4Nombres complexes I

4
Nombres complexes I
CHAPITRE
Jérôme CARDAN mathématicien, philosophe et astrologue se passionne pour les équa-
tions du troisième et quatrième degré.
Il fait venir chez lui TARTAGLIA et lui arrache sa formule de résolution d’une équation
du type x3+px =q.
CARDAN découvre la résolution générale et la publie en 1554. Son domestique et pro-
tégé Ludovico FERRARI en déduit la résolution des équations de degré 4.
Il est également l’inventeur du joint qui porte son nom.
Pour la petite histoire, CARDAN prédit que sa propre mort aura lieu trois jours avant
de fêter ses soixante-quinze ans ; peu de temps avant la date fatidique, il cesse de s’ali-
menter et meure le jour dit!
Des mathématiciens de A à Z.
B. HAUCHECONE et D.SURATTEAU aux éditions ellipses

Sommaire
0 Généralités
0.1 Programme de la classe de Première S
0.2 Programme (partiel) de la classe de Terminale S
0.3 Programme (intégral) libanais de Terminale série SG
1 Introduction
1.1 Activités d’introductions.
a) Présentation historique.
b) Application à l’équation x3−15x−4=0
c) Conclusion
2 Aspect algébrique des nombres complexes
2.1 Définitions et premières propriétés.
a) Définitions
b) Premières propriétés
2.2 Interprétation géométrique.
a) Définitions
b) Propriétés
2.3 Calculs sur les nombres complexes.
2.4 Propriétés de la conjugaison et du module.
2.5 Exemples d’équations dans C
a) Équations classiques et équations en zet z
b) Équation du second degré dans Cà coefficients réels.
2.6 Exercices types.
a) Exemple d’équations du second degré à coefficients complexes.
b) Exemple d’équations du troisième degré à coefficients complexes.
c) Détermination de partie réelle et imaginaire.
3 Considérations historiques
3.1 Les algébristes italiens du XVI ème siècle
3.2 Les mathématiciens du XVII-XVIII ème siècle
4 Résumé du cours
5 Démonstrations du cours
6 Exercices
178 Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

Généralités
0
01Programme de la classe de Première S
Ne figure pas au programme de la classe de Première S
02Programme (partiel) de la classe de Terminale S
En classe terminale, les nombres complexes sont vus essentiellement comme constituant un nou-
vel ensemble de nombres avec ses opérations propres. Cette introduction s’inscrit dans la perspective
d’un approfondissement lors d’une poursuite d’études.
CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Forme algébrique, conju-
gué. Somme, produit,
quotient.
• Effectuer des calculs algé-
briques avec des nombres
complexes.
On introduit dans ce chapitre des élé-
ments lui donnant une dimension his-
torique.
Équation du second de-
gré à coefficients réels.
• Résoudre dans Cune équa-
tion du second degré à coeffi-
cients réels.
Représentation géomé-
trique.
• Représenter un nombre com-
plexe par un point ou un vec-
teur.
Le plan est muni d’un repère ortho-
normé (O,~ u,~ v)
Affixe d’un point, d’un
vecteur.
• Déterminer l’affixe d’un point
ou d’un vecteur.
Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 179

