Applications linéaires

Cours PCSI
Applications linéaires.
Table des matières
Introduction..........................................................................................................................................2
I- Définitions et exemples....................................................................................................................3
1- Définition.....................................................................................................................................3
2- Exemples.....................................................................................................................................4
II- Noyaux et images............................................................................................................................5
1- Rappels : images directes et images réciproques........................................................................5
a- Définitions...............................................................................................................................5
b- Quelques exemples.................................................................................................................5
2- Ker et Im......................................................................................................................................5
a- Définitions...............................................................................................................................5
b- Noyau caractérise l'injectivité.................................................................................................6
c- Image caractérise la surjectivité..............................................................................................6
3- Structure des solutions d'une équation linéaire...........................................................................7
III- Structures algébriques....................................................................................................................8
1- Structure d'espace vectoriel de L(E,F).........................................................................................8
2- Structure d'anneau de L(E)..........................................................................................................8
3- Le groupe linéaire........................................................................................................................9
IV- Projecteurs et symétries................................................................................................................10
1- Projecteurs ................................................................................................................................10
2- Symétries...................................................................................................................................11
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Introduction
Généralisation de la proportionnalité : la linéarité.
Idée importante en mathématiques et en physique : conservation.
Physique : premier principe de la thermodynamique, conservation de l'énergie, de la quantité de
mouvement.
Mathématique : on a des structures. Et on cherche les transformations qui conserve ces structures.
Exemples : isométrie conserve les distances.
Fonctions croissantes qui conserve l'ordre.
Fonction continue transforme des intervalles en intervalles. (des compacts en compact, des
connexes en connexe).
En algèbre, conserve les structures.
Morphisme de groupe : f(x x')=f(x)f(x').
Morphisme d'anneau : conservation de l'addition, de la multiplication et de l'élément neutre.
Application linéaire : conservation des 2 lois de composition.
Application linéaire : approximation au premier ordre de fonction.
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L'ensemble E est muni d'une structure algébrique. Les applications linéaires traduisent une mise en
mouvement des vecteurs. Ces applications conservent la structure algébrique.
I- Définitions et exemples
1- Définition
Définition
Soient E et F deux K espaces-vectoriels.
Une application u de E dans F est K-linéaire si :
2
∀(x , y)∈E , u (x+y)=u (x)+u (y)
∀(λ , x)∈K×E , u( λ x)=λ u ( x)
Ce qui est équivalent à :
Propriété caractéristique
2
2
u est linéaire⇔∀( λ ,µ )∈K et (x , y)∈E , u ( λ x+µ y)=λ u (x )+µ u( y )
Démonstration : équivalente à la propriété caractéristique des sous-espaces vectoriels.
Remarque : extension à une combinaison linéaire d'un nombre fini de vecteurs.
u
(
)
m
m
∑ λi x i =∑ λi u (x i )
i=1
i =1
Propriété : Si u est une application linéaire de
E dans
F , alors u( 0E )=0 F
Remarque : c'est un morphisme de groupe. Il transforme le neutre de E en élément neutre de F.
Démonstration : u( 0E )=u (0 0 E)=0 u(0E )=0 F
Même propriété, pour les morphismes de groupe et d'anneau (pour les anneaux on impose f(1)=1).
Remarque : en utilisant la contraposée, si u (0 E )≠0 , alors u n'est pas linéaire.
Notation : l'ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L (E , F) .
Définition
Cas particulier :
F =K . Dans ce cas, l'application est une forme linéaire.
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2- Exemples
–
L'application linéaire nulle. C'est la seule application constante qui est linéaire.
–
Dans K, toutes les applications linéaires sont de la forme u( x)=λ x . (homothéties)
–
–
Plus généralement, dans tout espace vectoriel les homothéties sont des applications
linéaires.
Dans ℂ , u ( z )=̄z est ℝ linéaire. v(z)=Re(z).
–
Dans les espaces de vecteurs (dimension 2 ou 3), les rotations, les symétries, les projections.
–
L'application de K[X] dans K[X] qui à P associe P' est linéaire.
–
L'application de K[X] dans K[X] qui à P associe XP est linéaire.
–
P associe P 2 n'est pas linéaire.
