Introduction aux variables continues

Introduction aux variables continues
I ) Lois Uniformes
Rappelons que dire qu'une variable aléatoire suit une loi uniforme sur l'intervalle 1, , c'est dire que
Ω 1, 1
1, , L'exemple typique est celui d'un dé bien équilibré.
Bien entendu, on peut modifier l'intervalle sur lequel on définit la loi : par exemple prendre
Ω 0, 1
Ou
Ω 2, 1
1.1 Loi uniforme discrète
1.2) Vers la loi uniforme continue
Imaginons l'expérience aléatoire suivante. On lance au hasard une flèche sur un rectangle en
supposant que chaque point de la cible puisse être atteint avec la même probabilité.
Si l'on appelle la probabilité qu'un point soit atteint, comme il y a une infinité de points sur le
rectangle, la somme des probabilités serait infini (à supposer que l'ensemble des points du rectangle
soit dénombrable, on ferait une somme infinie de probabilités ne tendant pas vers 0 puisque égale à
une certaine valeur).
Un tel modèle ne convient donc pas.
On peut par contre imaginer un autre modèle basé sur les surfaces.
On peut par exemple poser comme modèle que dans ce type de configuration la probabilité que la
flèche tombe à l'intérieur du rectangle grisé est de 1/4.
On considère sur le segment [0,1] une subdivision régulière en intervalles.
1.3) Loi uniforme continue sur le segment [0,1]
0
1
2
……
……
1
1
On suppose qu'en chacun des points on ait placé un aimant avec 0.
On lance un objet métallique de façon aléatoire. Il va se placer sur l'un des points aimantés de façon
équiprobable.
Si l'on appelle la variable aléatoire indiquant la valeur du point sur lequel l'objet se place, on a
1
1
Ω , … ,1
1
On considère un nombre réel de l'intervalle 0,1 .
On se propose de déterminer la probabilité de l'évènement ! .
On a la situation suivante :
Et l'on a
0
Si
Et
1
2
Si 0 ! $
1
1
1
, alors ! 0
1
1
! ! 1, alors il existe deux entiers 01 1 tels que
1! $1!1
On a
Donc par incompatibilité
Posons
Donc
On a
Ce que l'on peut écrire
On a
Donc
Et donc
On en déduit que
1
!$
1
2
! 3 3 … 3 ! 1
1 4 5667668
termes
:
:
! :
! :
1
!$
1 ! $
0!:$
1
2
0 ! ! $
1
1
Cette inégalité reste vraie sur l' intervalle @0, A . En effet D
1
1
Si 0 ! $ , on a vu que ! 0 et donc 0 ! ! $ .
Et donc quand tend vers +∞, ! tend vers 0.
Ceci nous conduit à généraliser la notion de loi uniforme sur le segment [0,1].
Si suit une loi uniforme sur [0,1], alors
0,1 , ! .
On reconnaît dans l'écriture ! , la fonction de répartition.
Cette fonction est habituellement définie sur ℝ.
Pour ! 0, comment peut-on définir ! ?
Compte tenu de l'expérience aléatoire, l'évènement ! est impossible pour ! 0.
On peut donc poser
! 0, ! 0
L'objet métallique ne pouvant aboutir que dans l'intervalle 0,1 , l'évènement ! est l'évènement
certain si 1. On en déduit que
1, ! 1
On peut donc "définir" la fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur
l'intervalle 0,1 par :
H ! On a alors
0 si
$0
H I si 0 ! ! 1J
1 si
1
Cette fonction est évidemment continue.
Elle est de classe K L sur chacun des intervalles où elle est définie, mais n'est pas dérivable en 0 et en 1.
Du fait de la continuité, on pourrait écrire aussi :
0 si
!0
H I si 0 ! ! 1J
1 si
M1
Dérivons cette fonction sur chacun des intervalles où elle est définie (en prenant la première forme).
On obtient une nouvelle fonction N définie sur ℝ par :
0 si
$0
N I1 si 0 ! ! 1J
0 si
1
Cette fonction est continue sauf en 0 et 1.
Sa représentation graphique est la suivante :
1
1
3
L'aire du carré est égale à 1.
On a
lim N 0
OPQR
On a
T
lim N 0
OPSR
SR
QR
L
N U T 1 U V
Soit un point du segment [0,1] sur l'axe des abscisses.
On a le schéma suivant :
L
V
1
1
1
L'aire du rectangle en jaune est égale à et donc à ! .
1.4) Loi uniforme continue sur un segment W, X
Considérons la fonction φ définie sur ℝ par
Y Z [ [
On a Y0 [ et Y1 Z.
Soit une variable aléatoire qui suit une loi uniforme continue sur [0,1] et \ Y.
On veut déterminer la fonction de répartition de \, c'est-à-dire \ ! 1 pour tout 1 ℝ.
On a
1[
\ ! 1 ]Z [ [ ! 1^ !
Z[
Si 1 ! [, alors
1[
!0
Z[
Et donc
1[
!
0
Z[
On en déduit que si 1 ! [,
\ ! 1 0
1[
1[
1[
! 1, on a !
.
Si 0 $
Z[
Z[
Z[
1[
La condition 0 $
! 1 donne 1 [ et 1 [ ! Z [, donc 1 ! Z.
Z[
On en déduit que si [ $ 1 ! Z,
1[
\ ! 1 Z[
1[
1[
En`in si
M 1, alors !
1.
Z[
Z[
4
1[
M 1 est équivalente à 1 [ M Z [, et donc 1 M Z.
Z[
On en déduit que si 1 M Z, on a
\ ! 1 1
On peut donc "construire une fonction de répartition " pour la variable \ de la façon suivante :
0
si
1$[
1[
\ ! 1 b
si [ ! 1 ! ZJ
Z[
1
si
1Z
Cette fonction est continue sur ℝ, de classe K L sur chacun des intervalles sur lesquels elle est définie,
mais n'est pas dérivable en 1 [ et en 1 Z.
En dérivant par intervalle la fonction, on obtient une fonction c définie sur ℝ, continue sauf en [ et Z.
On a
0
si
1$[
1
c1 d
si [ ! 1 ! ZJ
Z[
0
si
1Z
Sa représentation graphique est similaire à celle obtenue pour la fonction N.
Comme N, c'est une fonction positive telle que
lim c lim c 0
La condition
Et
T
SR
QR
OPQR
OPSR
f
cU T cU e
1
Z[
f
e
1
1.5) Utilisation d’une loi uniforme pour construire une autre loi
Considérons la construction géométrique suivante.
On considère le plan rapporté à un repère dans lequel on considère les points
g0; 0, i1; 0, j0; 1 et k1; 1.
Sur le segment gi , on prend un point l d’abscisse [. On considère le point lm du segment gk
d’abscisse . La droite jln coupe l’axe des abscisses en un point lmm d’abscisse Z.
A
J
M’
O
l[; 0
I
lnn Z; 0
Calculons Z en fonction de [.
L’équation de la droite gk est o (c’est la première bissectrice).
Donc le point lm a pour coordonnées [, [.
L’équation de la droite jln est de la forme o p .
5
Cette droite par j, donc
1
pq0
Donc
Cette droite passe par lm donc
On en déduit que
1
[ [p [p 1
La droite jln a donc comme équation :
p
[1
[
[1
1
[
Le point lmmest un point de cette droite de coordonnées Z; 0.
On a donc
[1
0
Z1
[
Donc
[
Z
1[
Posons Y avec 0,1.
1
On a
1
Y n 1 s
Cette fonction est positive, donc la fonction φ est strictement croissante sur [0,1[.
On a
Y0 0
lim Y ∞
o
OPSR
Remarquons que l’on peut tirer [ en fonction de Z dans l’égalité obtenue.
On a
[
Z
Z
u Z1 [ [ u Z Z[ [ u Z Z 1[ u [ 1[
Z1
En utilisant la fonction φ, on peut écrire que
Z
Y QL Z Z1
On suppose maintenant que la longueur gl est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur
0; 1. C’est-à-dire que
0 si
1$0
! 1 I 1 si 0 ! 1 ! 1J
1 si
1M1
n
Quand [ 0,1, on a gl [ et gl Z.
Quand gl varie, gln varie aussi. On appelle \ la variable aléatoire correspondant à gln .
On a
\
1
Soit un nombre réel .
Si $ 0, on a par définition
6
Pour M 0, on a
On a évidemment
\ ! 0
\ ! ]Y QL \ ! Y QL ^ v !
$1
1
0!
Donc
\ ! v !
On en déduit la loi de probabilité de\ D
w
1
w
1
1
0
si $ 0
J
\ ! x si M 0
1
Nous retrouvons une fonction continue sur ℝ, de classe K L sur chacun des intervalles ou elle est
définit, mais non dérivable en 0.
