Énoncé du TD n°1

Université Pierre et Marie Curie
Master 2 Mathématiques Fondamentales
MM  Systèmes Dynamiques I
Année /
Florian Metzger
[email protected]
Feuille de TD no1
Dynamique topologique I
Exercice Déterminer, suivant les valeurs de x0∈R, les ensembles ω(x0)et/ou α(x0)pour les applications
1. f:(R−→ R
x7−→ x32. g:(R−→ R
x7−→ x+p|x|(commencer par le cas x>0)
Exercice Soit T:X→Xune transformation continue d’un espace de Baire (toute intersection dénombrable d’ouverts
denses est dense) séparable (il existe une base dénombrable d’ouverts que l’on notera (Ui)i∈N). On veut montrer l’équivalence
entre
(a) Test positivement transitif : pour tous ouverts U,V, il existe n>0tel que T−n(U) ∩V6=∅,
(b) il existe x∈Xtel que ω(x) = X.
1. Montrer le sens facile.
2.
2.a) Soit x∈X. Montrer que ω(x)=Xsi et seulement si pour tout entier m>0, l’orbite positive de Tmxrencontre
chacun des ouverts Ui. En déduire que l’ensemble des tels points xest une intersection dénombrables d’ouverts notés Oi,m.
2.b) Montrer que lorsque Test positivement transitif, chacun des ouverts Oi,m est dense dans X. Conclure.
Exercice 
1. Soit P un polynome complexe ; on dit que zest un point critique de Psi P0(z) = 0. Si A : z7−→ az +best une
application affine, montrer que A(z0)est un point critique du polynôme conjugué A◦P◦A−1si z0est critique pour P.
2. Montrer que tout polynome complexe de degré deux est conjugué, via une application affine, à un unique polynôme
de la forme Z2+c. (On pourra commencer par ramener le point critique en 0en conjuguant par une translation.)
Exercice [Compacité d’une orbite] Soit T:X→Xune application définie sur un ensemble X. On dit que x∈X
est prépériodique si xn’est pas périodique et s’il existe des entiers m > n > 0tels que Tm(x)=Tn(x).
1. Donner un exemple d’application ayant un point prépériodique. Peut-on trouver un exemple bijectif ?
2. Montrer que si Xest fini, alors tout point est périodique ou prépériodique. Montrer également qu’il existe des points
périodiques.
3. On suppose que Xest un espace métrique et que Test un homéomorphisme. On souhaite montrer que les conditions
suivantes sont équivalentes :
(i) xest périodique ; (ii) O(x)est compacte.
3.a) Montrer l’implication (i) ⇒(ii).
3.b) Pour l’implication réciproque, montrer qu’un compact dénombrable admet toujours un point isolé et en déduire
que tous les points de O(x)sont isolés. Conclure.
4. On suppose que Xest un espace métrique et que Test continue. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) xest périodique ou prépériodique ; (ii) O+(x)est compacte.
Exercice Montrer que si Xest un espace métrique compact et si T∈C0(X,X) est une application continue, alors
pour tout x∈X, on a T(ω(x)) = ω(x). Montrer sur un exemple que le résultat peut être faux sans l’hypothèse de compacité.
Exercice [Récurrence par chaîne] Soit (X, d)un espace métrique et T:X→Xune application continue. On dit
que x∈Xest récurrent par chaîne si pour tout ε > 0il existe un entier n>1et une suite finie (xk)06k6nvérifiant
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MM  Systèmes Dynamiques I
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Florian Metzger
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(I)x0=xn=x;
(II) pour tout k∈[[ 0 ; n]], on a d(xk+1,T(xk)) < ε.
1. Montrer que tout point non errant est récurrent par chaîne. La réciproque est-elle vraie ?
2. Dans le cas où Xest compact, montrer que l’ensemble Recch(T) des points récurrents par chaîne est positivement
invariant.
Exercice [Extension] On va démontrer que toute application continue surjective T:X→Xsur un espace to-
pologique séparé admet une extension naturelle e T : e X→e Xqui est un homéomorphisme. On munit l’espace produit X−N
(ensemble des suites à valeurs dans Xindexées par les entiers relatifs négatifs) de la topologie produit et on considère
l’application
b
T: (X−N−→ X−N
(xk)k607−→ (T(xk))k60
Montrer que b Test continue et que l’ensemble
e
X = ex= (xk)k60∈X−N:k < 0 =⇒xk+1 = T(xk)
est une partie fermée de X−Npositivement invariante par b T, que la restriction e Tde b Tàe Xest un homéomorphisme et que
Test un facteur de e T.
Exercice [Application de degré d] Soit d∈Nr{0 ; 1}. Soit F : R→Rune application continue vérifiant
∀x∈R∀k∈ZF(x+k) = F(x) + kd (∗)
La fonction Finduit donc une fonction continue f:T→Tdéfinie par
f(π(x)) = π(F(x))
La condition (∗)se lit « la fonction fest de degré d», et cette condition est vraie pour tout relèvement de fpuisqu’ils
diffèrent tous d’un entier. On note El’ensemble des applications H∈C0(R,R)telles que
∀x∈RH(x+ 1) = H(x)+1
On définit l’application Φpar, pour tout H∈E,
Φ(H): 
R−→ R
x7−→ 1
dH(F(x))
1. Montrer que Eest stable par Φ, puis que Φ : E→Ea un unique point fixe, noté H0.
Indication : Que dire de H1−H2si H1,H2∈E? En déduire une métrique sur Equi est contractée par Φ.
2. Expliquer pourquoi H0relève une application continue h0:T→Tde degré 1, puis prouver que h0est une semi-
conjugaison entre fet l’endomorphisme linéaire
md:(T−→ T
xmod 1 7−→ d x mod 1
Exercice [Application dilatante de degré d] On garde les hypothèses de l’exercice précédent mais on suppose
de plus que Fest de classe C1et que, pour tout x∈R,F0(x)>1. On note E0l’ensemble des applications H∈Equi sont
croissantes. Pour tout h∈E0on définit l’application
Ψ(H): (R−→ R
x7−→ F−1(H(d x))
1. Prouver que E0est stable par Ψet que l’application Ψ : E0→E0a un unique point fixe H1.
2. Établir que H1est injective et relève un homéomorphisme h1:T→Tde degré 1.
3. Montrer que fet md:xmod 1 7−→ d x mod 1 sont conjugués.
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