03Programme (intégral) libanais de Terminale série SG
?? EN CLASSE DE PREMIÈRE SÉRIE SG
•Forme algébrique, cas d’égalité, parties réelles et imaginaires.
•Opérations sur les nombres complexes et nombres complexes conjugués.
•Équation du second degré à coefficients réels et à discriminant négatif.
•Racines carrées d’un nombre complexe.
•Représentation géométrique.
EN CLASSE DE TERMINALE SÉRIE SG
Les élèves ont déjà fait connaissance avec les nombres complexes et leur
représentation géométrique. Cette année, ils entreprennent l’étude
approfondie de ces nombres et de leur applications. Le travail proposé
s’articule sur trois axes:
Introduction des formes trigonométrique et exponentielle du nombre complexe
et exploitation des propriétés relatives aux modules et arguments qui
en découlent.
Utilisation des nombres complexes pour établir des relations et résoudre
des problèmes de nature trigonométrique.
Utilisation des nombres complexes afin d’élaborer des méthodes et résoudre
des problèmes de nature géométrique.
Module et argument d’un nombre complexe, propriétés
1. Calculer et interpréter géométriquement le module et l’argument d’un nombre complexe
non nul écrit sous forme algébrique
2. Caractérisation des nombres réels et imaginaires purs en termes d’arguments.
3. Connaître et utiliser les formules suivantes relatives aux modules et arguments des nombres
complexes.
L’élève est déjà familiarisé avec le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct ¡O,−→ u,−→ v¢.
|z|>0 ; |z|∈R;|z|>0
|z|=0⇔z=0
|z|=¯¯z¯¯=|−z|;|z|2=zz ;¯¯zz0¯¯=|z|ׯ¯z0¯¯
|zn|=|z|n;¯¯¡1
z¢¯¯=1
|z|;¯¯¯z
z0¯¯¯=|z|
|z0|
¯¯z+z0¯¯6|z|+¯¯z0¯¯;¯¯z−z0¯¯6|z|+¯¯z0¯¯
arg(−z)=π+arg(z)[2π] ; arg(z)= −arg(z)[2π]
arg(zz0)=arg(z)+arg(z0)[2π] ; arg(zn)=narg(z)[2π]
arg¡1
z¢=−arg(z)[2π] ; arg³z
z0´=arg(z)−arg(z0)[2π]
180 Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

Il est conseillé de définir géométriquement le module d’un nombre complexe z comme étant la dis-
tance OA où A est le point d’affixe z, et son argument comme l’angle ³−→ u,−−→ OA´, puis chercher à écrire
les formules permettant de les calculer.
On insistera sur le fait que l’argument d’un nombre complexe est défini à 2kπprès.
On évitera de définir l’argument par sa détermination principale (notée Arg(z)), une telle limitation
alourdissant considérablement les formules ainsi que la résolution des équations complexes.
On utilisera les notations (2π)ou « mod 2π» pour exprimer que l’argument est défini à 2kπprès.
Les relations
OA =|zA|et ³−→ u,−−→ OA´=arg(zA) (2π)
forment les éléments de base pour toutes les interprétations géométriques qui vont suivre.
Il importe alors d’entraîner les élèves à représenter géométriquement les nombres complexes afin de
fixer le lien entre les notions de module et d’argument, d’une part, et leurs aspects géométriques,
d’autre part. L’élève aura intérêt, particulièrement à se former une image mentale de quelques
nombres complexes simples tels que 1, i,−1, −i, 2i,−3i, 1+i, etc.
Cette activité, conduisant l’élève à lire mentalement le module et l’argument d’un nombre complexe,
est hautement formatrice.
Les formules relatives aux modules et aux arguments pourront être démontrées directement, en exer-
cice pour quelques-unes ou géométriquement pour d’autres.
On caractérisera, en particulier, les nombres réels par leur argument : 0modulo π, et les nombres
imaginaires purs par leur argument π
2modulo π.
Formes trigonométrique et exponentielle d’un nombre complexe.
1. Écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique.
2. Écrire un nombre complexe sous forme exponentielle.
3. Passer entre les différentes formes d’écriture d’un nombre complexe non nul.
Écrire un nombre complexe znon nul, donné en forme algébrique
sous forme trigonométrique z=r(cosθ+isinθ)où ret θsont des réels et r>0.
Écrire un nombre complexe znon nul, donné en forme trigonométrique
sous la forme algébrique.
Utiliser la notation eiθ=cosθ+isinθ.
Écrire un nombre complexe znon nul, donné en forme trigonométrique,
sous la forme exponentielle :z=reiθ
Écrire un nombre complexe znon nul, donné en forme exponentielle,
sous la forme trigonométrique .
Le passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique ainsi que le passage réciproque, sont
presque immédiats.
Seule l’introduction de la notation exponentielle pourra poser problème.
Toute justification de l’écriture eiθ=cosθ+isinθne fera que compliquer la situation, aussi
insistera-t-on sur le côté conventionnel de cette écriture.
On demandera à l’élève de vérifier sa comptabilité avec les propriétés relatives à la multiplication et
à la division des nombres complexes :
eiθ×eiθ0=ei(θ+θ0),et 1
eiθ=e−iθ
On ne manquera pas de mentionner l’unicité de l’écriture trigonométrique d’un nombre complexe
donné.
Par ailleurs, cette écriture aidera à :
Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 181