Feuille 4 - Université de Rennes 1

Université de Rennes 1 2011-2012
Magistère de mathématiques L3-Topologie
Feuille 4 :
Espaces complets, espaces de fonctions continues
Exercice 1. Soit (E, d)un espace métrique.
1. Soit (xn)n∈Nune suite à valeurs dans Etelle que :
d(xn, xn+1)≤2−n,∀n∈N.(1)
2. Montrer que Eest complet si et seulement si toute suite de Evérifiant (1) converge.
Exercice 2. Montrer qu’un espace vectoriel normé Eest complet si et seulement si toute série
Pnxnavec Pnkxnk<+∞converge.
Exercice 3. Soit Xun espace métrique et Fun espace de Banach. On considère l’espace
Cb(X, F )muni de la norme k · k∞et une suite (fn)n∈N. Montrer que si Pnkxnk<+∞, alors, la
série Pnfn(x)converge uniformément par rapport à X.Pnfn(x)appartient-elle à Cb(X, F )?
Exercice 4. Soit E={ai, i ∈N}un ensemble dénombrable, on définit d:E×E→R+par
∀i∈Nd(ai, ai)=0
∀i6=j d(ai, aj) = δ+1
i+ 1 +1 j+ 1.
Montrer que c’est une distance si δ≥0; (E, d)est-il complet ?
Exercice 5. Sur l’espace C[X]des polynômes on pose, pour
P=
n
X
0
akXk,kPk∞= sup
k
|ak|,
kPk1=
n
X
0
|ak|,kPk2=v
u
u
t
n
X
0
|ak|2.
Montrer que l’on définit ainsi trois normes non équivalentes et que l’espace (C[X],k · k∞)n’est
pas complet.
Exercice 6. Soit El’ensemble des fonctions de classe C1de [0,1] dans Rtelles que f(0) = 0.
Démontrer que
kfk= sup
t∈[0,1]
|f(t)|+ sup
t∈[0,1]
|f0(t)|et kfk1= sup
t∈[0,1]
|f(t) + f0(t)|
définissent deux normes équivalentes sur Eet que Eest complet.
Exercice 7. Montrer que l’espace C([0,1]; R)normé par kfk1=R1
0|f(x)|dx n’est pas complet.
(on pourra considérer la suite de fonctions fn(t) = inf(n, 1
√t))
1

Exercice 8. ]0,1[ et [0,1] sont-ils homéomorphes ?
Exercice 9. Soit E=C0([0,1],R)muni de la norme uniforme et :
X={f∈E:−2≤f(x)≤0, x ∈[0,1]}.
Pour f∈X, on considère la fonction T f définie par :
(T f)(x) = 1
2Zx
0
f(y) sin x−y
2dy −x, x ∈[0,1].
1. Montrer que Xest fermé dans E.
2. Montrer que si f∈X, alors T f ∈X.
3. Montrer qu’il existe une unique fonction f0∈X:T f0=f0.
Exercice 10. Montrer que pour une norme quelconque sur Mn(K),K=Rou C,Id +Aest
inversible et log(Id +A)est bien défini dès que la norme de Aest assez petite. (On vérifiera que
c’est vrai en particulier pour kAk<1si k k est une norme d’algèbre).
Quelques résultats fondamentaux
Exercice 11. Théorème de Cauchy-Lipschitz : On considère une fonction f:Rt×Rd
y→Rd y
continue et localement Lipschitzienne par rapport à y: Pour tout (t, y)∈R1+d, il existe un
voisinage Vty de (t, y)et une constante Cty qui dépend de (t, y)telle que
∀y1, y2∈Rd,
((t, y1)∈Vty et (t, y2)∈Vty)⇒(kf(t, y2)−f(t, y1)k ≤ Cty ky2−y1k).
Sous ces hypothèses, on considère le problème de Cauchy (i.e. équation différentielle avec données
initiales)
y0(t) = f(t, y(t))
y(0) = y0∈Rd.(2)
1. Vérifier que y∈ C1([−α, α]; Rd)résout (2) si et seulement c’est un point fixe de l’application
Φ : C0([−α, α]; Rd)→ C([−α, α]; Rd)définie par
[Φ(y)] (t) = y0+Zt
0
f(s, y(s)) ds.
2. Montrer que pour α > 0et Rassez petits, Φest une contraction de C0([−α, α]; Bf(y0, R))
dans lui même. Conclure.
Exercice 12. Théorème des fonctions implicites : Soit fune fonction C1de Rn
x×Rm y
dans Rmet l’on rappelle que dans ce cas la différentielle de fpar rapport à yen un point
(x0, y0), notée dyf(x0, y0)est l’unique application linéaire de Rmdans Rmtelle que f(x0, y) =
f(x0, y0) + dyf(x0, y0).(y−y0) + o(ky−y0k)quand y→y0.
On suppose que f(0,0) = 0 et que M=dyf(0,0) est dans GLm(R).
1. Montrer que pour α > 0et r > 0assez petit l’application Φdéfinie sur Fαr =C0(Bn
f(0, α); Bm f(0, r))
par
[Φ(y)] (x) = y(x)−M−1f(x, y(x)) = −M−1[f(x, y(x)) −M.y(x)]
envoie Fdans lui même et est une contraction de Fαr.
2

