Théorie descriptive des ensembles Examen M2 Logique
4. On suppose de nouveau Ycompact.
a) Montrer que si B⊆X×Yest un borélien à sections verticales compactes,
alors l’application X→F(Y)qui à x∈Xassocie la section verticale Bxest
borélienne. On pourra d’abord établir le fait que tout ouvert de Yest réunion
dénombrable de compacts.
b) Conclure que Badmet une uniformisation borélienne, c’est-à-dire que πX(B)
est borélien et qu’il existe une application borélienne f:πX(B)→Ytelle que
{(x, f(x)) : x∈πX(B)} ⊆ B.
5. On suppose désormais Yseulement polonais. Montrer que si B⊆X×Yest un bo-
rélien à sections verticales compactes, alors Badmet une uniformisation borélienne.
6. Donner un contre-exemple dans le cas où les sections sont seulement supposées
fermées. Quelle(s) partie(s) de la preuve cesse(nt) de fonctionner ?
III Un autre espace de groupes dénombrables
On considère, au sein de l’espace de Baire NN, le groupe S∞des bijections N→Nmuni
de la topologie induite.
1. Montrer que S∞est un groupe topologique, c’est-à-dire que (g, g0)7→ gg0et g7→ g−1
sont continues.
2. Montrer que S∞est un sous-espace polonais de NN.
3. On définit SG(S∞)comme l’espace des sous-groupes fermés de S∞. Montrer que
SG(S∞)est un borélien de F(S∞). On pourra utiliser le théorème de sélection.
4. Soit Gun sous groupe de S∞tels que pour tout g∈G\ {idN}, on ait g(0) 6= 0.
Montrer que Gest un sous-groupe fermé dénombrable de S∞.
5. On note SGd(S∞)l’espace des sous-groupes de S∞tels que pour tout g∈G\{idN},
on ait g(0) 6= 0. Montrer que SGd(S∞)est un borélien de F(S∞).
6. Montrer que tout groupe dénombrable est isomorphe à un élément de SGd(S∞).
7. On rappelle qu’on note Gl’espace des groupes marqués, c’est-à-dire des sous-groupes
distingués de Fω. Montrer qu’il existe des applications boréliennes F1:G → SGd(S∞)
et F2:SGd(S∞)→ G telles que pour tout N∈ G, le groupe F(G)est isomorphe à
Fω/N et pour tout G∈SGd(S∞), le groupe Fω/F2(G)est isomorphe à G.
8. En déduire que le fait qu’une propriété de groupe dénombrable définit un borélien
de SGd(S∞)ssi elle définit un borélien de G.
9. Montrer que (G, H)∈SGd(S∞)27→ G∩H∈SGd(S∞)est borélienne.
10. Montrer que le sous ensemble SGd,f g(S∞)formé des groupes de type fini est borélien.
11. Montrer que pour tout k∈N, l’application qui à G∈SGd,f g(S∞)associe l’inter-
section de tous ses sous-groupes d’indice au plus kest borélienne. On pourra utiliser
la question 5 de la partie II.
12. Montrer que l’application qui à G∈SGd(S∞)associe [G, G]est borélienne.
13. Expliquer comment on pourrait utiliser les deux questions précédentes pour prouver
le théorème de Wesolek-Williams (les groupes élémentairement moyennables forment
un ensemble non borélien) dans le cadre de SGd(S∞).
Paris 7 3 M2 Logique