Appelons H cette fonction et N la fonction définit comme étant la dérivée de H sur chacun des
intervalles ∞, 0 et 0, ∞.
On a
0
si $ 0
J
1
N I
si 0 ! s
1
Etudions cette fonction.
C’est évidemment une fonction positive discontinue en 0. On a
lim N lim N 0
OPQR
OPSR
4
6
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
[0
2
La courbe représentée est celle de la fonction N pour M 0.
Que représente l'aire du domaine colorié ?
Par définition, la fonction N étant positive, cette aire est égale à :
e
T NU
V
8
10
12
7
Or H est une primitive de N sur ℝ, donc
e
T NU H[ H0 H[ \ ! [
V
Comme la fonction N est nulle sur ∞, 0, on a
V
e
Et donc
V
T NU 0
QR
e
T NU T NU T NU H[ \ ! [
QR
QR
V
Que se passe t'il quand [ tend vers +∞ ?
On a alors
e
[
1
ePSR [ 1
lim T NU lim H[ lim
ePSR QR
Donc
T
ePSR
SR
QR
NU 1
La fonction N permet une lecture graphique de la probabilité. Que représente-t-elle plus précisément?
Remarquons d'abord que si [ et Z sont deux nombres réels tels que [ ! Z, on a
f
On a en effet
T N U HZ H[ \ ! Z \ ! [ [ $ \ ! Z
e
On a donc
[ $ \ ! Z [ $ \ y \ ! Z
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz
zzzzzzzzzzzzzzzz
[
$ \ y \ ! Z
$ \ ! Z [
D'après les lois de Morgan, on a :
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz
zzzzzzzzzz
[
[ $ \ 3 \
$ \ y \ ! Z zzzzzzzzzz
! Z \ ! [ 3 \ Z
Ces deux évènements sont incompatibles.
On a donc
zzzzzzzzzzzzzzzz
][
$ \ ! Z^ \ ! [ \ Z
\ ! [ 1 \ ! Z
H[ 1 HZ
Et donc
[ $ \ ! Z 1 ]H[ 1 HZ^ HZ H[
Prenons Z [ {.
On a
[ { $ \ ! [ { H[ { H[ {
La "valeur moyenne" de la probabilité sur l'intervalle [ {, [ { peut être définie par la valeur de
la probabilité entre [ { et [ { divisée par la longueur de l'intervalle : 2{.
On a
[ { $ \ ! [ { H[ { H[ {
2{
2{
1 H[ { H[ H[ H[ {
2
{
8
1 H[ { H[ H[ { H[
|
}
2
{
{
La limite de cette quantité quand { tend vers 0 est égale à N[ (si [ ~ 0, puisque H n'est pas dérivable
en 0).
N[ apparaît donc comme la valeur moyenne de la probabilité sur un intervalle "très petit" de centre
[ D cela correspond à la notion physique de densité.
C'est pour cela que la fonction N est appelée fonction densité de probabilité.
Nous pouvons maintenant généraliser la notion.
II) Variables aléatoires continues ou à densité
2.1) Fonction densité de probabilité
Reprenons les propriétés rencontrées sur les exemples de la première partie.
La fonction N du dernier exemple était :
→ définie sur ℝ.
→ continue sauf en un point (mais celle des lois uniformes avait deux points de discontinuité)
→ positive
→ de limite nulle en ∞ et ∞.
→ et enfin, telle que
T
SR
QR
NU 1
Nous savons que la condition "être de limite nulle en ∞ et +∞ " est nécessaire pour que l'intégrale
généralisée existe.
L'existence de l'intégrale généralisée implique donc que la fonction N soit de limite nulle en ∞ et en
+∞.
Nous pouvons donc donner la définition suivante :
Définition :
On dit qu'une fonction N définie sur ℝ est une fonction densité de probabilité si elle possède
les propriétés suivantes :
→ Elle est positive
→ Elle est continue sauf éventuellement en un nombre fini de points.
→ On a de plus
T
SR
QR
Exemple 1 :
La fonction N définie par :
N 
est une fonction densité de probabilité.
Elle est en effet positive, continue sauf en 0.
On a
0
0 QO
NU 1
si
si
$ 0J
M0
9
V
T NU 0
QR
€
On a
T 0 QO U 0 QO
V
On a donc
€
V
0 Q€ 1
lim 0 Q€ 1 1
€PSR
Et donc
T
SR
V
Donc
T
NU 1
SR
QR
NU 1
Exemple 2 :
On considère la fonction définie sur ℝ par
[ 3
si
3 ! ! 2
N I3 [
si
2!!3 J
0
sinon
Peut-on trouver [ pour que N soit une densité de probabilité ?