–
L'application de l'ensemble des fonctions de classe C 2 dans l'ensemble des fonctions
continue définie par : Φ( y )=ay ''+by'+c est linéaire.
–
Produit scalaire et produit vectoriel. Soit y un vecteur donné l'application de E dans ℝ qui à
x associe x⋅y est linéaire. De même l'application qui va de E dans E qui à x associe x ∧y
est linéaire.
–
Intégrale. Forme linéaire : application des fonctions continues sur [a , b] qui à f associe
b
∫ f (t ) dt
a
–
Sur M n (K ) , l'application qui à
M associe t M (c'est une symétrie).
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II- Noyaux et images.
1- Rappels : images directes et images réciproques.
a- Définitions
Soient
f une application de
E dans
F , A une partie de E et B une partie de F.
Définition :
L'image directe de A , notée f ( A) est définie par :
f ( A)={ y∈F∣∃ x ∈ A , f ( x)= y} . On a aussi : f ( A)={ f ( x) , x ∈A} .
f ( A) est une partie de F . C'est l'ensemble des images des éléments de
E .
Définition :
L'image réciproque de B notée f 1 ( B) est définie par :
f 1 ( B)={x∈E∣ f ( x )∈ B} . f 1 ( B) est une partie de A . C'est l'ensemble des éléments de
E qui ont leur image dans F . C'est l'ensemble des antécédents des éléments de B .
b- Quelques exemples.
Fonctions réelles : fonction carrée, fonction logarithme, fonction circulaire.
2- Ker et Im.
a- Définitions
Théorème
Soit E et F deux K espaces vectoriels et u une application linéaire de E dans F.
L'image directe d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace
vectoriel :
Si E' est un sous-espace vectoriel de E, alors u(E') est un sous-espace vectoriel de F.
L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel.
Si F' est un sous-espace vectoriel de F, alors u 1 (F ') est un sous-espace vectoriel de E.
Démonstration : on montre qu'ils sont non vides et stables par combinaison linéaire.
Soit E' un sous-espace vectoriel ; montrons que u(E') est un sous-espace vectoriel de F.
Il est non vide. Il contient u(0)=0.
Soient y et y' deux vecteurs de E', montrons que α y+α ' y ' ∈u ( E ' ) .
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y ∈u( E ' ) , ∃ x∈E ' , y=u ( x ) De même : ∃ x ' ∈E ' , y '=u( x ' )
α y+α ' y '=α u ( x )+βu ( x ')=u( α x+α x ' ) .
On pose x ' '=α x+α ' x '∈ E ' et α y+α y ' ∈u( E ' )
Image réciproque. Soient ( x 1 , x 2 )∈u 1 ( F ' ) . u (α1 x 1+α 2 x 2)=α1 u( x 1)+α 2 u( x 2) .
C'est une combinaison linéaire de deux vecteurs de F', donc ce vecteur appartient à F'.
Remarque : de même pour les morphismes de groupe et d'anneau.
Définitions :
Le noyau de u noté Ker(u) est défini par :
Ker ( u )={x∈E tel que u (x)=0 F } Ker (u )=u 1 (0F ) et est un sous-espace vectoriel de E.
L'image de u noté Im(u) est définie par :
Im ( u)={y∈F , ∃x∈E, u( x)=y } Im (u)=u( E)={u ( x ) , x ∈E } est un sous-espace vectoriel de
F.
Remarques : ce sont des sous-espaces vectoriels et ne sont jamais vides.
Le noyau contient au moins le vecteur nul. De même pour l'image.
Exemples :
Application nulle, homothétie.
Application qui va de ℝ3 dans ℝ qui à x associe a⋅x où a est un vecteur fixé.
Le noyau est le plan vectoriel orthogonal à a et l'image est ℝ .
Application qui va de K n [ X ] dans lui même qui à P associe P'. Noyau polynômes constants.
Image K n 1 [ X ]
à X on associe XP. Image polynôme de valuation ≥1 . Noyau : le polynôme nul.
S H est le noyau d'une application linéaire.
b- Noyau caractérise l'injectivité.
Propriété : u ( x )=u ( x ' )⇔ x x ' =Ker (u)
u( x)=u (x ')⇔ u ( x) u (x ')=0F ⇔ u (x x ')=0F ⇔ x x '∈Ker ( u)
Théorème : une application linéaire est injective si et seulement si : Ker ( u )=0
Démonstration :
Si u est injective, montrons que Ker u=0E . Soit x ∈E tel que : u( x)=0F on a aussi u( 0E )=0 F et
u injective implique que x=0E .
