Terminale S CALCULS DANS LE CORPS DES COMPLEXES

Terminale S
CALCULS DANS LE CORPS DES COMPLEXES , ÉQUATIONS
Les règles de calcul dans ℂ sont les mêmes que dans ℝ … à un détail près : il existe un nombre (noté i) dont le carré est
égal à -1 ! Pour écrire une somme , une différence , un produit , on utilise donc les règles de calculs usuelles et le fait que i
Exemples : (4 + 2i) – (3 + 5i) = 4 + 2i – 3 – 5i = 1 – 3i et (1 + 3i)(3 + 2i) = 3 + 2i + 9i + 6i² = 3 +11i – 6 = - 3 + 11i .
2
=−1
Pour écrire un quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique , il suffit de multiplier le numérateur et le
dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur .
Exemple :
2
3 +5i (3 +5i)(1− 4i) 3 – 12 i+5i – 20i 23 – 17 i 23
=
=
=
= –i
2
1+4i (1 +4i )(1− 4i)
17
17
1–4i
EXERCICE 1
1. Écrire sous forme algébrique chacun des nombres suivants :
z 2=(3+2 i)(2−i)
z 3=4−(3+5 i)(−3+4 i)
z 1=3(1+i) – 5( 2i−3)
2. Même question avec les nombres suivants :
z 2=(3−4 i)(3+4 i)
z 1=(1 – 3 i)2
z 3=1+2 i−(3+5 i)2
z 4=2 i (1+i)(2−i)
z 4=(3+2 i)3
3. Même question avec les nombres suivants :
1
10
1+i
i(4 +3 i)
z 1=
z 2=
z 3=
z 4=
2+3 i
3i
3−i
5+4 i
1 1+2 i
2
+
4. Simplifier l'écriture du nombre Z = +
.
5 i 2+i 1 – 2 i
5. Soient x et y deux nombres réels . Écrire sous forme algébrique les nombres
2
et
z 1=3 i(x +2 i y ) – (1+i)(x +i y )
z 2=(5 x−i y ) – (2 – i)(x – i y ) .
EXERCICE 2
1. Écrire sous forme algébrique le conjugué de chacun des nombres suivants :
1+2 i
a) z 1=−1+4 i b) z 2=8 i−√3
c) z 3=(1 – 2 i)(3+5 i)
e) z 5=
d) z 4=(−2+7 i)2
3– 4 i
2. Dans chacun des cas suivants , donner une expression du conjugué de Z (la forme algébrique n'est pas demandée)
3 –5 i
2 i+3
1+i
Z=
Z=
Z=
z = 5 + 3i - (2 + 6i)(3i - 4)
2+i
2+3 i
1−i
3+i
3–i
3. On pose α=
et β=
.
5+7 i
5−7 i
Montrer que le nombre α + β est réel et que α - β est imaginaire pur .
4. Soit z un nombre complexe .
3 (1+i) z – 5
Écrire à l'aide de ̄z , le conjugué de (1+i) z +3 – 5 i ; (2 – i)(3 z – 5 i )+3 i z +7 et
.
z –5i
5. On considère un nombre complexe z = x + iy .
z +2+i
Écrire à l'aide de x et de y (3+i) z – (5 – i) ̄z +3+4 i ; ( z – 3 i)( ̄z +1+i) et
z – 2i
EXERCICE 3 Résolution d'équations
1. Résoudre les équations suivantes :
z –3 i
(−2+4 i) z+6
=5 i
a) (1+i )z – 11 i=0 b) 3 i z+4 (1+i) z−3 (z+5)+22=i c)
=−1−2 i
d)
z +2
z+i
2. Même question avec les équations
a) z 2=−9
b) 3 z2 +12=0
c) ( z+2)2 +4=0
d) 2( z – 3 i)2+6=0
3. Déterminer les réels x et y tels que :
5 (3 x+i y )
=8−i
3(2x +3 i y)+2(1+i)(2+i y)=26−51 i
x+2 i
4. Résoudre les équations suivantes :
3 (z – 3 i)
(4 +i)z +2 ̄z +19+i=0
=5+7 i
̄z – 1
EXERCICE 5
On se propose de résoudre dans le corps des complexes l'équation :
(E)
z4 + 7 + 24i = 0 .
On donne le nombre complexe z1 = 2 - i .
1. Donner la forme algébrique de chacun des nombres :
z2 = i z1
z3 = i z2
2. Montrer que l'équation (E) est équivalente à : (E ')
z4 - z14 = 0 .
4
4
3. Écrire z - z1 sous la forme d'un produit de quatre facteurs.
En déduire les solutions de (E) .
z4 = i z3.
EXERCICE 6
4
On veut résoudre l'équation (E)
z +4=0 .
1. Factoriser z 4 +4 sous forme d'un produit de deux facteurs de degré 2 .
2. Vérifier que (1+i )2=2 i .
En déduire une factorisation de z 4 +4 sous forme d'un produit de quatre facteurs de degré 1 .
3. Résoudre l'équation (E) .