La fonction N est évidemment continue sauf éventuellement en 3, 2 ,2 et 3.
La positivité n'est pas facile à vérifier sans connaître [.
Pour déterminer [, le plus facile est d'utiliser la condition sur l'intégrale.
On a
Q‚
On a donc
T
SR
R
On doit avoir
Donc
Donc
La fonction N s'écrit donc :
T NU T
R
Qs
SR
‚
NU 0
s
‚
NU T [ 3U T 0U T 3 [U
Q‚
Qs
s
[
[
3„ ƒ3 „
2
2 s
Q‚
9[
9[
2[ 6 9 9 6 2[
2
2
9[
9[
2[ 6 99
6 2[
2
2
6 5[
ƒ
s
Qs
s ‚
6 5[ 1
5[ 5
[
1
3
si
3 ! ! 2
N I3 si
2!!3 J
0
sinon
10
Il reste à montrer qu'elle est positive.
La fonction ˆ 3 est croissante sur 3; 2 .
On a
3 3 0
Donc la fonction est positive sur 3, 2 .
La fonction ˆ 3 est décroissante sur [2,3].
On a
33
0
Donc la fonction est positive sur 2,3 .
La fonction N est donc positive sur ℝ.
C'est une densité de probabilité si [ 1.
On considère une fonction densité de probabilité N.
2.2) Fonction de répartition ; variable à densité
L'intégrale impropre T
SR
QR
NU existe.
‹
Donc 1 ℝ, l'intégrale T NU existe.
QR
Soit H la fonction définie sur ℝ par :
‹
1 ℝ, H1 T NU
QR
Quelles sont les propriétés de cette fonction H ?
Cette fonction est continue et dérivable en tout point où N est continue. Elle est continue mais non
nécessairement dérivable au point de discontinuité de N.
Soit [ un tel point et i un intervalle contenant [ tel que dans i, il n'y ait aucun autre point de
discontinuité de N. Soit { un nombre réel positif tel que [ {, [ { Œ i.
On a
H[ { T
eQ
QR
NU
La fonction N étant continue sur l'intervalle [ {, [, on a
lim T
e
PV eQ
NU 0
lim H[ { H[
Et donc
PV
On a de même
La fonction N étant continue sur l'intervalle [, [ { , on a
lim T
eS
Et donc
PV e
On a également
PV
On a
NU 0
lim H[ { H[
‹
lim H1 lim T N U 0
OPQR
OPQR QR
11
lim H1 T
‹PSR
SR
QR
NU 1
La fonction N étant positive, la fonction H est croissante.
A partir de H, on définit une variable aléatoire par sa loi de probabilité :
1 ℝ, ! 1 H1
On dit que H est la fonction de répartition de , Nétant la densité de probabilité de .
On dit donc que est une variable à densité ou une variable continue.
Définition
On dit qu'une variable définie sur ℝ est une variable à densité ou une variable continue si sa
loi de probabilité est donnée par
‹
1 ℝ, ! 1 H1 avec H1 T NU
QR
La fonction N étant une fonction densité de probabilité.
La fonction H est la fonction de répartition de .
Exemple :
On considère la variable aléatoire à densité dont la densité de probabilité est la fonction N:
3
si
3 ! ! 2
N I3 si
2!!3 J
0
sinon
Déterminer la fonction de répartition de .
Donner ! 1, puis v ! sw.
Ž
On a
! 3, H 0
O
H T N1U1
QR
1s
s
9
3,
1
2 , H T
3 U1 ƒ 31„ 3 2
2
2
Q‚
Q‚
O
Qs
O
O
Qs
2,2 , H T 1 3U1 T 0U1 T 1 3U1 Q‚
Qs
Qs
s
Q‚
O
2,3 , H T 1 3U1 T 0U1 T 3 1U1
Q‚
Qs
1
1
ƒ31 „
2
2 s
s O
1
s
3 4
2
2
s
7
3 2 2
‚
O
s
‚
M 3, H T N1U1 T N1U1 T N1U1 1
QR
On a donc
‚
QR
1
2
12
1
2
3
3
3 1 3 s 7
7
! H 3 q 2
2
2 2 2
2 16
! 1 H1 2.3) Variable continue définie à partir de la fonction de répartition
Dans de nombreuses situations, comme celles des exemples de la première partie, la loi de probabilité
d’une variable est directement connue à partir d’une fonction de répartition.
