire.
2- Ker et Im.
a- Définitions
Théorème
Soit E et F deux K espaces vectoriels et u une application linéaire de E dans F.
L'image directe d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace
vectoriel :
Si E' est un sous-espace vectoriel de E, alors u(E') est un sous-espace vectoriel de F.
L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel.
Si F' est un sous-espace vectoriel de F, alors
u
1
(
F
'
)
est un sous-espace vectoriel de E.
Démonstration : on montre qu'ils sont non vides et stables par combinaison linéaire.
Soit E' un sous-espace vectoriel ; montrons que u(E') est un sous-espace vectoriel de F.
Il est non vide. Il contient u(0)=0.
Soient y et y' deux vecteurs de E', montrons que α
y
+α
'
y
'
∈
u
(
E
'
).
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