Suites, limites et séries - Université de Sherbrooke

Suites, limites et s´eries
Rencontres Putnam 2004
Universit´ e de Sherbrooke
Charles Paquette
1. Th´ eorie
1.1. Les suites.
L’´etude des suites peut ˆetre consid´er´e comme un sujet en soi : plus de vingt heures, au baccalaur´eat, sont
consacr´es `a l’´etude des suites! On peut dire que c’est l’un des premiers pas `a faire avant de s’embarquer dans
l’´etude de l’analyse math´ematique. On utilise, entre autres, le concept de suite pour d´efinir la notion de limite de
fonctions r´eelles. Pour respecter l’ordre naturelle, on commen¸cera donc par ´etudier les suites. On s’int´eressera
plus particuli`erement `a la convergence de ces derni`eres. Tous les objets ´etudi´es dans ce document (suites, s´eries,
fonctions) seront des objets d´efinis sur les nombres r´eels. On suppose ici que le concept de suite est connu et
que la plupart des propri´et´es relatives `a celles-ci le sont aussi. Rappelons quelques faits ´el´ementaires (mais fort
utiles) sur les suites.
Proposition 1.1.1. Soit (an)n∈Nune suite (r´eelle) telle que
an=P(n)/Q(n), n = 0,1, . . .
o`u Pet Qsont des polynˆomes de degr´es ret srespectivement et tels que Q(n)6= 0 pour tout n∈N.
(1) Si r > s, la suite diverge;
(2) Si r < s, la suite converge vers 0;
(3) Si r=s, la suite converge vers le quotient du coefficient directeur de Ppar celui de Q.
Proposition 1.1.2. Soit aun nombre r´eel.
(1) Si |a|<1, alors la suite (an)n∈Nconverge vers 0;
(2) Si a > 0, alors la suite (a1
n)n∈Nconverge vers 1.
Proposition 1.1.3. La suite ¡(1 + 1/n)n¢n∈Nconverge vers le nombre e. Certaines personnes d´efinissent le
nombre ede cette fa¸con (c’est-`a-dire la limite de la suite).
Avant de finir cette section (assez br`eve), donnons deux exemples de r´esolution qui nous permettront de revoir
quelques propri´et´es des suites.
Exemple 1.1.4. Soient aet bdeux nombres r´eels positifs. Montrer que
lim
n→∞(an+bn)1/n = max{a,b}.
solution. Supposons, sans perdre de g´en´eralit´e, que 0 6=a≥b. On a
µan+bn¶1/n
=aµ1 + µb
a¶n¶1/n
1

2
De plus,
a≤aµ1 + µb
a¶n¶1/n
≤aµ1 + µb
a¶n¶
Dans un premier temps, supposons que 0 ≤b < a. Comme 0 ≤b/a < 1, la proposition 1.1.2 (1) donne que ( a
b)n
converge vers 0 et donc, a(1 + ( b
a)n) converge vers a. La suite initiale ´etant coinc´e entre deux suites convergeant
vers a, elle doit aussi converger vers a. Ensuite, si b=a, la suite initiale s’´ecrit 2 1
naqui, selon la proposition
1.1.2(2), converge vers a. Donc, dans tous les cas, la suite converge vers a= max{a, b}.¤
Voici maintenant un autre exemple, plus compliqu´e.
Exemple 1.1.5 (Putnam, 1970).Soit (xn)n∈Nune suite telle que limn→∞(xn−xn−2) = 0. Montrer que
lim
n→∞
(xn−xn−1)
n= 0.
solution. Utilisons la d´efinition! Soit ² > 0 donn´e. Posons, pour n≥2, bn= (xn−xn−2). Selon l’hypoth`ese, il
existe N > 2 tel que n > N entraˆıne |bn|< ²/2. On remarque que, pour n > 1,
xn−xn−1= (xn−xn−2)−(xn−1−xn−3)+(xn−2−xn−4)−...
=
n
X
i=2
(−1)n−ibi+ (−1)n+1(x1−x0)
=ÃX
2≤i≤N
(−1)n−ibi+ (−1)n+1(x1−x0)!+X
N<i≤n
(−1)n−ibi.
La premi`ere ´egalit´e est obtenue en notant que dans la somme altern´ee du cˆot´e droit de l’´egalit´e, les termes se
cancellent deux `a deux pour ne laisser que xn−xn−1. C’est l`a toute l’id´ee de la preuve: ensuite, on se rend
compte qu’il faut s´eparer la somme en deux pour mettre ensemble les termes petits (en valeur absolue) et les
autres. Il faut, par contre, un peu d’exp´erience pour remarquer ces genres de choses! Remarquons que
¯¯¯¯X
2≤i≤N
(−1)n−ibi+ (−1)n+1(x1−x0)¯¯¯¯≤X
2≤i≤N|bi|+|x1−x0|:= CN.
Or, il existe N0>2 tel que n > N0entraˆıne CN/n < ²/2. Donc, si n > max{N, N 0},
|xn−xn−1|
n≤¯¯¯¯P2≤i≤N(−1)n−ibi+ (−1)n+1(x1−x0)¯¯¯¯ n+¯¯¯¯PN<i≤n(−1)n−ibi¯¯¯¯ n
≤CN
n+PN<i≤n|bi| n
<²
2+PN<i≤n² 2n
≤²
2+n² 2n=².
Ceci montre donc que la suite ((xn−xn−1)/n)n≥1converge vers 0, ce qu’on voulait montrer.
1.2. Les s´ eries.
Les s´eries, ce sont des suites particuli`eres! Rappelons tout de mˆeme ce qu’on entend par s´eries. Soit (an)n∈N
une suite. Consid´erons la suite (Sn)n∈N= (Pn
i=0 ai)n∈N. On peut s’int´eresser `a la convergence de cette derni`ere
suite. Si la suite (Sn)n∈Nconverge, on note sa limite par
∞
X
i=0
ai.

