Examen de théorie descriptive des ensembles I Théorème de

Théorie descriptive des ensembles Examen M2 Logique
Examen de théorie descriptive des ensembles
Durée : 3h
L’examen consiste en un problème formé de plusieurs parties non indépendantes. On
pourra bien sûr admettre les résultats d’une partie afin d’en traiter une autre.
I Théorème de séparation de Novikov
Soit Xun espace polonais. On se propose de démontrer par l’absurde le théorème de
séparation de Novikov qui s’énonce ainsi.
Pour toute famille dénombrable (An)n∈Nde sous-ensembles analytiques de Xtelle que
Tn∈NAn=∅, il existe une famille dénombrable (Bn)n∈Nde boréliens de Xtelle que pour
tout n∈Non ait An⊆Bnet Tn∈NBn=∅.
1. Montrer que si (A1, ..., An)est une famille finie de sous-ensembles analytiques de X
telle que Tn
i=1 Ai=∅, alors il existe des boréliens B1, ..., Bn⊆Xtels que pour tout
i∈ {1, ..., n}, on ait Ai⊆Biet Tn
i=1 Bi=∅.
2. Soit (An)n∈Nune famille dénombrable de sous-ensembles analytiques de Xtelle que
Tn∈NAn=∅. On suppose qu’il n’existe pas de famille dénombrable (Bn)n∈Nde
boréliens de Xtelle que pour tout n∈N, on ait An⊆Bnet Tn∈NBn=∅.
Soit pour chaque n∈Nune fonction continue fn:NN→Xtelle que An=fn(NN).
Pour s∈N<Net n∈N, pose alors As
n=fn(Ns).
a) Une suite (sn)n∈Nd’éléments de N<Nest mauvaise si on ne peut trouver une
famille dénombrable de boréliens (Bn)d’intersection vide avec Asn
n⊆Bnpour
tout n∈N. Montrer que si (sn)n∈Nest mauvaise, alors pour tout k∈N, il existe
m∈Ntel que la suite (s0
n)définie par
s0
n=snsi n6=k
snamsi n=k
soit mauvaise.
b) Construire une suite (xn)d’éléments de NNtelle que pour tout n∈N, la suite
(x0n, ..., xnn,∅,∅, ...)
soit mauvaise.
c) Pour tout i∈N, on pose pi=fi(xi). Montrer qu’il existe i6=jtel que pi6=pj,
et aboutir à une contradiction.
II Projection et uniformisation des boréliens à sections
compactes
Soient Xet Ydeux espaces polonais. On note πXla projection X×Y→X.
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Étant donné deux ensembles A⊆P(X)et B ⊆ P(Y)on notera
A⊗B:= {A×B:A∈ A et B∈ B}
l’ensemble des produits d’éléments de Apar des éléments de B. Étant donné un ensemble
Zet C ⊆ P(Z), on note
• Csl’ensemble des réunions finies d’éléments de C,
• Cσl’ensemble des réunions dénombrables d’éléments de C
• Cdl’ensemble des intersections finies d’éléments de C,
• Cδl’ensemble des intersections dénombrables d’éléments de C.
La sections verticale d’un ensemble A⊆X×Yau dessus de x∈Xest l’ensemble
Ax:= {y∈Y: (x, y)∈A}.
1. Rappeler pourquoi Yadmet une base dénombrable d’ouverts. On fixe une telle base
(Un)n∈N.
2. Dans cette sous-partie, on suppose de plus Ycompact. Soit B⊆X×Yun borélien
à sections verticales compactes (ou, de manière équivalente car Yest compact,
fermées).
a) Montrer que le complémentaire de Bs’écrit comme
(X×Y)\B=[
n∈N
(Cn×Un)
où chaque Cnest coanalytique.
b) En utilisant le théorème de séparation de Novikov (cf. partie I), montrer que l’on
peut trouver des boréliens Bn⊆Cn×Untels que
(X×Y)\B=[
n∈N
Bn.
