Suites, limites et séries - Université de Sherbrooke

Suites, limites et séries
Rencontres Putnam 2004
Université de Sherbrooke
Charles Paquette
1. Théorie
1.1. Les suites.
L’étude des suites peut être considéré comme un sujet en soi : plus de vingt heures, au baccalauréat, sont
consacrés à l’étude des suites! On peut dire que c’est l’un des premiers pas à faire avant de s’embarquer dans
l’étude de l’analyse mathématique. On utilise, entre autres, le concept de suite pour définir la notion de limite de
fonctions réelles. Pour respecter l’ordre naturelle, on commençera donc par étudier les suites. On s’intéressera
plus particulièrement à la convergence de ces dernières. Tous les objets étudiés dans ce document (suites, séries,
fonctions) seront des objets définis sur les nombres réels. On suppose ici que le concept de suite est connu et
que la plupart des propriétés relatives à celles-ci le sont aussi. Rappelons quelques faits élémentaires (mais fort
utiles) sur les suites.
Proposition 1.1.1. Soit (an )n∈N une suite (réelle) telle que
an = P (n)/Q(n), n = 0, 1, . . .
où P et Q sont des polynômes de degrés r et s respectivement et tels que Q(n) 6= 0 pour tout n ∈ N.
(1) Si r > s, la suite diverge;
(2) Si r < s, la suite converge vers 0;
(3) Si r = s, la suite converge vers le quotient du coefficient directeur de P par celui de Q.
Proposition 1.1.2. Soit a un nombre réel.
(1) Si |a| < 1, alors la suite (an )n∈N converge vers 0;
1
(2) Si a > 0, alors la suite (a n )n∈N converge vers 1.
¡
¢
Proposition 1.1.3. La suite (1 + 1/n)n n∈N converge vers le nombre e. Certaines personnes définissent le
nombre e de cette façon (c’est-à-dire la limite de la suite).
Avant de finir cette section (assez brève), donnons deux exemples de résolution qui nous permettront de revoir
quelques propriétés des suites.
Exemple 1.1.4. Soient a et b deux nombres réels positifs. Montrer que
lim (an + bn )1/n = max{a,b}.
n→∞
solution. Supposons, sans perdre de généralité, que 0 6= a ≥ b. On a
µ
¶1/n
µ
µ ¶n ¶1/n
b
n
n
a +b
=a 1+
a
1
2
De plus,
µ
µ ¶n ¶1/n
µ
µ ¶n ¶
b
b
a≤a 1+
≤a 1+
a
a
Dans un premier temps, supposons que 0 ≤ b < a. Comme 0 ≤ b/a < 1, la proposition 1.1.2 (1) donne que ( ab )n
converge vers 0 et donc, a(1 + ( ab )n ) converge vers a. La suite initiale étant coincé entre deux suites convergeant
1
vers a, elle doit aussi converger vers a. Ensuite, si b = a, la suite initiale s’écrit 2 n a qui, selon la proposition
1.1.2(2), converge vers a. Donc, dans tous les cas, la suite converge vers a = max{a, b}. ¤
Voici maintenant un autre exemple, plus compliqué.
Exemple 1.1.5 (Putnam, 1970). Soit (xn )n∈N une suite telle que limn→∞ (xn − xn−2 ) = 0. Montrer que
lim
n→∞
(xn − xn−1 )
= 0.
n
solution. Utilisons la définition! Soit ² > 0 donné. Posons, pour n ≥ 2, bn = (xn − xn−2 ). Selon l’hypothèse, il
existe N > 2 tel que n > N entraı̂ne |bn | < ²/2. On remarque que, pour n > 1,
xn − xn−1
=
(xn − xn−2 ) − (xn−1 − xn−3 ) + (xn−2 − xn−4 ) − . . .
n
X
=
(−1)n−i bi + (−1)n+1 (x1 − x0 )
i=2
Ã
=
X
!
(−1)n−i bi + (−1)n+1 (x1 − x0 ) +
2≤i≤N
X
(−1)n−i bi .
N <i≤n
La première égalité est obtenue en notant que dans la somme alternée du côté droit de l’égalité, les termes se
cancellent deux à deux pour ne laisser que xn − xn−1 . C’est là toute l’idée de la preuve: ensuite, on se rend
compte qu’il faut séparer la somme en deux pour mettre ensemble les termes petits (en valeur absolue) et les
autres. Il faut, par contre, un peu d’expérience pour remarquer ces genres de choses! Remarquons que
¯
¯
X
¯ X
¯
n−i
n+1
¯
¯≤
(−1)
b
+
(−1)
(x
−
x
)
|bi | + |x1 − x0 | := CN .
i
1
0
¯
¯
2≤i≤N
0
2≤i≤N
0
Or, il existe N > 2 tel que n > N entraı̂ne CN /n < ²/2. Donc, si n > max{N, N 0 },
¯
¯ ¯
¯
¯P
¯ ¯P
¯
n−i
n+1
n−i ¯
¯
¯
¯
bi + (−1)
(x1 − x0 )¯ ¯ N <i≤n (−1) bi ¯
2≤i≤N (−1)
¯
|xn − xn−1 |
≤
+
n
n
n
P
|b
|
CN
i
N <i≤n
≤
+
n P
n
²
N <i≤n ²
<
+
2
2n
²
n²
≤
+
= ².
2 2n
Ceci montre donc que la suite ((xn − xn−1 )/n)n≥1 converge vers 0, ce qu’on voulait montrer.
1.2. Les séries.
Les séries, ce sont des suites particulières!
tout de même ce qu’on entend par séries. Soit (an )n∈N
PRappelons
n
une suite. Considérons la suite (Sn )n∈N = ( i=0 ai )n∈N . On peut s’intéresser à la convergence de cette dernière
suite. Si la suite (Sn )n∈N converge, on note sa limite par
∞
X
i=0
ai .
3
Lorsque, pour une suite (an )n∈N donnée, on étudie la convergence de la suite (Sn )n∈N , on dit qu’on étudie la
convergence de la série
∞
X
ai .
i=0
P∞
On utilise donc l’expression i=0 ai pour dénoter deux choses différentes : la suite (Sn )n∈N et la limite de celle-ci,
lorsqu’elle existe. Ceci paraı̂t toujours un peu bizarre aux yeux des débutant, mais on s’y habitue!
Exemple 1.2.1. Soit a un nombre réel tel que |a| < 1. Dire si la série
∞
X
ai
i=0
converge. Dans l’affirmative, donner la valeur de sa limite.
solution.
Ici, on considère la suite (an )n∈N = (an )n∈N et on s’intéresse à la convergence de la suite (Sn )n∈N =
Pn
i
( i=0 a )n∈N . On a
Sn = 1 + a + a 2 + · · · + a n
et
aSn = a + a2 + a3 + · · · + an+1 .
Ceci donne Sn − aSn = 1 − an+1 , ce qui sonne Sn =
1
(Sn )n∈N converge vers 1−a
. On écrit donc
∞
X
1−an+1
1−a ,
ai =
i=0
car a 6= 1. Selon la proposition 1.1.2(1), la suite
1
.
1−a
Étant donné la forme particulière des séries (rappelons que ce sont des suites particulières), on a des critères
intéressants pour tester la convergence de celles-ci. Pour le reste des propositions, fixons deux suites (an )n∈N et
(bn )n∈N .
P∞
Proposition 1.2.2. Si p est un nombre réel et ai = 1/ip pour tout i ≥ 1, alors i=1 ai converge si et seulement
si p > 1.
P∞
P∞
Proposition
1.2.3. Si la série i=0 |ai | converge alors la série i=0 ai converge. Dans ce cas, on dit que la
P∞
série i=0 ai converge absolument.
Proposition 1.2.4. Si la suite (an )n∈N converge vers 0 et 0 ≤ an+1 ≤ an pour tout n ∈ N, alors la série
P
∞
i
i=0 (−1) ai converge.
P∞
P∞
Proposition 1.2.5. Supposons que 0 ≤ an ≤ bn pour tout n ∈ N. Alors si i=0 bi converge, i=0 ai converge.
Proposition 1.2.6. Supposons que an > 0 pour tout n ∈ N. Si f est une fonction réelle, positive, continue et
décroissante sur l’intervalle [0, ∞[ telle que f (n) = an pour tout n ∈ N, alors
∞
X
ai
i=0
converge si et seulement si
Z
∞
f (x)dx
converge.