3
Lorsque, pour une suite (an)n∈Ndonn´ee, on ´etudie la convergence de la suite (Sn)n∈N, on dit qu’on ´etudie la
convergence de la s´erie
∞
X
i=0
ai.
On utilise donc l’expression P∞
i=0 aipour d´enoter deux choses diff´erentes : la suite (Sn)n∈Net la limite de celle-ci,
lorsqu’elle existe. Ceci paraˆıt toujours un peu bizarre aux yeux des d´ebutant, mais on s’y habitue!
Exemple 1.2.1. Soit aun nombre r´eel tel que |a|<1. Dire si la s´erie
∞
X
i=0
ai
converge. Dans l’affirmative, donner la valeur de sa limite.
solution. Ici, on consid`ere la suite (an)n∈N= (an)n∈Net on s’int´eresse `a la convergence de la suite (Sn)n∈N=
(Pn
i=0 ai)n∈N. On a
Sn= 1 + a+a2+··· +an
et
aSn=a+a2+a3+··· +an+1 .
Ceci donne Sn−aSn= 1 −an+1 , ce qui sonne Sn=1−an+1
1−a, car a6= 1. Selon la proposition 1.1.2(1), la suite
(Sn)n∈Nconverge vers 1
1−a. On ´ecrit donc
∞
X
i=0
ai=1
1−a.
´
Etant donn´e la forme particuli`ere des s´eries (rappelons que ce sont des suites particuli`eres), on a des crit`eres
int´eressants pour tester la convergence de celles-ci. Pour le reste des propositions, fixons deux suites (an)n∈Net
(bn)n∈N.
Proposition 1.2.2. Si pest un nombre r´eel et ai= 1/ippour tout i≥1, alors P∞
i=1 aiconverge si et seulement
si p > 1.
Proposition 1.2.3. Si la s´erie P∞
i=0 |ai|converge alors la s´erie P∞ i=0 aiconverge. Dans ce cas, on dit que la
s´erie P∞
i=0 aiconverge absolument.
Proposition 1.2.4. Si la suite (an)n∈Nconverge vers 0et 0≤an+1 ≤anpour tout n∈N, alors la s´erie
P∞
i=0(−1)iaiconverge.
Proposition 1.2.5. Supposons que 0≤an≤bnpour tout n∈N. Alors si P∞
i=0 biconverge, P∞ i=0 aiconverge.
Proposition 1.2.6. Supposons que an>0pour tout n∈N. Si fest une fonction r´eelle, positive, continue et
d´ecroissante sur l’intervalle [0,∞[telle que f(n) = anpour tout n∈N, alors
∞
X
i=0
ai
converge si et seulement si
Z∞
0
f(x)dx
converge.
Proposition 1.2.7. Supposons que an>0et bn>0pour tout n∈N. Si la suite (an/bn)n∈Nconverge vers un
nombre positif (non nul), alors
∞
X
i=0
ai
converge si et seulement si
∞
X
i=0
bi
converge.

