Triangles quelconques: théorème du Sinus et du Cosinus

Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus
Triangles quelconques: théorème du Sinus et du Cosinus
Introduction
Tous les triangles quelconques peuvent être partagés en deux triangles rectangles. Au lieu de
faire cette partition on peut gagner du temps en cherchant des formules qui simplifient le
calcul dans les triangles quelconques.
D’un triangle quelconque on connaît a, , . Cherche
une formule pour calculer b. Essaie d’exprimer la
solution sans utilisation de hc .
D’un triangle quelconque on connaît a, , . Cherche
une formule pour calculer c .
Essaie de formuler le théorème de Sinus (Sinussatz) en mots.
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Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus
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théorème du sinus
On peut formuler le théorème de différentes manières
a
b
c
sin( )
sin( )
sin( )
ou bien a : b : c
ou bien
sin( )
sin( )
sin( )
a
b
c
sin( ) : sin( ) : sin( ) .
Alors
On veut démontrer avec une preuve que
a
b
a
b
sin( )
sin( )
sin( )
sin( )
première méthode
Exprimons de différentes façons l’aire d’un triangle quelconque :
Conclusion :
a
b
sin( )
sin( )
deuxième méthode
1. Partager un triangle quelconque en esquissant hc dans deux triangles rectangles.
Exprimer hc une fois avec l’angle , une fois avec .
2. hc est maintenant exprimée de deux façons différentes et peut ainsi être éliminée.
sin( )
hc
b
hc
b sin( )
sin( )
hc
a
hc
a sin( )
Alors
a sin( ) b sin( )
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Essaie de compléter les formules
x
y
sin( )
....
z
y
.......
........
sin( )
....
....
sin( )
sin( )
......
......
y
Indique la formule pour l’aire du triangle, en connaissant , y, z .
Avec le théorème du Sinus on peut directement calculer une grandeur du triangle. Indique le
calcul formel.
s
a) exemple : sin( )
b)
c)
d)
r
sin( )
.......
.......
t
sin( )
r
.......
.......
s
t sin( )
sin( )
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Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus
Exercices résolues
Utilise le théorème du Sinus pour calculer des données manquantes d’un triangle avec
48,
57, b 47cm.
Solution :
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Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus
Lorsque l’angle d’élévation du soleil est de 64º, u n poteau téléphonique qui penche d’un
angle de 9º par rapport à une ligne formée par le pied du poteau et le soleil projette une
ombre de 6.3 m sur le sol. Calcule la hauteur du poteau.
solution :
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Un point au niveau du sol se trouve à 3 kilomètres au nord d’un point Q. Un coureur,
partant de Q, se déplace vers le point R dans la direction N25E (c'est-à-dire en direction
nord, mais un angle de 25 degrés en direction est. Puis il se déplace de R vers P dans la
direction S70W. Calcule la distance parcourue.
70 25
QR
sin(110)
RP
sin(25)
45
3
sin(45)
3
sin(45)
QR
QR
3 sin(110)
sin(45)
3 sin(25)
sin(45)
3.98 km
1.79 km
distance totale 5.78 km
La figure représente un téléphérique transportant des passagers d’un point A, qui se trouve
à 2 km du point B situé au pied de la montagne, à un point P au sommet de la montagne.
Les angles d’élévation aux points A et B sont 21˚ respectivement 65˚ Calculer la distance
entre A et P et la hauteur de la montagne. (Solutions : distance=2.6 km, hauteur=935m)
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Le théorème du cosinus
Dans deux cas on ne peut pas appliquer le théorème du Sinus
1) deux côtés et l’angle inclus entre eux
2) trois côtés
Dans ces cas nous pouvons appliquer le théorème du cosinus.
c2
a2 b2 2ab cos( )
b2
a2 c 2 2ac cos( )
a2
b2 c 2 2bc cos( )
Le carré de la longueur d’un côté d’un triangle quelconque est égal à la somme des
carrés des deux autres côtés moins deux fois le produit de ces côtés par le cosinus
de l’angle entre ces deux côtés.
