Terminale S CALCULS DANS LE CORPS DES COMPLEXES

Terminale S
CALCULS DANS LE CORPS DES COMPLEXES , ÉQUATIONS
Les règles de calcul dans
ℂ
sont les mêmes que dans
ℝ
… à un détail près : il existe un nombre (noté i) dont le carré est
égal à -1 ! Pour écrire une somme , une différence , un produit , on utilise donc les règles de calculs usuelles et le fait que
i2=−1
Exemples : (4 + 2i) – (3 + 5i) = 4 + 2i – 3 – 5i = 1 – 3i et (1 + 3i)(3 + 2i) = 3 + 2i + 9i + 6i² = 3 +11i – 6 = - 3 + 11i .
Pour écrire un quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique , il suffit de multiplier le numérateur et le
dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur .
Exemple :
3+5i
1+4i =(3+5i)(1−4i)
(1+4i )(1−4i)=3–12 i+5i –20i2
1–4i2=23 –17 i
17 =23 17 – i
EXERCICE 1
1. Écrire sous forme algébrique chacun des nombres suivants :
z1=3(1+i)–5(2i−3)
z2=(3+2 i)(2−i)
z3=4−(3+5i)(−3+4 i)
z4=2i (1+i)(2−i)
2. Même question avec les nombres suivants :
z1=(1–3 i)2
z2=(3−4 i)(3+4 i)
z3=1+2i−(3+5i)2
z4=(3+2i)3
3. Même question avec les nombres suivants :
z1=1
2+3 i
z2=10
3i
z3=1+i
3−i
z4=i(4+3i)
5+4i
4. Simplifier l'écriture du nombre
Z=1
5i +1+2i 2+i+2 1–2i
.
5. Soient x et y deux nombres réels . Écrire sous forme algébrique les nombres
z1=3i(x+2i y )–(1+i)(x+iy)
et
z2=(5x−iy)2–(2–i)(x – iy)
.
EXERCICE 2
1. Écrire sous forme algébrique le conjugué de chacun des nombres suivants :
a)
z1=−1+4 i
b)
z2=8i−
√
3
c)
z3=(1–2 i)(3+5 i)
d)
z4=(−2+7i)2
e)
z5=1+2i
3–4 i
2. Dans chacun des cas suivants , donner une expression du conjugué de Z (la forme algébrique n'est pas demandée)
z = 5 + 3i - (2 + 6i)(3i - 4)
Z=3–5 i
2+i
Z=2i+3
2+3i
Z=1+i
1−i
3. On pose
α= 3–i
5+7i
et
β= 3+i
5−7i
.
Montrer que le nombre α + β est réel et que α - β est imaginaire pur .
4. Soit z un nombre complexe .
Écrire à l'aide de
̄
z
, le conjugué de
(1+i)z+3–5 i
;
(2–i)(3z – 5i)+3 i z+7
et
3(1+i)z – 5
z – 5i
.
5. On considère un nombre complexe z = x + iy .
Écrire à l'aide de x et de y
(3+i)z – (5–i)̄ z+3+4 i
;
(z – 3 i)(̄ z+1+i)
et
z+2+i
z – 2i
EXERCICE 3 Résolution d'équations
1. Résoudre les équations suivantes :
a)
(1+i)z – 11i=0
b)
3i z+4(1+i)z−3(z+5)+22=i
c)
z – 3 i
z+2=5 i
d)
(−2+4 i)z+6
z+i=−1−2i
2. Même question avec les équations
a)
z2=−9
b)
3z2+12=0
c)
(z+2)2+4=0
d)
2(z – 3i)2+6=0
3. Déterminer les réels x et y tels que :
3(2x+3i y)+2(1+i)(2+iy)=26−51i
5(3x+iy)
x+2i =8−i
4. Résoudre les équations suivantes :
(4+i)z+2̄ z+19+i=0
3(z – 3i)
̄
z – 1=5+7 i
EXERCICE 5
On se propose de résoudre dans le corps des complexes l'équation : (E) z4 + 7 + 24i = 0 .

On donne le nombre complexe z1 = 2 - i .
1. Donner la forme algébrique de chacun des nombres :
z2 = i z1z3 = i z2z4 = i z3.
2. Montrer que l'équation (E) est équivalente à : (E ') z4 - z14 = 0 .
3. Écrire z4 - z14 sous la forme d'un produit de quatre facteurs.
En déduire les solutions de (E) .
EXERCICE 6
On veut résoudre l'équation (E)
z4+4=0
.
1. Factoriser
z4+4
sous forme d'un produit de deux facteurs de degré 2 .
2. Vérifier que
(1+i)2=2i
.
En déduire une factorisation de
z4+4
sous forme d'un produit de quatre facteurs de degré 1 .
3. Résoudre l'équation (E) .