En déduire que l’on peut trouver des ensembles analytiques Antels que
(X×Y)\B=[
n∈N
(An×Un).
c) Conclure que Bs’écrit comme intersection dénombrable décroissante d’éléments
de
Π1
1(X)⊗F(Y)s.
d) Montrer que si (Kn)est une suite décroissante de parties de X×Yà sections
verticales compactes, alors
πX \
n∈N
Kn!=\
n∈N
πX(Kn).
e) Conclure que πX(B)est borélien.
3. Montrer plus généralement que si Yest polonais et B⊆X×Yest un borélien à
sections compactes, alors πX(B)est borélien. (on pourra tout d’abord plonger Y
dans un compact polonais ˜ Y).
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4. On suppose de nouveau Ycompact.
a) Montrer que si B⊆X×Yest un borélien à sections verticales compactes,
alors l’application X→F(Y)qui à x∈Xassocie la section verticale Bxest
borélienne. On pourra d’abord établir le fait que tout ouvert de Yest réunion
dénombrable de compacts.
b) Conclure que Badmet une uniformisation borélienne, c’est-à-dire que πX(B)
est borélien et qu’il existe une application borélienne f:πX(B)→Ytelle que
{(x, f(x)) : x∈πX(B)} ⊆ B.
5. On suppose désormais Yseulement polonais. Montrer que si B⊆X×Yest un bo-
rélien à sections verticales compactes, alors Badmet une uniformisation borélienne.
6. Donner un contre-exemple dans le cas où les sections sont seulement supposées
fermées. Quelle(s) partie(s) de la preuve cesse(nt) de fonctionner ?
III Un autre espace de groupes dénombrables
On considère, au sein de l’espace de Baire NN, le groupe S∞des bijections N→Nmuni
de la topologie induite.
1. Montrer que S∞est un groupe topologique, c’est-à-dire que (g, g0)7→ gg0et g7→ g−1
sont continues.
2. Montrer que S∞est un sous-espace polonais de NN.
3. On définit SG(S∞)comme l’espace des sous-groupes fermés de S∞. Montrer que
SG(S∞)est un borélien de F(S∞). On pourra utiliser le théorème de sélection.
4. Soit Gun sous groupe de S∞tels que pour tout g∈G\ {idN}, on ait g(0) 6= 0.
Montrer que Gest un sous-groupe fermé dénombrable de S∞.
5. On note SGd(S∞)l’espace des sous-groupes de S∞tels que pour tout g∈G\{idN},
on ait g(0) 6= 0. Montrer que SGd(S∞)est un borélien de F(S∞).
6. Montrer que tout groupe dénombrable est isomorphe à un élément de SGd(S∞).
7. On rappelle qu’on note Gl’espace des groupes marqués, c’est-à-dire des sous-groupes
distingués de Fω. Montrer qu’il existe des applications boréliennes F1:G → SGd(S∞)
et F2:SGd(S∞)→ G telles que pour tout N∈ G, le groupe F(G)est isomorphe à
Fω/N et pour tout G∈SGd(S∞), le groupe Fω/F2(G)est isomorphe à G.
8. En déduire que le fait qu’une propriété de groupe dénombrable définit un borélien
de SGd(S∞)ssi elle définit un borélien de G.
9. Montrer que (G, H)∈SGd(S∞)27→ G∩H∈SGd(S∞)est borélienne.
10. Montrer que le sous ensemble SGd,f g(S∞)formé des groupes de type fini est borélien.
11. Montrer que pour tout k∈N, l’application qui à G∈SGd,f g(S∞)associe l’inter-
section de tous ses sous-groupes d’indice au plus kest borélienne. On pourra utiliser
la question 5 de la partie II.
12. Montrer que l’application qui à G∈SGd(S∞)associe [G, G]est borélienne.
13. Expliquer comment on pourrait utiliser les deux questions précédentes pour prouver
le théorème de Wesolek-Williams (les groupes élémentairement moyennables forment
un ensemble non borélien) dans le cadre de SGd(S∞).
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