Preuve du théorème du cosinus
On va démontrer a2 b2 c 2 2bc cos( ) en utilisant le théorème de pythagore et la définition
de la fonction cos dans le triangle rectangle.
a2
h
h2 (c 2
p )2
b2
p 2 (c 2
p )2
b2
p 2 (c 2 2cp p 2 )
p
b2 c 2 2cp
b2 c 2 2cb cos( )
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Le théorème du pythagore est un cas spécial du théorème du Cosinus
Si
c2
c2
90
a2
a2
alors
b2 2ab cos(90)
0
b2
optus
cos( )<0
aigu
cos( )>0
Attention : Si on veut résoudre la formule a2
a2 b2 c 2 2bc cos( )
2bc cos( )
b2
b2
cos( )
c2
b2 c 2 2bc cos( ) par rapport à l’angle
a2
c 2 a2
2bc
exercice :
a= 6m, b= 5cm, c= 7cm. Calcule les angles.
solution :
a2
b2
c2 2bc cos( )
b2
cos( )
cos
b2
1
a2
cos( )
cos
c2 a2
2bc
2
b c2 a2
2bc
57.1
c2 2ac cos( )
a2
1
c2 b2
2ac
2
a c2 b2
2ac
44.4
180
78.5
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exercice
D’un triangle quelconque on connaît a 5, c
les données manquantes du triangle.
exercice
8,
77 Calcule
Un parallélogramme possède des côtés de 30 cm et 70 cm et un angle de 65˚.
Calculer la longueur des diagonales.
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Résumé
Théorème du Sinus
Théorème du Cosinus
ACC
CAC (angle inclus)
 attention :
2 solutions possibles !
AAC
CCC
Cas spécial
ACC avec 2 solutions :
Voici un triangle avec a 7cm, b 10cm,
a 2 solutions ?
38 . Esquisse la construction. Quand est-ce qu’il y
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exercices de base : Fais chaque fois une esquisse
1
Grandeurs données
a= 3 cm, b= 4 cm, c=6 cm
2
a= 9 cm, b= 7 cm,
3
a=57.7 cm, b=44.8 cm,
120
69.7
Solutions
26.4
36.3
34.1
25.9
63.6
46.7 c 55.1cm
117.2
c 13.9 cm
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4
a 37.2 cm
72.2
5
a 7 cm b 10 cm
40.4
38
13
67.4 b
38.4 cm c
61.6
/
118.4
80.4
/
c 11.2 cm
23.6
/
4.6 cm
26.1cm
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Calculer la distance de la terre jusqu’à la lune
On peut calculer la distance entre la terre et la lune en connaissant le rayon terrestre r et la
latitude géographique de deux endroits K et B. En K et B on mesure encore l’angle d’élévation
et
de la lune par rapport à l’horizon.
Détermine la distance x.
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production d’ une carte géographique : la méthode de la triangulation
Le réseau actuel de notre triangulation a été établi par l'Office fédéral de topographie de 1910
à 1917. Il comporte 79 points distants les uns des autres de 30 à 70 km et s'étend sur tout le
pays. Le réseau de triangulation le plus détaillé comprend quelque 4'800 repères distants de 3
à 5 km. Pour la hauteur on a fixé comme point de départ « le pierre de Niton » dans le port de
Genève à une hauteur de 373,6 mètres au-dessus du niveau de la mer.
Sur tous les repères de ce
réseau, on a mesuré des angles
horizontaux avec les meilleurs
théodolites de l'époque. Les
coordonnées géographiques
(latitude et longitude) de ces
repères ont été calculées à
partir d'un point central,
l'ancien observatoire de Berne
dont on avait déterminé les
coordonnées par des mesures
astronomiques de précision.
Calcule les distances horizontales x et y et la hauteur h du sommet de la montagne à
l’endroit C.
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