Examen de théorie descriptive des ensembles I Théorème de

Théorie descriptive des ensembles
Examen
M2 Logique
Examen de théorie descriptive des ensembles
Durée : 3h
L’examen consiste en un problème formé de plusieurs parties non indépendantes. On
pourra bien sûr admettre les résultats d’une partie afin d’en traiter une autre.
I
Théorème de séparation de Novikov
Soit X un espace polonais. On se propose de démontrer par l’absurde le théorème de
séparation de Novikov qui s’énonce ainsi.
Pour toute famille dénombrable (An )n∈N de sous-ensembles analytiques de X telle que
T
n∈N An = ∅, il existe une famille
T dénombrable (Bn )n∈N de boréliens de X telle que pour
tout n ∈ N on ait An ⊆ Bn et n∈N Bn = ∅.
1. Montrer que
Tn si (A1 , ..., An ) est une famille finie de sous-ensembles analytiques de X
telle que i=1 Ai = ∅, alors il existe
Tn des boréliens B1 , ..., Bn ⊆ X tels que pour tout
i ∈ {1, ..., n}, on ait Ai ⊆ Bi et i=1 Bi = ∅.
2. T
Soit (An )n∈N une famille dénombrable de sous-ensembles analytiques de X telle que
(Bn )n∈N de
n∈N An = ∅. On suppose qu’il n’existe pas de famille dénombrable
T
boréliens de X telle que pour tout n ∈ N, on ait An ⊆ Bn et n∈N Bn = ∅.
Soit pour chaque n ∈ N une fonction continue fn : NN → X telle que An = fn (NN ).
Pour s ∈ N<N et n ∈ N, pose alors Asn = fn (Ns ).
a) Une suite (sn )n∈N d’éléments de N<N est mauvaise si on ne peut trouver une
famille dénombrable de boréliens (Bn ) d’intersection vide avec Asnn ⊆ Bn pour
tout n ∈ N. Montrer que si (sn )n∈N est mauvaise, alors pour tout k ∈ N, il existe
m ∈ N tel que la suite (s0n ) définie par
sn
si n 6= k
0
sn =
sn a m si n = k
soit mauvaise.
b) Construire une suite (xn ) d’éléments de NN telle que pour tout n ∈ N, la suite
(x0n , ..., xnn , ∅, ∅, ...)
soit mauvaise.
c) Pour tout i ∈ N, on pose pi = fi (xi ). Montrer qu’il existe i 6= j tel que pi 6= pj ,
et aboutir à une contradiction.
II
Projection et uniformisation des boréliens à sections
compactes
Soient X et Y deux espaces polonais. On note πX la projection X × Y → X.
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Étant donné deux ensembles A ⊆ P(X) et B ⊆ P(Y ) on notera
A ⊗ B := {A × B : A ∈ A et B ∈ B}
l’ensemble des produits d’éléments de A par des éléments de B. Étant donné un ensemble
Z et C ⊆ P(Z), on note
• Cs l’ensemble des réunions finies d’éléments de C,
• Cσ l’ensemble des réunions dénombrables d’éléments de C
• Cd l’ensemble des intersections finies d’éléments de C,
• Cδ l’ensemble des intersections dénombrables d’éléments de C.
La sections verticale d’un ensemble A ⊆ X × Y au dessus de x ∈ X est l’ensemble
Ax := {y ∈ Y : (x, y) ∈ A}.
1. Rappeler pourquoi Y admet une base dénombrable d’ouverts. On fixe une telle base
(Un )n∈N .
2. Dans cette sous-partie, on suppose de plus Y compact. Soit B ⊆ X × Y un borélien
à sections verticales compactes (ou, de manière équivalente car Y est compact,
fermées).
a) Montrer que le complémentaire de B s’écrit comme
[
(X × Y ) \ B =
(Cn × Un )
n∈N
où chaque Cn est coanalytique.
b) En utilisant le théorème de séparation de Novikov (cf. partie I), montrer que l’on
peut trouver des boréliens Bn ⊆ Cn × Un tels que
[
(X × Y ) \ B =
Bn .
n∈N
En déduire que l’on peut trouver des ensembles analytiques An tels que
[
(X × Y ) \ B =
(An × Un ).
n∈N
c) Conclure que B s’écrit comme intersection dénombrable décroissante d’éléments
de
Π11 (X) ⊗ F (Y ) s .
d) Montrer que si (Kn ) est une suite décroissante de parties de X × Y à sections
verticales compactes, alors
!