Encore faut-il savoir à quelles conditions une fonction peut être considérée comme une fonction de
répartition.
Nous avons donné quelques pistes dans les exemples précédents et dans la définition d’une densité de
probabilité.
La fonction de répartition est liée à la fonction densité de probabilité dont elle est une primitive. Cette
fonction densité doit être positive, continue sauf en un nombre fini de points.
La fonction de répartition devra donc être de classe K L sauf en un nombre fini de points. Elle devra
être croissante.
Nous savons que
T
SR
QR
NU 1
lim H 1
Cela donne
OPSR
lim H 0
Mais aussi :
OPQR
On peut ainsi donner une définition d’une fonction de répartition.
Définition
On considère une fonction H possédant les propriétés suivantes ;
La fonction H est continue et croissante sur ℝ, de classe K L sauf éventuellement en un
nombre fini de points. On a de plus :
lim H 0
OPQR
lim H 1
OPSR
Alors la fonction H peut être considérée comme la fonction de répartition d’une variable
continue dont la loi de probabilité est donnée par :
H ! Sur chacun des intervalles sur lesquels H est K L , on peut déterminer la dérivée H n .
On obtient ainsi une fonction N continue sur ℝ, sauf aux points où la fonction H n’est pas dérivable.
Exemple 1
On considère la fonction H définie par :
0
H I s
1
si
si
si
!0
0 ! ! 1J
M1
13
Cette fonction est croissante sur ℝ, continue, de classe K L sauf éventuellement en 0 et 1.
On a bien
lim H 0
OPQR
lim H 1
OPSR
On peut donc associer à H une variable dont H est la fonction de répartition.
On aura par exemple :
! 2 H2 0
1
1
1
! H 2
4
2
! 3 H3 1
On peut également associer à H une fonction densité de probabilité.
En fait plusieurs choix sont possibles pour la construction de N suivant la façon dont on place les
bornes aux points de discontinuité.
Entre 0 et 1, la fonction N prend la valeur 2, avant 0 et après 1, elle est nulle.
En 0, pas de problème : elle est continue car 2 q 0 0.
En 1, on a deux choix :
0 si
!0
0 si
!0
ou N I2 si 0 ! ! 1J
N I2 si 0 ! $ 1J
0 si
M1
0 si
1
En pratique cela ne change rien car la fonction N n’intervient que dans le calcul d’intégrales pour
lesquelles la discontinuité en 1 ne pose pas de problème particulier.
Exemple 2 :
On considère la fonction H définie par :
H 
0
1 0 QO
si
$ 0J
sinon
Cette fonction est continue sur ℝ puisque
1 0 QV 1 1 0
Elle est constante sur ∞, 0.
Pour M 0, on a
H n 0 QO
Donc la fonction H est croissante sur ℝ.
Elle est K L sauf en 0.
On a bien
lim H 0
Mais aussi
OPSR
lim H 1
OPSR
On peut donc associer à H une variable aléatoire dont elle est la fonction de répartition.
On aura par exemple
! 1 H1 0
! 1 H1 1 0 QL
La définition de H facilite le choix pour N: on prendra
0
si
$ 0J
N  QO
0
sinon
14
Soit une variable aléatoire associée à une fonction de répartition H.
Soit N une densité de probabilité de .
On a
2.4) Probabilités d’évènements particuliers
O
ℝ, ! H T N1U1
QR
zzzzzzzz
! 1 ! 1 H
On aura donc
1 H
Donc
[, Z, avec [ ! Z, [ $ ! Z [ $ y ! Z
En utilisant les lois de Morgan et en reprenant la démonstration du 1.5, on obtient :
[ $ ! Z HZ H[
SR
On a
SR
Donc
SR
1
1
’ A[ ; [ A ”[•
“L
’ [ “L
1
1
1
1
$ ! [ — lim [ $ ! [ PSR
D’après les axiomes de Kolmogorov
–’ [ “L
1
1
$ ! [ [
On a donc
On en déduit en particulier que :
1
1
lim H [ H [ PSR
H[ H[ par continuité de H
0
[ ℝ, [ 0
! [ $ [
[ M [
[ $ ! Z [ ! ! Z
[ $ $ Z
[ ! $ Z
2.5) Loi d’une variable ˜ ™š
On considère une variable aléatoire dont on connaît la loi de probabilité (c’est-à-dire la fonction de
répartition).
15
H ! Soit
Soit N une fonction densité de .