On suppose Ker u=0E . Montrons que u est injective.
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u( x)=u (x ')⇔ u ( x) u (x ')=0F ⇔ u (x x ')=0F ⇔ x x '∈Ker ( u) ⇔x x '=0E ⇔ x=x '
Remarque : de même pour les morphismes de groupe, et d'anneau.
c- Image caractérise la surjectivité.
Théorème : une application linéaire est surjective si et seulement si : Im ( u)=F
3- Structure des solutions d'une équation linéaire.
Définition
une équation linéaire est une équation de la forme : u( x)=b . (E)
avec u∈L (E , F) , b un vecteur de F.
Équation homogène associée est : u( x)=0F ( H )
SH est un sous-espace vectoriel de E. SH =Ker ( u) .
Si b∈Im( u ) , le système est compatible.
L'ensemble des solutions d'une équation compatible est S={x 0+SH } où x 0 est une solution
particulière. S est un espace affine .
Exemple : équation différentielle linéaire.
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III- Structures algébriques
1- Structure d'espace vectoriel de L(E,F)
L'ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L (E , F) .
Propriété : L (E , F) , est un K espace vectoriel.
Démonstration : c'est un sous-espace vectoriel, de l'ensemble des applications de E dans F.
L'application constante égale à 0 est linéaire.
On montre qu'une somme d'application linéaire est linéaire, ainsi que le produit par une constante.
2- Structure d'anneau de L(E)
Composée de deux applications linéaires.
Théorème :
On considère E,F et G trois espaces vectoriels.
Soient u∈L (E , F) et v ∈L(F , G) , alors v ∘u∈ L( E , G)
Démonstration : v ( u (α x+β y))=v (α u (x)+β u ( y)) car u est linéaire. Et :
v ( α u (x)+β u ( y))=α v( u ( x))+β v( u ( y))
Cas particulier important : F=E.
Dans ce cas, on note L(E), dont les éléments sont les endomorphismes de E.
La loi de composition est une loi de composition interne.
Propriété : (L (E),+ , ∘ ) est un anneau, non commutatif en général.
Démonstration : la composée est associative, possède un élément neutre l'identité notée Id E , est
distributive par rapport à l'addition.
Exemples
Dans K[X], la dérivée et la multiplication par X ne commutent pas.
Soit u(P)=P' et v(P)=XP
u ∘v (X)=u (X 2)=2X et v ∘u ( X)=v(1)=X
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3- Le groupe linéaire.
Propriété
Si u∈L (E , F) est bijective, alors u 1 est linéaire et bijective.
On dit que c'est un isomorphisme.
Dans le cas E=F, c'est un automorphisme.
1
1
Rappel : u ∘u=Id E u ∘ u =Id F
Démonstration :
Montrons que u 1 est linéaire. On doit montrer que u 1 (α x+β y)=α u 1 (x)+β u 1 (y ) .
On appelle a e b chacun des vecteurs et on montre que u(a)=u(b). Comme u est bijective, on obtient
le résultat.
Propriété générale
L'ensemble des éléments inversibles d'un anneau ( A, + , ×) forment un groupe pour la
multiplication, appelé le groupe des unités de l'anneau, noté UA .
Montrons que le produit de deux éléments inversibles d'un anneau est inversible.
On a : (ab)(b 1 a 1)=(b 1 a 1 )(ab)=1 A (car la multiplication est associative).
La multiplication est bien une loi de composition interne sur UA .
Elle est associative. Elle possède un élément neutre, 1A ( 1A appartient bien à UA ) et tous les
éléments admettent un inverse, par définition de UA .
Ce groupe est non commutatif en général.
Uℤ={+1, 1} Et UK [ X ] est l'ensemble des polynômes constants non nuls.
Soit l'anneau A=F(ℝ ,ℝ) . Les éléments inversibles pour la multiplication sont les fonctions qui ne
s'annulent jamais.
Définition
L'ensemble des éléments inversibles de L(E) est GL(E).
C'est le groupe linéaire.
C'est un groupe pour la loi de composition, non commutatif en général.