\
\
πX
Kn =
πX (Kn ).
n∈N
n∈N
e) Conclure que πX (B) est borélien.
3. Montrer plus généralement que si Y est polonais et B ⊆ X × Y est un borélien à
sections compactes, alors πX (B) est borélien. (on pourra tout d’abord plonger Y
dans un compact polonais Ỹ ).
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4. On suppose de nouveau Y compact.
a) Montrer que si B ⊆ X × Y est un borélien à sections verticales compactes,
alors l’application X → F (Y ) qui à x ∈ X associe la section verticale Bx est
borélienne. On pourra d’abord établir le fait que tout ouvert de Y est réunion
dénombrable de compacts.
b) Conclure que B admet une uniformisation borélienne, c’est-à-dire que πX (B)
est borélien et qu’il existe une application borélienne f : πX (B) → Y telle que
{(x, f (x)) : x ∈ πX (B)} ⊆ B.
5. On suppose désormais Y seulement polonais. Montrer que si B ⊆ X × Y est un borélien à sections verticales compactes, alors B admet une uniformisation borélienne.
6. Donner un contre-exemple dans le cas où les sections sont seulement supposées
fermées. Quelle(s) partie(s) de la preuve cesse(nt) de fonctionner ?
III
Un autre espace de groupes dénombrables
On considère, au sein de l’espace de Baire NN , le groupe S∞ des bijections N → N muni
de la topologie induite.
1. Montrer que S∞ est un groupe topologique, c’est-à-dire que (g, g 0 ) 7→ gg 0 et g 7→ g −1
sont continues.
2. Montrer que S∞ est un sous-espace polonais de NN .
3. On définit SG(S∞ ) comme l’espace des sous-groupes fermés de S∞ . Montrer que
SG(S∞ ) est un borélien de F (S∞ ). On pourra utiliser le théorème de sélection.
4. Soit G un sous groupe de S∞ tels que pour tout g ∈ G \ {idN }, on ait g(0) 6= 0.
Montrer que G est un sous-groupe fermé dénombrable de S∞ .
5. On note SGd (S∞ ) l’espace des sous-groupes de S∞ tels que pour tout g ∈ G\{idN },
on ait g(0) 6= 0. Montrer que SGd (S∞ ) est un borélien de F (S∞ ).
6. Montrer que tout groupe dénombrable est isomorphe à un élément de SGd (S∞ ).
7. On rappelle qu’on note G l’espace des groupes marqués, c’est-à-dire des sous-groupes
distingués de Fω . Montrer qu’il existe des applications boréliennes F1 : G → SGd (S∞ )
et F2 : SGd (S∞ ) → G telles que pour tout N ∈ G, le groupe F (G) est isomorphe à
Fω /N et pour tout G ∈ SGd (S∞ ), le groupe Fω /F2 (G) est isomorphe à G.
8. En déduire que le fait qu’une propriété de groupe dénombrable définit un borélien
de SGd (S∞ ) ssi elle définit un borélien de G.
9. Montrer que (G, H) ∈ SGd (S∞ )2 7→ G ∩ H ∈ SGd (S∞ ) est borélienne.
10. Montrer que le sous ensemble SGd,f g (S∞ ) formé des groupes de type fini est borélien.
11. Montrer que pour tout k ∈ N, l’application qui à G ∈ SGd,f g (S∞ ) associe l’intersection de tous ses sous-groupes d’indice au plus k est borélienne. On pourra utiliser
la question 5 de la partie II.
12. Montrer que l’application qui à G ∈ SGd (S∞ ) associe [G, G] est borélienne.
13. Expliquer comment on pourrait utiliser les deux questions précédentes pour prouver
le théorème de Wesolek-Williams (les groupes élémentairement moyennables forment
un ensemble non borélien) dans le cadre de SGd (S∞ ).
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