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Proposition 1.2.8. Supposons que an>0pour tout n∈N. Supposons que la suite (an+1/an)n∈Nconverge vers
L(avec la possibilit´e que L=∞), alors
(1) Si L < 1,P∞
i=0 aiconverge;
(2) Si L > 1ou L=∞,P∞
i=0 aidiverge;
(3) Si L= 1 on ne peut rien conclure sur la convergence de la s´erie en question.
Proposition 1.2.9. Supposons que an>0pour tout n∈N. Supposons que la suite (a1/n
n)n∈Nconverge vers L
(avec la possibilit´e que L=∞), alors
(1) Si L < 1,P∞
i=0 aiconverge;
(2) Si L > 1ou L=∞,P∞
i=0 aidiverge;
(3) Si L= 1 on ne peut rien conclure sur la convergence de la s´erie en question.
Voici un exemple d’application.
Exemple 1.2.10. Dire si la s´erie ∞
X
n=1
n+ 4
n2+ 3
converge.
solution. Posons, pour n≥1, an=n+4
n2+3 et bn=1 n. Pour tout n,anet bnsont positifs et la suite
µan
bn¶n∈N
=µn2+ 4n
n2+ 3 ¶n∈N
.
Or, selon le th´eor`eme 1.1.1, cette derni`ere suite converge vers 1 et donc, en vertu de la proposition 1.2.7, comme
la s´erie harmonique (P∞
n=1
1
n) diverge (en vertu de la proposition 1.2.2), il en est de mˆeme pour la s´erie originale.
2. Probl` emes
2.1. Probl` emes choisis pour les suites.
2.1.1. Soient 0 < a1< a2deux nombres r´eels. Soit (an)n∈Nla suite d´efinie par an+2 =√anan+1 pour n≥2.
Montrer que (an)n∈Nconverge et trouver sa limite en fonction de a1et a2.
2.1.2. Soit (an)n∈Nla suite d´efinie par a1= 1/2 et an+1 = 2√an−anpour n≥1. Dire si la suite converge et
dans l’affirmative, trouver sa limite.
2.1.3. Dire si la suite ((n!)1/n)n∈Nconverge.
2.2. Probl` emes choisis pour les s´ eries.
2.2.1 (Putnam 1994).Soit (an)n∈Nune suite telle que 0 < an≤a2n+a2n+1 pour tout n≥0. Montrer que
P∞
n=0 andiverge.
2.2.2. Dire si la s´erie ∞
X
n=1
3n
n!
converge.
2.2.3. Dire si la s´erie ∞
X
n=2
1
nln(n)
converge.

5
2.2.4 (Putnam 1950).Montrer que si (an)n∈Nest une suite telle que P∞
n=0(an+ 2an+1 ) converge alors P∞ n=0 an
converge.
2.2.5 (Putnam 1952).Montrer que si (an)n∈Nest une suite monotone telle que P∞
n=0 anconverge alors P∞ n=0 n(an−
an+1) converge.
2.2.6 (Putnam 1963).La s´erie P∞
n=0 an, avec an≥0 pour tout n, converge et ai≤100anpour i=n, n + 1, n +
2, . . . , 2n. Montrer que limn→∞nan= 0.
2.3. Probl` emes suppl´ ementaires.
2.3.1 (Putnam 1954).Soit (an)n∈Nune suite de nombres r´eels telle que an=P∞
k=n+1 a2
k. Montrer que P∞
k=1 an
diverge `a moins que an= 0 pour tout n∈N.
2.3.2 (Putnam 1942).Dire si la s´erie
∞
X
n=0
n!kn
(n+ 1)n
converge ou diverge si k = 19/7.
2.3.3. Dire si la s´erie ∞
X
n=0
nn
2n2
converge.
2.3.4 (Putnam).Montrer que
∞
X
n=1
1
n1+1/n
diverge. Indication : ´ Etudier le comportement de la fonction r´eelle f(x) = x1/x pour x≥1.