0
Proposition 1.2.7. Supposons que an > 0 et bn > 0 pour tout n ∈ N. Si la suite (an /bn )n∈N converge vers un
nombre positif (non nul), alors
∞
X
ai
i=0
converge si et seulement si
converge.
∞
X
i=0
bi
4
Proposition 1.2.8. Supposons que an > 0 pour tout n ∈ N. Supposons que la suite (an+1 /an )n∈N converge vers
L (avec la possibilité
P∞ que L = ∞), alors
(1) Si L < 1, i=0 ai converge;
(2) Si L > 1 ou L = ∞,
P∞
i=0
ai diverge;
(3) Si L = 1 on ne peut rien conclure sur la convergence de la série en question.
1/n
Proposition 1.2.9. Supposons que an > 0 pour tout n ∈ N. Supposons que la suite (an )n∈N converge vers L
(avec la possibilité
P∞que L = ∞), alors
(1) Si L < 1, i=0 ai converge;
(2) Si L > 1 ou L = ∞,
P∞
i=0
ai diverge;
(3) Si L = 1 on ne peut rien conclure sur la convergence de la série en question.
Voici un exemple d’application.
Exemple 1.2.10. Dire si la série
converge.
solution. Posons, pour n ≥ 1, an =
∞
X
n+4
2+3
n
n=1
n+4
n2 +3
et bn = n1 . Pour tout n, an et bn sont positifs et la suite
µ ¶
µ 2
¶
an
n + 4n
=
.
bn n∈N
n2 + 3 n∈N
Or, selon le théorèmeP
1.1.1, cette dernière suite converge vers 1 et donc, en vertu de la proposition 1.2.7, comme
∞
la série harmonique ( n=1 n1 ) diverge (en vertu de la proposition 1.2.2), il en est de même pour la série originale.
2. Problèmes
2.1. Problèmes choisis pour les suites.
√
2.1.1. Soient 0 < a1 < a2 deux nombres réels. Soit (an )n∈N la suite définie par an+2 = an an+1 pour n ≥ 2.
Montrer que (an )n∈N converge et trouver sa limite en fonction de a1 et a2 .
√
2.1.2. Soit (an )n∈N la suite définie par a1 = 1/2 et an+1 = 2 an − an pour n ≥ 1. Dire si la suite converge et
dans l’affirmative, trouver sa limite.
2.1.3. Dire si la suite ((n!)1/n )n∈N converge.
2.2. Problèmes choisis pour les séries.
2.2.1
P∞ (Putnam 1994). Soit (an )n∈N une suite telle que 0 < an ≤ a2n + a2n+1 pour tout n ≥ 0. Montrer que
n=0 an diverge.
2.2.2. Dire si la série
converge.
2.2.3. Dire si la série
converge.
∞
X
3n
n!
n=1
∞
X
1
n ln(n)
n=2
5
2.2.4 (Putnam 1950). Montrer que si (an )n∈N est une suite telle que
converge.
P∞
n=0 (an + 2an+1 )
converge alors
P∞
n=0
an
P∞
P∞
2.2.5 (Putnam 1952). Montrer que si (an )n∈N est une suite monotone telle que n=0 an converge alors n=0 n(an −
an+1 ) converge.
P∞
2.2.6 (Putnam 1963). La série n=0 an , avec an ≥ 0 pour tout n, converge et ai ≤ 100an pour i = n, n + 1, n +
2, . . . , 2n. Montrer que limn→∞ nan = 0.
2.3. Problèmes supplémentaires.
2.3.1 (Putnam 1954). Soit (an )n∈N une suite de nombres réels telle que an =
diverge à moins que an = 0 pour tout n ∈ N.
2.3.2 (Putnam 1942). Dire si la série
P∞
k=n+1
a2k . Montrer que
∞
X
n!k n
(n + 1)n
n=0
converge ou diverge si k = 19/7.
2.3.3. Dire si la série
converge.
2.3.4 (Putnam). Montrer que
∞
X
nn
2n2
n=0
∞
X
n=1
1
n1+1/n
diverge. Indication : Étudier le comportement de la fonction réelle f (x) = x1/x pour x ≥ 1.
P∞
k=1
an