TD 1 : Rappels sur les probabilités

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Statistique et prise de décision L3 Economie et Gestion
Jean Belin Options : Management,
Université Bordeaux 4 Comptabilité et
Sciences commerciales
TD 1 : Rappels sur les probabilités
Exercice 1 : Considérons une procédure de contrôle de la qualité, dans laquelle un inspecteur
sélectionne aléatoirement deux pièces sur cinq pour tester leur qualité.
1- Combien de combinaisons de deux pièces peuvent être sélectionnées ?
2- Combien d’arrangements de deux pièces peuvent être effectuées ?
Exercice 2 : Une expérience en trois étapes a trois résultats différents possibles à la première
étape, deux résultats possibles à la seconde étape et quatre résultats possibles à la troisième
étape. Combien de résultats sont-ils possibles pour l’expérience considérée dans son
ensemble ?
Exercice 3 : Supposez qu’une expérience a cinq résultats possibles équiprobables : R1, R2,
R3, R4, R5. Déterminez les probabilités de chaque résultat et montrez que les conditions de
bases pour déterminer les probabilités sont vérifiées. Quelle méthode avez-vous utilisé ?
Exercice 4 : Une expérience qui a trois résultats possibles, a été répétée 50 fois ; R1 est apparu
23 fois, R2, 10 fois et R3, 17 fois. Déterminez la probabilité de chacun des résultats. Quelle
méthode avez-vous utilisé ?
Exercice 5 : Considérez l’expérience qui consiste à choisir une carte dans un jeu de 52 cartes.
Chaque carte correspond à un élément de l’échantillon avec une probabilité de 1/52.
1- Enumérez les éléments de l’échantillon qui constituent l’événement « un as a été
tiré ».
2- Enumérez les éléments de l’échantillon qui constituent l’événement « un trèfle a été
tiré ».
3- Enumérez les éléments de l’échantillon qui constituent l’événement « une figure
(valet, dame ou roi) a été tirée ».
4- Trouvez les probabilités associées à chacun des événements cités dans les questions 1,
2 et 3.

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Exercice 6 : Vous décidez de construire une maison. Le projet comporte deux phases
successives : phase 1, conception et permis de construire ; phase 2, construction.
Une analyse des projets de construction similaires a relevé que la première phase dure 3,4 ou
5 mois et la construction dure 6, 7 ou 8 mois.
En attendant la construction, vous louez un appartement dont le bail expire dans 12 mois.
1- Combien de résultats (durées différentes) sont possibles ?
2- Faites un diagramme arborescent de l’expérience.
3- En supposant qu’à chaque phase les différents résultats sont équiprobables, calculez la
probabilité de pouvoir habitez dans votre maison à l’expiration du bail de votre
appartement.
Exercice 7 : Supposez que le responsable d’un grand complexe locatif estime de façon
subjective les probabilités concernant le nombre de logements vacants le mois suivant.
Logements libres Probabilité
0 0.05
1 0.15
2 0.35
3 0.25
4 0.10
5 0.10
Enumérez les éléments de l’échantillon qui constituent les événements suivants et attribuez
une probabilité à chaque événement.
1- Aucun logement de libre
2- Au moins quatre logements de libres
3- Au plus deux logements libres
Exercice 8 : Supposez qu’un espace-échantillon soit composé de cinq résultats possibles
équiprobables : E1, E2, E3, E4, E5. Soient :
A= { E1, E2}
B= { E3, E4}
C= { E2, E3, E4}
1- Calculez P(A), P(B) et P(C)
2- Calculez P(AB). Les événements A et B sont-ils mutuellement exclusifs ?
3- Trouvez Ac, Cc, P(Ac), P(Cc).
4- Trouvez ABc et P(ABc).
5- Calculez P(BC).
Exercice 9 : Supposez que nous ayons deux événements, A et B, mutuellement exclusifs.
Supposez de plus que P(A)=0.30 et P(B)=0.40.
1- Quelle est la valeur de P(AB) ?