On considère une fonction φ, dérivable sur ℝ et la variable \ définie par \ Y.
On veut déterminer la loi de \.
Premier cas : la fonction φ est une bijection
Dans ce cas comme φ est une fonction dérivable, elle est strictement monotone.
Nous la supposerons croissante (la démonstration est à peu de choses près identique si cette fonction
est décroissante).
On cherche la fonction de répartition › de \.
On aura
›o \ ! o
Donc
›o Y ! o Y QL ]Y^ ! Y QL o
Ce qui donne
›o ] ! Y QL o^ HY QL o
Cette formule est très pratique parce qu’elle permet de déterminer une densité de probabilité de \.
On peut écrire « globalement » (c’est-à-dire sans se préoccuper des points de discontinuité éventuels
de N, que H n N.
Appelons c la densité de \ et posons de la même façon › n c.
On aura
co H]Y QL o^ ]Y QL o^ N]Y QL o^
n
Posons
C’est-à-dire
On a
Rappelons ici la dérivée de Y QL .
On sait que
n
Y QL o
o Y
co ]Y QL o^ N
n
Y QL ]Y^ Donc d’après la formule de dérivation des fonctions composées :
Y QL n ]Y^ q Y n 1
Donc
]Y QL o^ q Y n 1
Comme la fonction Y est strictement croissante, on peut considérer que ℝ, Y n ~ 0 (ce peut ne
pas être vrai en un nombre fini de points dans lesquels la dérivée s’annule sans changer de signe).
On aura donc
1
n
]Y QL o^ n
Y Et donc
N
co n
Y Exemple
Soit œ V,L et \ 0 € .
n
16
On a donc ici Y 0 O .
On a
\ ! o 0 € ! o ! lno
Si o ! 0, l’évènement 0 € ! o est impossible et donc
\ ! o 0
Si o 0,1 , alors lno ! 0 et donc
\ ! o 0
Si o 1, 0 , alors lno 0,1 et donc
! lno ln o
Donc
\ ! o ln o
Si o M 0, on a lno M 1 et donc ! lno 1, donc
\ ! o 1
On a donc
0
si
o!1
›o Ilno si 1 ! o 0J
1
si
oM0
La fonction de densité est donnée par
1
si
1 ! o ! 0J
co Io
0 sinon
On a bien
1
1
N
O si N ~ 0
Ym 0
o
Deuxième cas : la fonction φ n’est pas une bijection
La stratégie est globalement la même, mais les résultats sont moins systématiques.
En considérant la même variable que précédemment, cherchons la loi de probabilité de ž s .
On cherche ž ! Ÿ pour tout Ÿ ℝ.
Il est clair que si Ÿ $ 0, ž ! Ÿ et donc ž ! Ÿ 0
Si Ÿ M 0, on peut écrire
ž ! Ÿ s ! Ÿ ]√Ÿ ! ! √Ÿ^ ] ! √Ÿ^ ] ! √Ÿ^
Ÿ 0, on a
] ! √Ÿ^ 0
On en déduit que
ž ! Ÿ ! √Ÿ
Si Ÿ 0,1 , on a √Ÿ 0,1 et donc
] ! √Ÿ^ √Ÿ
Donc
ž ! Ÿ √Ÿ
Si Ÿ M 1, on a √Ÿ M 1 donc
] ! √Ÿ^ 1
Donc
ž ! Ÿ 1
On a donc
17
Une fonction densité sera
On a encore
0
¢Ÿ ž ! Ÿ I√Ÿ
1
1
{Ÿ I2√Ÿ
0
si
sinon
si
si
si
Ÿ!0
0 ! Ÿ ! 1J
ŸM1
0 $ Ÿ ! 1J
N
1
1
pour 0 $ Ÿ ! 1
n
Y 2 2√Ÿ
III) Espérance et variance
3.1) Discrétisation d’une variable uniforme continue
La discrétisation d’une variable continue consiste à construire une variable discrète à partir d’une
variable continue.
Les tableurs par exemple ne contenaient jusqu’à peu qu’une fonction « aléatoire » : la fonction ALEA,
qui a chaque appel retourne un nombre compris entre 0 et 1 selon une loi uniforme continue.
En Turbo-Pascal, la fonction RANDOM a le même effet.
Il est vrai qu’en Turbo-Pascal comme maintenant sur les tableurs, on trouve des fonctions retournant
des valeurs suivant une loi uniforme discrète, mais ces valeurs sont des nombres entiers.
Pour simplifier prenons l’exemple du dé.
