Feuille de TD no 2 Dynamique topologique II

Année /
Florian Metzger
[email protected]
Université Pierre et Marie Curie
Master 2 Mathématiques Fondamentales
MM  Systèmes Dynamiques I
Feuille de TD no 2
Dynamique topologique II
Exercice  Soient X un espace topologique séparé et T : X → X une application continue positivement transitive.
Montrer que tout point est non errant.
Exercice 
Soit T un homéomorphisme transitif d’un espace topologique X séparé sans point isolé.
1. Montrer qu’il n’y a pas de point errant.
2. En déduire que pour toute partie ouverte V, les ensembles W =
S
T−n (V) et T(W) ont même adhérence.
n>0
3. Montrer que T est positivement transitif.
Exercice  Soit X un espace de Baire séparable et (Ti )i∈I une famille dénombrable d’applications continues sur X
positivement transitives. Montrer qu’il existe x ∈ X tel que ωTi (x) = X pour tout i ∈ I.
Exercice  Le but de cet exercice est de montrer qu’il n’existe pas d’homéomorphisme positivement minimal de Rp ,
p > 1. On suppose que f est un tel homéomorphisme. On écrit k · k pour la norme euclidienne et on définit les boules
B = {x ∈ Rp : kxk < 1} et B = {x ∈ Rp : kxk 6 1}.
1. Justifier que pour tout x ∈ B, il existe n > 1, tel que f n (x) ∈ B.
2. Notons n(x) le premier entier vérifiant la propriété ci-dessus. Prouver que la fonction x 7→ n(x) est bornée sur B.
3. Construire un ensemble borné positivement invariant.
4. Conclure.
5. Énoncer un résultat général (sur un espace autre que Rp ).
Exercice  Soit X un espace topologique compact. Montrer qu’un homéomorphisme de X est minimal si et seulement
s’il est positivement minimal.
Exercice  Soit X un espace topologique compact. Montrer qu’une application continue T : X → X est positivement
minimale si et seulement si, pour toute partie ouverte non vide V, il existe N > 0 tel que
N
[
T−n (V) = X
n=0
Exercice  Montrer que si T est un homéomorphisme d’un espace topologique compact, il existe un point qui est
positivement et négativement récurrent.
Exercice 
et AZ .
Soit A un alphabet fini. Donner un exemple explicite d’homéomorphisme entre les ensembles de Cantor AN
Exercice 
1. Donner un exemple explicite de point de {0 ; 1}N dont l’orbite positive est dense par le décalage de Bernoulli.
Indication : Caractériser la convergence de (xn )n∈N vers x∞ ∈ {0 ; 1}
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N
en termes d’égalité des termes des suites.
Année /
Florian Metzger
[email protected]
Université Pierre et Marie Curie
Master 2 Mathématiques Fondamentales
MM  Systèmes Dynamiques I
2. Donner un exemple explicite de point de {0 ; 1}Z dont les orbites positives et négatives sont denses par le décalage de
Bernoulli.
3. Construire un point positivement récurrent mais pas négativement récurrent du décalage Bernoulli sur {0 ; 1}Z . Montrer
que l’ensemble des points vérifiant cette propriété est dense. Est-il résiduel ∗ ?
4. Montrer que si x0 et x1 sont deux points fixes du décalage Bernoulli sur AZ , où A est un alphabet fini (par exemple
{0 ; 1}), il existe un point x tel que
σ k (x) −−−−−→ x0
et
k→−∞
σ k (x) −−−−−→ x1
k→+∞
Exercice  [Un exemple de sous-décalage de type fini] Soit X ⊂ {0 ; 1}Z l’ensemble des suites n’ayant pas deux
chiffres zéros consécutifs.
1. Montrer que X est une partie fermée invariante par le décalage σ : {0 ; 1}Z → {0 ; 1}Z .
2. Montrer que X est homéomorphe à {0 ; 1}Z .
3. Expliquer pourquoi σ|X n’est pas conjugué à σ.
4. Montrer que σ|X est positivement mélangeante.
5. Montrer que les points périodiques de σ|X sont denses dans X.
6. Pour i, j dans {0 ; 1} et n > 0, notons uni,j le nombre de mots de longueur n + 1 commençant par le symbole i et se
terminant par le symbole j qui peuvent apparaître dans les suites x ∈ X. Trouver des relations de récurrence définissant les
(uni,j )n>0 puis déterminer ces suites.
7. Calculer
n 1
lim
log ] Fix σ|X
n→+∞ n
Exercice 
Montrer qu’il existe un entier n > 0 tel que l’écriture en base 10 de 2n commence par la séquence .
Exercice  [Théorème de Gottschalk-Hedlund]
Soit T un homéomorphisme minimal d’un espace topologique
n
P
compact X. On se donne une application continue ϕ : X → R et on définit pour tout n ∈ N, l’application ϕn =
ϕ ◦ Ti .
i=0
On veut prouver que les propriétés suivantes sont équivalentes
(i) pour tout x ∈ X, la suite (ϕn (x))n>0 est bornée ;
(ii) il existe x0 ∈ X tel que la suite (ϕn (x0 ))n>0 est bornée ;
(iii) il existe une fonction continue ψ : X → R telle que ϕ = ψ ◦ T − ψ.
On va commencer par prouver que (ii) implique (iii). On suppose que (ii) est vérifiée et on définit
(
X × R −→ X × R
F:
(x, y) 7−→ (T(x), y + ϕ(x))
1. Montrer que F est un homéomorphisme qui commute avec
(
X × R −→ X × R
Ga :
(x, y) 7−→ (x, y + a)
2. Montrer que l’ensemble ω-limite de z0 = (x0 , 0) (pour F) est une partie compacte non vide qui contient un ensemble
invariant minimal compact Z0 .
3. Montrer que Ga (Z0 ) ∩ Z0 = ∅ pour tout réel a 6= 0. En déduire que la projection
(
X × R −→ X
p1 :
(x, y) 7−→ x
est injective sur Z0 .
4. Expliquer pourquoi la projection de Z0 par p1 est X. En déduire que Z0 est le graphe d’une fonction.
5. Montrer que (iii) est vérifiée.
6. Montrer l’équivalence entre (i), (ii) et (iii).
∗. i.e. contient-il une intersection dénombrable d’ouverts tous denses ?
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