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2- Quelle est la valeur de P(A/B) ?
3- Un étudiant en statistiques affirme que les concepts d’événements mutuellement
exclusifs et d’événements indépendants sont identiques et que si des événements sont
mutuellement exclusifs, ils doivent être indépendants. Etes-vous d’accord avec lui ?
Utilisez les probabilités de cet exemple pour justifier votre réponse.
4- Quelle conclusion générale pouvez-vous tirer de vos résultats concernant les
événements mutuellement exclusifs et indépendants ?
Exercice 10 : Une entreprise Bordelaise possède les données suivantes concernant l’âge et le
statut marital de 140 clients.
Statut marital
Célibataire Marié
Age Moins de 30 ans 77 14
30 ans et plus 28 21
1- Construisez le tableau des probabilités jointes pour ces données.
2- Utilisez les probabilités marginales pour commenter l’âge des clients.
3- Utilisez les probabilités marginales pour commenter le statut marital des clients.
4- Quelle est la probabilité de trouver un client célibataire de moins de 30 ans ?
5- Si un client a moins de 30 ans, quelle est la probabilité qu’il soit célibataire ?
6- Est-ce que le statut marital est indépendant de l’âge ? Expliquez en utilisant les
probabilités.
Exercice 11 : Un responsable des achats a commandé une matière première particulière à
deux fournisseurs différents, A et B. Si aucune commande n’est livrée dans les quatre jours, la
ligne de production devra fermer jusqu’à ce qu’au moins une des commandes soit livrée. La
probabilité que le fournisseur A livre la commande en quatre jours est de 0.55. La probabilité
que le fournisseur B livre la commande en quatre jours est de 0.35.
1- Quelle est la probabilité que les deux fournisseurs livrent le matériel en quatre jours ?
2- Qu’elle est la probabilité qu’au moins un des deux fournisseurs livre le matériel en
quatre jours ?
3- Quelle est la probabilité que la ligne de production ferme dans quatre jours, suite à une
pénurie de matière première ?
Exercice 12 : Pour éliminer les pièces non conformes d’un lot de pièces usinées, on effectue
deux tris successifs ; seules les pièces acceptées par la machine de contrôle T1 subissent un
second tri par T2. La probabilité de commettre une erreur de tri sur une pièce est Pi pour la
machine Ti (i=1,2).
1- Calculez les probabilités des événements E = {éliminer une pièce conforme} ; F =
{accepter une pièce non conforme}.
2- Si P1>P2, doit-on permuter les deux machines T1 et T2 ?

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Exercice 13 : Une élection a lieu au scrutin majoritaire à deux tours. Deux candidats A et B
sont en présence. Au premier tour 40% des voix vont à A et 45% à B, le reste étant constitué
d’absentions. Aucun candidat n’ayant la majorité absolue, un second tour est organisé. On
estime que tous les électeurs ayant voté la première fois voteront à nouveau. Un sondage
indique que 5% des voix de A se reporteront sur B et que 10% des voix de B iront à A.
On estime de plus que les deux tiers des électeurs n’ayant pas voté au premier tour voteront, à
raison de 60% pour A et 40% pour B.
1- Quelle est la probabilité pour qu’un abstentionniste du 1er tour vote pour A ? pour B ?
2- D’après ce sondage, quel candidat a la plus forte probabilité d’être élu ?
Exercice 14 : Dans la coupe de France de football, une équipe E de première division estime
qu’elle gagnera si elle rencontre une équipe de seconde division et qu’elle a une chance sur
deux de gagner si c’est une équipe de première division. Sachant que la proportion d’équipes
de seconde division engagées en coupe est P, calculez la probabilité que E ait rencontré une
équipe de seconde division, sachant qu’elle a remporté son match.
Exercice 15
: Une importante société de biens de consommation a développé un spot
publicitaire pour l’un de ses savons. Une enquête a été menée. Sur la base de cette enquête,
les probabilités suivantes ont été attribuées aux événements, A « l’individu a acheté le
produit », S « l’individu se souvient avoir vu la publicité et AS « l’individu a acheté le
produit et se souvient avoir vu la publicité » : P(A) = 0.20, P(S) = 0.40 et P(AS) = 0.12.
1- Quelle est la probabilité qu’un individu ait acheté le produit, sachant qu’il se souvient
avoir vu la publicité ? Est-ce que le fait d’avoir vu la publicité accroît la probabilité
que l’individu achète le produit ? A la place du responsable, recommanderiez vous de
poursuivre la campagne publicitaire (dans la mesure où son coût est raisonnable) ?
2- Supposez que les individus qui n’achètent pas le produit de la société en question
achètent celui des concurrents ; Quelle serait votre estimation de la part de marché de
la société ? Pensez-vous que poursuivre la campagne publicitaire permettrait
d’augmenter cette part de marché ? Pourquoi ?
3- La société a également essayé une autre publicité et lui a attribué les probabilités
suivantes : P(S) = 0.30 et P(AS) = 0.10. Quelle est la valeur de P(A/S) pour cette
autre publicité ? Quelle publicité semble avoir le plus d’effet sur les achats des
consommateurs ?
Exercice 16 : En évaluant un programme de formation à la vente, une entreprise a constaté
que sur les 50 vendeurs qui ont reçu une prime l’an dernier, 20 avaient suivi un programme
spécial de formation à la vente. L’entreprise compte 200 vendeurs. Soit P l’événement « le
vendeur a reçu une prime » et V l’événement « le vendeur a suivi le programme de formation
à la vente ».
1- Calculez P(P), P(V/P) et P (VP).
2- Supposez que 40% des vendeurs aient suivi le programme de formation. Quelle est la
probabilité qu’un vendeur reçoive une prime, sachant que ce vendeur a suivi le
programme de formation, P(P/V) ?
3- Si l’entreprise évalue le programme de formation en fonction de son effet sur la
probabilité qu’un vendeur reçoive une prime, quelle est votre évaluation de cette
formation ? Les événements P et V sont-ils dépendants ou indépendants ?