Preuves
Chapitre 1
Techniques de preuves
6
Plan
1. D´efinitions
2. Techniques de preuves simples
3. Principe du bon ordre
4. Induction
5. Principe d’invariant
Lectures conseill´ees : MCS : chapitres 1, 2, et 5.
7
D´efinition : Une d´emonstration est une v´erification d’une proposition par
une s´equence de d´eductions logiques `a partir d’un ensemble d’axiomes.
8
Propositions
D´efinition : Une proposition est un ´enonc´e qui est soit vrai,soit faux.
Exemples :
I2 + 3 = 5. Proposition vraie.
I(8n2N)n2+n+ 41 est un nombre premier. Proposition fausse :
pour n= 40, on a n2+n+ 41 = 402+ 40 + 41 = 412.
I(Conjecture d’Euler, 1769) a4+b4+c4=d4n’a pas de solution
quand a,b,c,d2N+. Proposition fausse (Elkies, 1988).
Contre-exemple : a= 95800,b= 217519,c= 414560,d= 422481.
I(9a,b,c,d2N+)a4+b4+c4=d4. Proposition vraie.
9
I(8n2Z)(n2) )(n24). Proposition vraie.
I1=0)(8n2N)n2+n+ 41 est un nombre premier. Proposition
vraie.
I(8n2Z)(n2) ,(n24). Proposition fausse.
10
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
1
/
68
100%
