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TRIGONOMÉTRIE DANS LES TRIANGLES QUELCONQUES
Mise à jour : 31/01/13
La trigonométrie pourra aussi te venir en aide dans le cas de triangles quelconques afin de
déterminer des amplitudes d’angles ou des longueurs de côtés.
Pour ce faire, tu as deux théorèmes à ta disposition : celui des sinus et celui des cosinus.
1. THÉORÈME DES SINUS
Dans tout triangle, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés
Ce qui sinifie simplement que
AC
sin B
=
AB
sin C
=
BC
sin A
Parfois, ce théorème est aussi présenté sous une forme inversée :
sin B
AC
=
sin C
AB
=
sin A
BC
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2. THÉORÈME DES COSINUS (appelé aussi Théorème d’AL-KASHI)
Dans tout triangle, la carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés
diminuée du double produit de ces deux côtés par le cosinus de l’angle compris entre ceux-ci.
Bon, ça, c’est la version littérale et officielle… Un peu long à retenir et sans doute pas
nécessaire ! L’important, c’est de bien comprendre ce que signifie cet énoncé. Décortiquons-le
ensemble :
Dans tout triangle,
la carré d’un côté
est égal
à la somme des carrés des deux autres côtés
diminuée
du double produit de ces deux côtés
par le cosinus de l’angle compris entre ceux-ci
Considérons donc le triangle ABC ci-dessous
Choisissons donc un côté : AB
(mais tu aurais pu prendre n’importe lequel)
dont on va prendre le carré de la longueur
AB² =
AC² + BC²
AB² = AC² + BC² 2. AC . BC
2. AC . BC . cos Â
Ce qui donne donc :
AB² = AC² + BC² - 2. AC . BC . cos Â
Appliqué aux deux autres côtés, ce théorème fournirait les résultats suivants :
AC² = AB² + BC² - 2. AB . BC . cos B
BC² = AB² + AC² - 2. AB . AC . cos C
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