2. En déduire que pour α > 0et r > 0il existe une unique application continue yde Bn
f(0, α)
dans Bm
f(0, r)telle que f(x, y(x)) = 0 pour tout x∈Bf(0, α).
3. Vérifier que la solution y(x)est en fait C1et que sa différentielle vaut dxy(x) = −dyf(x, y(x))−1◦
dxf(x, y(x)).
Exercice 13. Théorème de Baire : Soit (X, d)un espace métrique complet :
1. Montrer qu’une suite décroissante de fermés (Fn)n∈N, non vides, Fn6=∅, dont le diamètre
tend vers 0quand n→ ∞ a une intersection non vide.
2. Montrer qu’une intersection dénombrable d’ouverts denses est dense.
Indication : On prendra une suite (On)n∈Nd’ouverts denses et pour x∈X, on construira
pour tout voisinage Vune suite décroissante de boules fermées (Bn)n∈Ntelles que Bn⊂
V∩O1∩ · · · ∩ On.
3. On appelle Gδ-dense une partie de Xqui s’écrit comme intersection dénombrable d’ouverts
denses. Montrer que la famille des Gδ-denses est stable par intersection dénombrable.
4. On appelle partie maigre de Xune partie incluse dans un réunion dénombrable de fer-
més d’intérieur vide. Montrer que Xn’est pas maigre et ne peut s’écrire comme réunion
dénombrable de parties maigres.
5. Montrer que si Xest égal à une réunion dénombrable de fermés X=Sn∈NFnalors la
réunion des intérieurs Sn∈N◦ Fnest un ouvert dense de X. (On travaillera dans une boule
fermée arbitraire de X).
6. Que peut-on dire pour un espace topologique (X, T)si on remplace les mots “métrique
complet” par localement compact (au sens ou tout point admet une base de voisinages
compacts) ?
Exercice 14. Une application du théorème de Baire :
1. Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions réelles continues sur [0,1] qui converge simplement vers
f. Pour n, p, q ∈Non note
Fn,p =\
q≥px∈[0,1] ,|fq(x)−fp(x)| ≤ 1
n+ 1.
(a) Montrer que pour nfixé, l’union Sp∈NFn,p n’est autre que [0,1].
(b) En appliquant le a), en déduire que On=Sp∈N◦ Fn,p est un ouvert dense de [0,1]. A
l’aide du théorème de Baire à nouveau, en déduire que G=Tn∈NOnest un Gδ-dense
de [0,1].
(c) Expliciter ce que signifie x∈Get en conclure que la limite simple fest continue en
tout point de G.
2. Montrer que la fonction 1Qne peut être limite simple d’une suite de fonctions continues.
3. Montrer que la dérivée de toute fonction dérivable sur [0,1] est continue sur un Gδ-dense
de [0,1]. (On écrira la dérivée comme une limite simple de fonctions continues).
Exercice 15. Polynômes de Bernstein : L’objectif de cet exercice est de redémontrer de
façon plus explicite la densité de R[X]dans C0([a, b]; R). On commencera avec a= 0 et b= 1.
3

1. En dérivant la formule du binôme par rapport à X, montrer pour n∈N∗les identités de
polynômes à 2variables :
nX(X+Y)n−1=
n
X
p=0
pCp
nXpYn−p
et
n(n−1)X2(X+Y)n−2=
n
X
p=0
p(p−1)Cp
nXpYn−p.
2. Montrer que pour tout x∈Ron a
n
X
p=0
Cp
nxp(1 −x)n−p= 1 et
n
X
p=0
(nx −p)2Cp
nxp(1 −x)n−p=nx(1 −x).
(Pour la deuxième identité, on utilisera les deux égalités du a)).
3. Pour f∈ C0([0,1]; R), on note Pnle polynôme
Pn(X) =
n
X
p=0
Cp
nf(p
n)Xp(1 −X)n−p.
Montrer que pour tout ε > 0il existe α > 0tel que
x−p
n
≤α⇒ f(x)−fp
n
≤ε.
Vérifier que si 
x−p
n
≥αalors nx−p
nα 2≥1. En remarquant que
f(x)−Pn(x) =
n
X
p=0
Cp
nf(x)−fp
nxp(1 −x)n−p
montrer que
|f(x)−Pn(x)| ≤ ε+2kfk∞
nα2.
Conclure que lim
n→∞ Pn(x) = f(x)uniformément sur [0,1].
4. Comment obtient-on en général le résultat pour C0([a, b]; R)?
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