Le groupe est non commutatif dès que dim (E)≥2 .
Exemple : en dimension 2, une rotation ne commutent pas avec une symétrie en général.
La groupe linéaire contient l'identité Id E .
1
Il contient toutes les homothéties de rapport non nul. Si u( x)=λ x avec λ≠0 alors u 1 ( x)= x
λ
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IV- Projecteurs et symétries
1- Projecteurs
Ce sont des transformations très utiles, pour effectuer des approximations.
On applique les méthodes géométriques à des espaces de fonctions. C'est l'analyse fonctionnelle.
Définition
Soient E un espace vectoriel et F et G deux sous-espaces supplémentaires dans E.
E = F ⊕G
La projection sur F parallèlement à G, est l'application qui à un élément
unique x=x 1+x 2 , (x 1 , x2 )∈E2 , associe x 1 .
P∈ L(E) .
x qui s'écrit de façon
On doit vérifier qu'elle est linéaire.
Soit x=x 1+x 2 et y=y 1+y 2 . On considère α x+λ y .
α x+λ y=α x1+β y 1+α x 2+β y 2 avec α x1+β y 1 ∈F et α x2 +β y2 ∈G . Donc
p(α x+β y)=α p (x)+β p( y)
Remarque : Ker(p)=G et im(p)=F. Et on a :
E = Im( p ) ⊕ Ker ( p )
Théorème caractéristique
p∈L( E) est un projecteur si et seulement si p∘ p (x)=p(x ) . (p est idempotent)
Démonstration:
On démontre d'abord, le sens le plus facile.
Si p est un projecteur, on considère x=x 1+x 2 et donc : p( x)=x1 ⇒ p( p(x))=p( x 1)=x1=p (x ) .
Soit p une application linéaire telle que : p∘ p (x)=p(x ) .
On va démontrer que p est la projection sur im(p) parallèlement à Ker(p).
Démontrons que Im(p) et Ker(p) sont en somme directe.
–
–
On montre que leur intersection est vide. Soit x ∈Im (p)∩Ker ( p) , montrons que x=0E .
x ∈Im (p)⇒∃y , x=p( y) et x ∈Ker ( p)⇒ p (x )=0 ⇒ p( p ( y))=0 ⇒ p( y)=0⇒ x=0
On montre que leur somme est E. x=p(x)+x-p(x). p( x)∈Im(p) et x p (x)∈Ker ( p) car :
p( x p (x ))=p (x) p( p(x))=p( x) p( x)=0
Et la projection sur Im(p) parallèlement à Ker(p) associe à tout élément x de E, p(x).
Toute application linéaire qui vérifie p∘ p=p est une projection.
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Exemples :
Partie réelle, partie imaginaires, matrices symétriques et anti-symétriques, fonctions paires et
impaires.
–
Dans ℂ , considéré comme ℝ espace vectoriel. La projection sur les réels ℜ( z)
parallèlement aux imaginaires purs.
–
La projection de la fonction exponentielle sur le sous-espace vectoriel des fonctions paires
par rapport à l'espace vectoriel des fonctions impaires est la fonction ch. Si on inverse le rôle
de chaque sous-espace vectoriel on obtient sh.
2- Symétries.
Définition
Soient E un espace vectoriel et F et G deux sous-espaces supplémentaires dans E.
La symétrie par rapport à F parallèlement à G est l'application définie par : s(x)=x 1 x 2
s vérifie s ∘s=Id et donc s est bijective. C'est un automorphisme. s∈GL(E)
Théorème caractéristique : s∈L (E) est une symétrie si et seulement si s ∘s=Id .
Démonstration.
Il reste à démontrer la réciproque. Soit s∈L (E) telle que s ∘s=Id .
s+Id
est un projecteur.
2
s+Id E s+Id E s 2+2s+Id E s+Id E
p∘ p=
∘
=
=
=p
2
2
4
2
La formule du binôme s'applique (en particulier l'identité remarquable car s et Id commutent)
Soit p=
Im(p) et Ker(p) sont en somme directe.
s( x)+x
x s(x)
x=x 1+x 2 avec x 1=
et x 2=
et on a s( x)=x 1 x 2 .
2
2
s est bien la symétrie par rapport à F parallèlement à G.
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