Introduction aux variables continues

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Introduction aux variables continues
I ) Lois Uniformes
1.1 Loi uniforme discrète
Rappelons que dire qu'une variable aléatoire suit une loi uniforme sur l'intervalle  c'est dire que
L'exemple typique est celui d'un dé bien équilibré.
Bien entendu, on peut modifier l'intervalle sur lequel on définit la loi : par exemple prendre
Ou 
1.2) Vers la loi uniforme continue
Imaginons l'expérience aléatoire suivante. On lance au hasard une flèche sur un rectangle en
supposant que chaque point de la cible puisse être atteint avec la même probabilité.
Si l'on appelle  la probabilité qu'un point soit atteint, comme il y a une infinité de points sur le
rectangle, la somme des probabilités serait infini (à supposer que l'ensemble des points du rectangle
soit dénombrable, on ferait une somme infinie de probabilités ne tendant pas vers 0 puisque égale à
une certaine valeur).
Un tel modèle ne convient donc pas.
On peut par contre imaginer un autre modèle basé sur les surfaces.
On peut par exemple poser comme modèle que dans ce type de configuration la probabilité que la
flèche tombe à l'intérieur du rectangle grisé est de 1/4.
1.3) Loi uniforme continue sur le segment [0,1]
On considère sur le segment [0,1] une subdivision régulière en  intervalles.
On suppose qu'en chacun des points on ait placé un aimant avec 
On lance un objet métallique de façon aléatoire. Il va se placer sur l'un des points aimantés de façon
équiprobable.
Si l'on appelle  la variable aléatoire indiquant la valeur du point sur lequel l'objet se place, on a
0

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Et l'on a 
On considère un nombre réel  de l'intervalle 
On se propose de déterminer la probabilité de l'évènement 
On a la situation suivante :
Et 
On a 
Donc par incompatibilité 
Posons 
Donc 
On a 
Ce que l'on peut écrire 
On a 
Donc 
Et donc 
On en déduit que
0

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Et donc quand  tend vers +∞,  tend vers 0.
Ceci nous conduit à généraliser la notion de loi uniforme sur le segment [0,1].
Si  suit une loi uniforme sur [0,1], alors
On reconnaît dans l'écriture , la fonction de répartition.
Cette fonction est habituellement définie sur .
Pour  comment peut-on définir 
Compte tenu de l'expérience aléatoire, l'évènement  est impossible pour 
On peut donc poser 
L'objet métallique ne pouvant aboutir que dans l'intervalle  l'évènement  est l'évènement
certain si  On en déduit que 
On peut donc "définir" la fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur
l'intervalle  par : 
On a alors   
Cette fonction est évidemment continue.
Elle est de classe  sur chacun des intervalles où elle est définie, mais n'est pas dérivable en 0 et en 1.
Du fait de la continuité, on pourrait écrire aussi :
Dérivons cette fonction sur chacun des intervalles où elle est définie (en prenant la première forme).
On obtient une nouvelle fonction  définie sur  par :
Cette fonction est continue sauf en 0 et 1.
Sa représentation graphique est la suivante :
1
1

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L'aire du carré est égale à 1.
On a 
On a  
Soit  un point du segment [0,1] sur l'axe des abscisses.
On a le schéma suivant :
L'aire du rectangle en jaune est égale à  et donc à 
1.4) Loi uniforme continue sur un segment 
Considérons la fonction φ définie sur  par
On a  et 
Soit  une variable aléatoire qui suit une loi uniforme continue sur [0,1] et 
On veut déterminer la fonction de répartition de  c'est-à-dire  pour tout 
On a 
Si  alors 
Et donc 
On en déduit que si  
On en déduit que si  
1
1

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On en déduit que si  on a 
On peut donc "construire une fonction de répartition " pour la variable  de la façon suivante :
Cette fonction est continue sur , de classe  sur chacun des intervalles sur lesquels elle est définie,
mais n'est pas dérivable en  et en 
En dérivant par intervalle la fonction, on obtient une fonction  définie sur , continue sauf en  et 
On a
Sa représentation graphique est similaire à celle obtenue pour la fonction 
Comme  c'est une fonction positive telle que
Et  
1.5) Utilisation d’une loi uniforme pour construire une autre loi
Considérons la construction géométrique suivante.
On considère le plan rapporté à un repère dans lequel on considère les points
Sur le segment  on prend un point  d’abscisse  On considère le point  du segment 
d’abscisse . La droite   coupe l’axe des abscisses en un point  d’abscisse 
Calculons  en fonction de 
L’équation de la droite  est (c’est la première bissectrice).
Donc le point  a pour coordonnées 
L’équation de la droite 
 est de la forme 
O
J
A
I
M’