Si suit une loi uniforme continue sur [0,1], nous avons vu qu’en prenant Z 6 et [ 0, la variable \
définie par
\ Z [ [ 6
suit une loi uniforme continue sur 0,6 .
Considérons la variable ž définie par
ž 01\ 1
Déterminons la loi de ž.
Comme \ prend ces valeurs entre 0 et 6, on a
0!\$6
Donc
0 ! 01\ $ 6
On a plus précisément
01\Ω ”0,1,2,3,4,5•
Donc
žΩ ”1,2,3,4,5,6•
On a
ž 01\ 1 01\ 1
1 ! \ $ H H 1
1
6
6
1
6
18
La variable ž suit donc une loin uniforme discrète sur ”1,2,3,4,5,6•.
On considère une variable aléatoire associée à une fonction densité de probabilité N nulle pour tout
extérieur à l’intervalle 0,1 , continue sur l’intervalle [0,1[.
On définit une variable aléatoire \ par
1
\ ! $
, ”0, … , 1•
On a
1
1
\Ω 0, , … ,
On a
3.2) Notion d’espérance mathématique d’une variable à densité
SL
1
! $
T
NU
1
A.
La fonction N étant continue sur 0,1 , elle est continue sur @ ,
Elle est donc bornée sur cet intervalle. Soit p et l les bornes.
On a d’après le théorème de la moyenne :
SL
On a donc
1
p !T
p ! T
NU !
SL
1
l
NU ! l
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une valeur £ de l’intervalle ¤ ,
tel que
Donc
T
T
SL
SL
On a par continuité de N pout assez grand
Donc
On en déduit que
On a
T
NU 1
N£ NU ¦
1 N N£ ¦ N SL
NU N£ 1 \ ¦ N QL
§\ ¨ \ “V
¥,
SL
19
QL
Donc
§\ ¦ ¨
“V
Nous admettrons que pour assez grand
1
N §\ ¦ §
Comment peut-on interpréter §\ pour assez grand ?
0
1
o N
2
1
N représente l'aire d'un rectangle.
Quand P ∞, on admettra que cette somme d’aires à pour limite :
Pour tout ,
1
L
T NU
V
Comme la fonction N est nulle en dehors de 0,1 , on a :
§\ ¦ T
Ceci nous conduit à poser la définition suivante :
SR
QR
NU
Définition
Soit une variable aléatoire dont la fonction N est une densité de probabilité.
Si l’intégrale ©QR NU est absolument convergente, on pose
SR
§ T
SR
QR
N U
Le nombre § est alors appelé espérance mathématique de la variable .
Exemples : Calcul de l’espérance pour les exemples déjà vus plus haut.
Remarque :
L’espérance n’existe pas toujours : il suffit pour cela que l’intégrale ne soit pas absolument
convergente et plus simplement encore qu’elle ne soit pas convergente.
Exemple :
On considère la fonction N définie sur ℝ par :
si $ 1
0
J
N I [
si M 1
√
Trouver [ pour que N soit une densité de probabilité d’une variable aléatoire .
20
Montrer que n’admet pas d’espérance.
La fonction N est continue sauf éventuellement en 1. Si [ 0, elle est positive.
Examinons la condition sur l’intégrale.
On a
L
ª
On a
On a donc
T N U 0
QR
ª
T N U T [
L
L
T
Q
‚
s U
SR
[
0
N I 1
2√
On a donc
On a sous réserve de convergence
§ T
V
Or
Et
SR
L ª
sA
L
N U 2[
L
On en déduit que
[ @
Q
1
2
si
si
SR
QR
2
[|
2}
«o
$1
J
M1
N U
T N U 0
QR
1
U
2 √
Or cette intégrale diverge (fonction de Riemann donnant une intégrale divergente).
T
L
NU T
SR
L
3.3) Moment d’ordre ¬ d’une variable aléatoire à densité
Définition
Soit une variable aléatoire dont la fonction N est une densité de probabilité.
Soit un entier supérieur ou égal à 1
Si l’intégrale ©QR NU est absolument convergente, on pose
SR
p T
SR
QR
N U
Le nombre p est alors appelé le moment d’ordre de la variable .
L’espérance mathématique est le moment d’ordre 1.
On considère une variable de densité N et \ Y, φ étant une fonction dérivable sur ℝ.
Nous démontrerons le théorème dans le cas où φ est une bijection strictement croissante de ℝ sur ℝ.
