Feuille de TD no 2 Dynamique topologique II

Université Pierre et Marie Curie
Master 2 Mathématiques Fondamentales
MM  Systèmes Dynamiques I
Année /
Florian Metzger
[email protected]
Feuille de TD no2
Dynamique topologique II
Exercice Soient Xun espace topologique séparé et T : X →Xune application continue positivement transitive.
Montrer que tout point est non errant.
Exercice Soit Tun homéomorphisme transitif d’un espace topologique Xséparé sans point isolé.
1. Montrer qu’il n’y a pas de point errant.
2. En déduire que pour toute partie ouverte V, les ensembles W = S
n>0
T−n(V) et T(W) ont même adhérence.
3. Montrer que Test positivement transitif.
Exercice Soit Xun espace de Baire séparable et (Ti)i∈Iune famille dénombrable d’applications continues sur X
positivement transitives. Montrer qu’il existe x∈Xtel que ωTi(x) = X pour tout i∈I.
Exercice Le but de cet exercice est de montrer qu’il n’existe pas d’homéomorphisme positivement minimal de Rp,
p>1. On suppose que fest un tel homéomorphisme. On écrit k·k pour la norme euclidienne et on définit les boules
B = {x∈Rp:kxk<1}et B = {x∈Rp:kxk61}.
1. Justifier que pour tout x∈B, il existe n>1, tel que fn(x)∈B.
2. Notons n(x)le premier entier vérifiant la propriété ci-dessus. Prouver que la fonction x7→ n(x)est bornée sur B.
3. Construire un ensemble borné positivement invariant.
4. Conclure.
5. Énoncer un résultat général (sur un espace autre que Rp).
Exercice Soit Xun espace topologique compact. Montrer qu’un homéomorphisme de Xest minimal si et seulement
s’il est positivement minimal.
Exercice Soit Xun espace topologique compact. Montrer qu’une application continue T:X→Xest positivement
minimale si et seulement si, pour toute partie ouverte non vide V, il existe N>0tel que
N
[
n=0
T−n(V) = X
Exercice Montrer que si Test un homéomorphisme d’un espace topologique compact, il existe un point qui est
positivement et négativement récurrent.
Exercice Soit Aun alphabet fini. Donner un exemple explicite d’homéomorphisme entre les ensembles de Cantor AN
et AZ.
Exercice 
1. Donner un exemple explicite de point de {0 ; 1}Ndont l’orbite positive est dense par le décalage de Bernoulli.
Indication : Caractériser la convergence de (xn)n∈Nvers x∞∈ {0 ; 1}Nen termes d’égalité des termes des suites.
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Master 2 Mathématiques Fondamentales
MM  Systèmes Dynamiques I
Année /
Florian Metzger
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2. Donner un exemple explicite de point de {0 ; 1}Zdont les orbites positives et négatives sont denses par le décalage de
Bernoulli.
3. Construire un point positivement récurrent mais pas négativement récurrent du décalage Bernoulli sur {0 ; 1}Z. Montrer
que l’ensemble des points vérifiant cette propriété est dense. Est-il résiduel ∗?
4. Montrer que si x0et x1sont deux points fixes du décalage Bernoulli sur AZ, où Aest un alphabet fini (par exemple
{0 ; 1}), il existe un point xtel que
σk(x)−−−−−→
k→−∞ x0et σk(x)−−−−−→ k→+∞x1
Exercice  [Un exemple de sous-décalage de type fini] Soit X⊂ {0 ; 1}Zl’ensemble des suites n’ayant pas deux
chiffres zéros consécutifs.
1. Montrer que Xest une partie fermée invariante par le décalage σ:{0 ; 1}Z→ {0 ; 1}Z.
2. Montrer que Xest homéomorphe à {0 ; 1}Z.
3. Expliquer pourquoi σ|Xn’est pas conjugué à σ.
4. Montrer que σ|Xest positivement mélangeante.
5. Montrer que les points périodiques de σ|Xsont denses dans X.
6. Pour i, j dans {0 ; 1}et n>0, notons un
i,j le nombre de mots de longueur n+ 1 commençant par le symbole iet se
terminant par le symbole jqui peuvent apparaître dans les suites x∈X. Trouver des relations de récurrence définissant les
(un
i,j )n>0puis déterminer ces suites.
7. Calculer
lim
n→+∞
1
nlog ]Fix σ|Xn
Exercice  Montrer qu’il existe un entier n>0tel que l’écriture en base 10 de 2ncommence par la séquence .
Exercice  [Théorème de Gottschalk-Hedlund] Soit Tun homéomorphisme minimal d’un espace topologique
compact X. On se donne une application continue ϕ: X →Ret on définit pour tout n∈N, l’application ϕn=
n
P
i=0
ϕ◦Ti.
On veut prouver que les propriétés suivantes sont équivalentes
(i) pour tout x∈X, la suite (ϕn(x))n>0est bornée ;
(ii) il existe x0∈Xtel que la suite (ϕn(x0))n>0est bornée ;
(iii) il existe une fonction continue ψ: X →Rtelle que ϕ=ψ◦T−ψ.
On va commencer par prouver que (ii) implique (iii). On suppose que (ii) est vérifiée et on définit
F: (X×R−→ X×R
(x, y)7−→ (T(x), y +ϕ(x))
1. Montrer que Fest un homéomorphisme qui commute avec
Ga:(X×R−→ X×R
(x, y)7−→ (x, y +a)
2. Montrer que l’ensemble ω-limite de z0= (x0,0) (pour F) est une partie compacte non vide qui contient un ensemble
invariant minimal compact Z0.
3. Montrer que Ga(Z0)∩Z0=∅pour tout réel a6= 0. En déduire que la projection
p1:(X×R−→ X
(x, y)7−→ x
est injective sur Z0.
4. Expliquer pourquoi la projection de Z0par p1est X. En déduire que Z0est le graphe d’une fonction.
5. Montrer que (iii) est vérifiée.
6. Montrer l’équivalence entre (i), (ii) et (iii).
∗. i.e. contient-il une intersection dénombrable d’ouverts tous denses ?
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