Nombres complexes

'Nombres complexes '
1 Introduction
Tous les nombres positifs ont une racine carrée. Par exemple, 9 a pour racines carrées 3 et −3.
Par contre, aucun réel négatif n’a de racine carrée (réelle).
Les nombres complexes offrent la possibilité de pallier à cette injustice !
1.1 Le nombre i
Le nombre iest un nombre dont le carré vaut −1. Ainsi, i2=−1.
De plus, son opposé −ia aussi pour carré −1. En effet : (−i)2=i2=−1.
Les deux racines de −1 sont les deux nombres réels iet −i.
Un peu d’histoire : La notation ifut introduite par Euler en 1777, puis reprise par Gauss au début du X I X ème siècle. Cependant, le
premier à parler de nombre imaginaire fut le très cartésien Descartes en 1637.
1.2 L’ensemble des nombres complexes
Définition 1
On définit l’ensemble Cdont les éléments sont appelés nombres complexes qui a les caractéristiques suivantes :
•CContient R
• Il contient le nombre ivérifiant i2=−1.
• L’addition et la multiplication ont les mêmes propriétés dans Cque dans R
Remarque 1
Cest alors un ensemble encore plus grand que tous les autres, et on a : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R⊂C.
2 Forme algébrique
2.1 Définition
Définition 2
Chaque élément zde l’ensemble Cs’écrit de manière unique z=a+i b,aet bétant des réels.
•aest appelé partie réelle de zet est noté a=Re(z),
•best appelé partie imaginaire de zet est noté b=Im(z).
Définition 3
On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O;−→ u;−→ v).
• Au point Mde coordonnées (a;b) on peut associer le nombre complexe z=a+i b,
on dit que z=a+i b est l’affixe du point M.
• Au vecteur −→
wde coordonnées (a;b) on peut associer le nombre complexe z=
a+i b, on dit que z=a+i b est l’affixe du vecteur −→
w.0−→
u
−→
v
−→
w
M(z=a+i b)
a
b
Remarque 2
Nombres particuliers :
• Si b=0 alors z=a,zest donc réel. Ex : z1=3 ; z2=p2 ; z3=πsont des réels.
• Si a=0 alors z=i b, on dit que zest un imaginaire pur. Ex : z4=2i ; z5=p3i sont des imaginaires purs.
Propriété 1
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire :
z=z0⇔a+i b =a0+i b0⇔a=a0et b=b0.
1

2.2 Calculs dans C
Propriété 2 (Addition et multiplication )
On pose z=a+i b,z0=a0+i b0et kun réel, on a : •z+z0=(a+a0)+i(b+b0),
•z−z0=(a−a0)+i(b−b0),
•k z =k a +i kb,
•z z 0=(aa0−bb0)+i(ab0+a0b).
Définition 4 (Conjugué )
On appelle conjugué du nombre complexe z=a+i b le nombre z=a−i b.
Géométriquement, si M1est le point d’affixe z, le point M2d’affixe zest le
symétrique de M1par rapport à l’axe des abscisses.
0
−→
w
M(z=a+ib)
a
b
M0(z=a−ib)
Remarque 3
Soit z=a+i b, on a : z z =(a+i b)(a−i b)=a2−(i b)2=a2+b2qui est un nombre réel.
Propriété 3 (Inverse d’un nombre complexe )
1
z=
z
z z =
z
a2+b2=
a−i b
a2+b2.
Propriété 4
Soit zet z0deux nombres complexes, alors :
•z+z0=z+z0. • z×z0=z×z0. • z=z.
•zest réel ⇐⇒ z=z. • zest imaginaire pur ⇐⇒ z=−z.
•Re(z)=1
2(z+z). • Im(z)=1 2i(z−z).
•µ1
z¶=1 z. • ³z z0´=
z
z0
2.3 Opposé d’un nombre complexe
Géométriquement, si M1est le point d’affixe z, le point M3d’affixe
−zest le symétrique de M1par rapport à l’origine O du repère.
0
−→
w
M1(z)
M2(z)
M3(−z)
a
b
−a
−b
3 Equation du second degré
Propriété 5
Soit az2+bz +c=0 une équation du second degré où a;b;c∈Ravec a6=0.
On pose ∆=b2−4ac.
• Si ∆>0, l’équation du second degré admet deux solutions réelles distinctes : z1=−b+p∆
2aet z2=−b−p∆ 2a.
• Si ∆=0, l’équation du second degré admet une unique solution réelle : z0=−b
2a.
• Si ∆<0, l’équation du second degré admet deux solutions complexes conjuguées : z1=−b+ip−∆
2aet z2=−b−ip−∆ 2a.
2