Nous avons vu alors que la densité de probabilité c de \ est donnée par la formule :
3.4) Le théorème du transfert
21
co avec Y QL o.
On supposera que l’espérance de existe.
On a
§ T
Si elle existe l’espérance de la variable \ s’écrit
N
Y n SR
QR
§\ T
NU
SR
QR
ocoUo
On procède au changement de variable Y QL o.
Comme Y est une bijection strictement croissante sur ℝ, on a
lim Y ∞
OPQR
lim Y ∞
OPSR
On a également
Uo Y n U
SR
N n
§\ T Y n
Y U T YNU
Y QR
QR
On généralise ce résultat à toute fonction Y telle que l’intégrale généralisée ci-dessus existe.
On a donc
Théorème
Soit une variable aléatoire de densité N. Soit Y une fonction définie sur ℝ. On considère la
variable aléatoire \, définie par, \ Y.
Si l’espérance mathématique de \ existe, on a
SR
On a donc
§\ §]Y^ T
SR
QR
YNU
Remarquons que ce théorème permet de déterminer l’espérance mathématique de \ sans connaître
sans fonction de densité.
3.4) Variance et écart-type
Définition
Soit une variable aléatoire de densité N, admettant une espérance mathématique § p.
On appelle variance de l’espérance mathématique de la variable \ ps si elle existe.
On a donc \ Y avec Y ps
Si elle existe, cette espérance s’écrit :
§ p
Donc sous réserve de convergence, on a
s
T
SR
QR
ps NU
22
­ T
SR
ps NU
QR
SR
Remarquons que si cette intégrale converge, on a également la convergence de l’intégrale suivante :
T
s NU
QR
ps N ® s N
En effet
SR
Si la variance existe, on peut donc écrire :
­ T
SR
ps NU
QR
SR
T
s 2p ps NU
QR
SR
Or
T
QR
NU 2p T
s
T
SR
QR
SR
NU p T
s
NU § p
SR
QR
NU
QR
SR
T
QR
Donc
NU 1
­ T
SR
NU 2p p
QR
SR
T
QR
s
s NU ps
s
s
­ § s §s
On retrouve la formule de Koenig-Huyghens.
Formule que l’on peut écrire :
Théorème
Soit une variable à densité admettant une espérance et une variance, alors la variable s
admet également une espérance. Et l’on a
­ § s §s
Définition
Si ­ existe, on appelle écart-type de la quantité notée ¯ définie par :
3.5) Variables centrées réduites
¯ «­
Théorème et définition
Soit une variable à densité N admettant une espérance et une variance. On notera p § et ¯ ¯. Soit la variable ° définie par
23
° p
¯
On a § ° 0 et ­ ° 1.
° est la variable centrée réduite associée à .
pN ® N
Et que ¯ est une constante, si § existe, § ° existe.
On a d’après le théorème du transfert :
SR
p
°
§ T
NU
¯
QR
Ce qui donne d’après les propriétés de l’intégrale :
p̄ SR
1̄ SR
§ ° T NU T NU
Comme l’on a
1̄
0
De même si ­ existe, ­ existe car
°
On a
Or
Donc
­
°
QR
p
p̄
QR
q1
ps ® s
SR
SR
p s
p s
­ |
}
T v
w NU
¯
¯
QR
SR
1
ps NU
T
s
¯
QR
1 SR
s T ps NU
¯ QR
1
s ­
¯
­ ]¯^ ¯ s
s
­ ° 1 s
¯ 1
¯s
3.6) Quelques propriétés de l’espérance et de la variance
Théorème
Soit une variable de densité N telle que § et ­ existent. Soient [ et Z deux réels
quelconques.
Soit \ [ Z. Alors §\ et ­\ existent et l’on a
§\ §[ Z [§ Z
­\ ­[ Z [s ­
L’existence de §\ et ­\ provient du fait que
[ Z ® [
SR
24
[ Zs ® [s s
On a
§[ Z T
SR
SR
[ ZNU
QR
SR
[T
QR
On a
­[ Z T
SR
QR
Donc
Or
On en tire
[§ Z
[ Zs NU §[ Zs
[ T
s
NU Z T
SR
QR
NU 2[Z T
s
SR
QR
SR
QR
NU
NU Z T
s
SR
QR
NU §[ Zs
­[ Z [s § s 2[Z§ Z s §[ Zs
§s ­ §s
­[ Z [s ­ [s §s 2[Z§ Z s §[ Zs
[s ­ [§ Zs §[ Zs
[s ­ §[ Zs §[ Zs
[s ­
25