Introduction à la théorie descriptive des ensembles

Introduction à la théorie descriptive des
ensembles
Texte rédigé dans le but de fournir une introduction accessible à
la théorie descriptive des ensembles, dans la mesure où la
situation politique actuelle permettrait d’entretenir un espoir de
cette nature

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Avant-propos.
Ce document est destiné à accompagner un cours d’école doctorale donné à
Lyon au semestre de printemps 2009. Ce cours étant perturbé par une grève
d’une durée inédite, j’ai décidé de mettre les notes de cours en ligne dès à
présent. Elles ne sont pas encore finalisées ; en particulier la bibliographie est
très incomplète, et il est fort probable que le lecteur attentif trouvera bon
nombre d’erreurs plus ou moins graves. Si vous ne parvenez pas à résoudre
un exercice, prenez en considération l’éventualité que son énoncé soit faux.
Notons enfin que la théorie descriptive des ensembles, tout au moins ce qui en
est présenté ici, n’a pas d’application pratiques ; par suite le lecteur respec-
teux de la Stratégie Nationale de Recherche et d’Innovation, et/ou désireux
d’obtenir de bons contrats de financement, ferait sans doute mieux de ne pas
s’y intéresser.

Table des matières
1 Ordinaux, Cardinaux, Axiome du Choix 1
1.1 Bons ordres et ordinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Cardinaux et axiome du choix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Espaces polonais et lemme de Baire 19
2.1 Rappels; espaces compacts, complets, séparables . . . . . . . . 19
2.2 Caractérisation des polonais; lemme de Baire . . . . . . . . . . 25
2.3 Schémas et théorèmes de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Ensembles Baire-mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Groupes polonais 41
3.1 Définition, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Distances invariantes à gauche et groupe complété . . . . . . . 42
3.3 Quotients et continuité automatique . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Continuité des opérations de groupe. . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Ensembles boréliens, analytiques, coanalytiques 53
4.1 La tribu borélienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Raffinement de topologies polonaises . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Ensembles analytiques; le théorème de séparation . . . . . . . 57
4.4 Boréliens standard; fonctions boréliennes . . . . . . . . . . . . 61
5 Uniformisations 65
5.1 Le théorème de Lusin-Novikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Jeux topologiques et ensembles d’unicité. . . . . . . . . . . . . 70
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iv TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1
Ordinaux, Cardinaux, Axiome du
Choix
Ce cours traitera de théorie descriptive des ensembles, qui est une forme de
"combinatoire infinie" ; avant de pouvoir faire de la combinatoire, il faut déjà
apprendre à compter. On va donc discuter quelques notions élémentaires de
théorie des ensembles avant de s’attaquer au sujet du cours proprement dit. Je
n’essaierai pas de présenter le formalisme général de la théorie des ensembles ;
on va se placer dans le cadre général de la théorie dite de Zermelo-Fraenkel
(ZF), dont on ne sortira pas dans ce cours. Il est très vraisemblable qu’il
s’agisse du cadre axiomatique que vous avez toujours utilisé, même sans le
savoir, pour faire des mathématiques.
Il est facile de compter le nombre d’éléments d’un ensemble fini : on énu-
mère les éléments, et on s’arrête quand il n’y en a plus. On associe ainsi à
chaque ensemble fini un entier, qui est son nombre d’éléments. Mais comment
faire quand on considère un ensemble infini ? Il n’est pas clair qu’on puisse
l’énumérer ; plutôt que de considérer tous les ensembles, on va considérer des
ensembles munis d’un ordre permettant une énumération.
1.1 Bons ordres et ordinaux
Définition 1.1. Soit Xun ensemble. Un bon ordre sur Xest une relation
d’ordre ≤sur Xtel que tout sous-ensemble non vide de Xa un plus petit
élément.
On dit que S⊆Xest un segment initial si
∀x, y ∈X(y∈Set x≤y)⇒(x∈S).
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