Triangles quelconques: théorème du Sinus et du Cosinus

Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus 1
Triangles quelconques: théorème du Sinus et du Cosinus
Introduction
Tous les triangles quelconques peuvent être partagés en deux triangles rectangles. Au lieu de
faire cette partition on peut gagner du temps en cherchant des formules qui simplifient le
calcul dans les triangles quelconques.
D’un triangle quelconque on connaît
,, a
. Cherche
une formule pour calculer b. Essaie d’exprimer la
solution sans utilisation de
c
h
.
D’un triangle quelconque on connaît
,, a
. Cherche
une formule pour calculer c .
Essaie de formuler le théorème de Sinus (Sinussatz) en mots.

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théorème du sinus
On peut formuler le théorème de différentes manières
sin( ) sin( ) sin( )
a b c
ou bien
sin( ) sin( ) sin( )
a b c
ou bien
: : sin( ) : sin( ) : sin( ) a b c
. Alors
sin( )
sin( )
a
b
On veut démontrer avec une preuve que
première méthode
Exprimons de différentes façons l’aire d’un triangle quelconque :
Conclusion :
sin( )
sin( )
a
b
deuxième méthode
1. Partager un triangle quelconque en esquissant
c
h
dans deux triangles rectangles.
Exprimer
c
h
une fois avec l’angle , une fois avec .
2.
c
h
est maintenant exprimée de deux façons différentes et peut ainsi être éliminée.
sin( ) sin( )
sin( ) sin( )
sin( ) sin( )
c
c
c
c
hhb
b
hha
a
Alors a b
sin( )
sin( )
a
b

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Essaie de compléter les formules
sin( )
....
....... ........
sin( ) ....
....
sin( ) ......
sin( ) ......
x
y
zy
y
Indique la formule pour l’aire du triangle, en connaissant
,, yz
.
Avec le théorème du Sinus on peut directement calculer une grandeur du triangle. Indique le
calcul formel.
a) exemple :
sin( )
sin( ) sin( ) sin( )
s t t
s
b)
....... .......
sin( ) ....... .......
rr
c)
d)

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Exercices résolues
Utilise le théorème du Sinus pour calculer des données manquantes d’un triangle avec
, , . b cm 48 57 47
Solution :