Théorie descriptive des ensembles Examen M2 Logique
Examen de théorie descriptive des ensembles
Durée : 3h
L’examen consiste en un problème formé de plusieurs parties non indépendantes. On
pourra bien sûr admettre les résultats d’une partie afin d’en traiter une autre.
I Théorème de séparation de Novikov
Soit Xun espace polonais. On se propose de démontrer par l’absurde le théorème de
séparation de Novikov qui s’énonce ainsi.
Pour toute famille dénombrable (An)nNde sous-ensembles analytiques de Xtelle que
TnNAn=, il existe une famille dénombrable (Bn)nNde boréliens de Xtelle que pour
tout nNon ait AnBnet TnNBn=.
1. Montrer que si (A1, ..., An)est une famille finie de sous-ensembles analytiques de X
telle que Tn
i=1 Ai=, alors il existe des boréliens B1, ..., BnXtels que pour tout
i∈ {1, ..., n}, on ait AiBiet Tn
i=1 Bi=.
2. Soit (An)nNune famille dénombrable de sous-ensembles analytiques de Xtelle que
TnNAn=. On suppose qu’il n’existe pas de famille dénombrable (Bn)nNde
boréliens de Xtelle que pour tout nN, on ait AnBnet TnNBn=.
Soit pour chaque nNune fonction continue fn:NNXtelle que An=fn(NN).
Pour sN<Net nN, pose alors As
n=fn(Ns).
a) Une suite (sn)nNd’éléments de N<Nest mauvaise si on ne peut trouver une
famille dénombrable de boréliens (Bn)d’intersection vide avec Asn
nBnpour
tout nN. Montrer que si (sn)nNest mauvaise, alors pour tout kN, il existe
mNtel que la suite (s0
n)définie par
s0
n=snsi n6=k
snamsi n=k
soit mauvaise.
b) Construire une suite (xn)d’éléments de NNtelle que pour tout nN, la suite
(x0n, ..., xnn,,, ...)
soit mauvaise.
c) Pour tout iN, on pose pi=fi(xi). Montrer qu’il existe i6=jtel que pi6=pj,
et aboutir à une contradiction.
II Projection et uniformisation des boréliens à sections
compactes
Soient Xet Ydeux espaces polonais. On note πXla projection X×YX.
Paris 7 1 M2 Logique
Théorie descriptive des ensembles Examen M2 Logique
Étant donné deux ensembles A⊆P(X)et B ⊆ P(Y)on notera
A⊗B:= {A×B:A∈ A et B∈ B}
l’ensemble des produits d’éléments de Apar des éléments de B. Étant donné un ensemble
Zet C ⊆ P(Z), on note
• Csl’ensemble des réunions finies d’éléments de C,
• Cσl’ensemble des réunions dénombrables d’éléments de C
• Cdl’ensemble des intersections finies d’éléments de C,
• Cδl’ensemble des intersections dénombrables d’éléments de C.
La sections verticale d’un ensemble AX×Yau dessus de xXest l’ensemble
Ax:= {yY: (x, y)A}.
1. Rappeler pourquoi Yadmet une base dénombrable d’ouverts. On fixe une telle base
(Un)nN.
2. Dans cette sous-partie, on suppose de plus Ycompact. Soit BX×Yun borélien
à sections verticales compactes (ou, de manière équivalente car Yest compact,
fermées).
a) Montrer que le complémentaire de Bs’écrit comme
(X×Y)\B=[
nN
(Cn×Un)
où chaque Cnest coanalytique.
b) En utilisant le théorème de séparation de Novikov (cf. partie I), montrer que l’on
peut trouver des boréliens BnCn×Untels que
(X×Y)\B=[
nN
Bn.
En déduire que l’on peut trouver des ensembles analytiques Antels que
(X×Y)\B=[
nN
(An×Un).
c) Conclure que Bs’écrit comme intersection dénombrable décroissante d’éléments
de
Π1
1(X)F(Y)s.
d) Montrer que si (Kn)est une suite décroissante de parties de X×Yà sections
verticales compactes, alors
πX \
nN
Kn!=\
nN
πX(Kn).
e) Conclure que πX(B)est borélien.
3. Montrer plus généralement que si Yest polonais et BX×Yest un borélien à
sections compactes, alors πX(B)est borélien. (on pourra tout d’abord plonger Y
dans un compact polonais ˜
Y).
Paris 7 2 M2 Logique
Théorie descriptive des ensembles Examen M2 Logique
4. On suppose de nouveau Ycompact.
a) Montrer que si BX×Yest un borélien à sections verticales compactes,
alors l’application XF(Y)qui à xXassocie la section verticale Bxest
borélienne. On pourra d’abord établir le fait que tout ouvert de Yest réunion
dénombrable de compacts.
b) Conclure que Badmet une uniformisation borélienne, c’est-à-dire que πX(B)
est borélien et qu’il existe une application borélienne f:πX(B)Ytelle que
{(x, f(x)) : xπX(B)} ⊆ B.
5. On suppose désormais Yseulement polonais. Montrer que si BX×Yest un bo-
rélien à sections verticales compactes, alors Badmet une uniformisation borélienne.
6. Donner un contre-exemple dans le cas où les sections sont seulement supposées
fermées. Quelle(s) partie(s) de la preuve cesse(nt) de fonctionner ?
III Un autre espace de groupes dénombrables
On considère, au sein de l’espace de Baire NN, le groupe Sdes bijections NNmuni
de la topologie induite.
1. Montrer que Sest un groupe topologique, c’est-à-dire que (g, g0)7→ gg0et g7→ g1
sont continues.
2. Montrer que Sest un sous-espace polonais de NN.
3. On définit SG(S)comme l’espace des sous-groupes fermés de S. Montrer que
SG(S)est un borélien de F(S). On pourra utiliser le théorème de sélection.
4. Soit Gun sous groupe de Stels que pour tout gG\ {idN}, on ait g(0) 6= 0.
Montrer que Gest un sous-groupe fermé dénombrable de S.
5. On note SGd(S)l’espace des sous-groupes de Stels que pour tout gG\{idN},
on ait g(0) 6= 0. Montrer que SGd(S)est un borélien de F(S).
6. Montrer que tout groupe dénombrable est isomorphe à un élément de SGd(S).
7. On rappelle qu’on note Gl’espace des groupes marqués, c’est-à-dire des sous-groupes
distingués de Fω. Montrer qu’il existe des applications boréliennes F1:G SGd(S)
et F2:SGd(S)→ G telles que pour tout N∈ G, le groupe F(G)est isomorphe à
Fω/N et pour tout GSGd(S), le groupe Fω/F2(G)est isomorphe à G.
8. En déduire que le fait qu’une propriété de groupe dénombrable définit un borélien
de SGd(S)ssi elle définit un borélien de G.
9. Montrer que (G, H)SGd(S)27→ GHSGd(S)est borélienne.
10. Montrer que le sous ensemble SGd,f g(S)formé des groupes de type fini est borélien.
11. Montrer que pour tout kN, l’application qui à GSGd,f g(S)associe l’inter-
section de tous ses sous-groupes d’indice au plus kest borélienne. On pourra utiliser
la question 5 de la partie II.
12. Montrer que l’application qui à GSGd(S)associe [G, G]est borélienne.
13. Expliquer comment on pourrait utiliser les deux questions précédentes pour prouver
le théorème de Wesolek-Williams (les groupes élémentairement moyennables forment
un ensemble non borélien) dans le cadre de SGd(S).
Paris 7 3 M2 Logique
1 / 3 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !