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Cohomologie Galoisienne
Mrozinski Colin
Laboratoire de Mathématiques, CNRS UMR 6620
& Université Clermont-Ferrand II, France
Séminaire des doctorants
Notation
• G est un groupe profini
Exemple
• G fini
• G compact et totalement discontinu
• G = Gal(Ω/k ) := GΩ
• A est un groupe topologique discret abelien sur lequel G
agit continuement par homomorphisme.
On note G y A et (g, a) 7→ g.a.
Groupes de cohomologie
• Soit C n (G, A) l’ensemble des applications continues de Gn
dans A.
• On définit les applications de bord
dn : C n (G, A) → C n+1 (G, A)
par la formule
dn (f )σ1 ,...,σn+1 = σ1 .fσ2 ,...,σn+1 +
n
X
(−1)i fσ1 ,...,σi σi+1 ,...,σn+1
i=1
+ (−1)n+1 fσ2 ,...,σn
Définition
• Un n-cocycle de G à valeurs dans A est une application
α ∈ C n (G, A) telle que
• α ∈ ker (dn )
• ασ1 ,...,σn = 1 dès que σi = 1 pour un certain i
• On note Z n (G, A) l’ensemble des n-cocycles
Définition
• Un n-cobord de G à valeurs dans A est une application
α ∈ C n (G, A) telle que
• α ∈ Im(dn−1 )
• ασ1 ,...,σn = 1 dès que σi = 1 pour un certain i
• On note B n (G, A) l’ensemble de n-cobords
Définition
On définit le n-ième groupe de cohomologie
H n (G, A) := Z n (G, A)/B n (G, A)
L’exemple de H 1 (G, A)
Notons A multiplicativement et explicitons la construction de
H 1 (G, A) :
• Un 1-cocycle est une application continue
α : G × G → A, σ 7→ ασ
telle que :
αστ = ασ σ.ατ ∀σ, τ ∈ G
• 2 cocycles α, α0 ∈ Z 1 (G, A) sont cohomologues si il existe
a ∈ A tel que
ασ = aασ0 a−1 ∀ σ ∈ G
L’exemple de H 2 (G, A)
Explicitons la construction de H 2 (G, A) :
• Un 2-cocycle est une application continue
α : G × G → A, σ 7→ ασ
telle que, ∀σ, τ ρ ∈ G
σ.ασ,τ ασ,τ ρ = αστ,ρ ασ,τ et ασ,1 = α1,σ = 1
• 2 cocycles α, α0 sont cohomologues si il existe φ : G → A
continue telle que φ(1) = 1 et
0
= (σ.φ(τ ))φ(στ )−1 φ(σ)ασ,τ ∀σ, τ ∈ G
ασ,τ
Suite exacte en cohomologie
Soit
1
/A
ι
/B
π
/C
/1
une suite exacte où ι(A) ⊂ Z (B).
Il existe des applications
δ 0 : C G → H 1 (G, A)
δ 1 : H 1 (G, C) → H 2 (G, A)
telle que la suite
1 → AG → B G → C G → H 1 (G, A) → H 1 (G, B) → H 1 (G, C) → H 2 (G, A)
est exacte.
Soit G un groupe fini, A un groupe abelien sur lequel G agit par
automorphismes.
Définition
Une extension de G par A est une suite exacte
1
/A
ι
/E
π
/G
/1
telle que
• E agit sur A par automorphismes interieurs
• Cette action étend celle de G sur A :
xι(a)x −1 = ι(π(x).a) ∀x ∈ E, ∀a ∈ A
Exemple
E un groupe fini, A C E et G = E/A
Définition
• Deux extensions E, E 0 de G par A sont équivalentes si il
existe un isomorphisme f : E → E 0 tel que le diagramme
suivant commute :
1
/A
ι
1
/A
ι
/E
π
/G
/1
π
/G
/1
f
/ E0
• On dit qu’une extension est centrale si ι(A) est centrale
dans E.
Une interpretation de H 2 (G, A)
Théorème
1. H 2 (G, A) est en bijection avec les classes d’équivalence
d’extensions de G par A.
2. Supposons de plus que G agisse trivialement sur A, alors
H 2 (G, A) est en bijection avec les classes d’équivalence
d’extensions centrales de G par A.
La théorie de Galois inverse
Question principale
Soit k un corps. Décrire les groupes G tel qu’il existe une
extension galoisienne k ⊂ Ω de groupe G.
En générale, on étudie le problème pour k = Q.
Dans ce cas :
Théorème (Schafarevitch)
Tout groupe resoluble est groupe de Galois d’une extension de
corps de nombre.
Utilisation de la cohomologie (galoisienne)
Soit
1
/A
ι
/ G0
π
/G
/1
une extension centrale de G par A de classe [α] ∈ H 2 (G, A).
Question de théorie de Galois inverse
Soit k ⊂ Ω une extension de groupe G. Existe-t-il une
extension k ⊂ Ω0 de groupe G0 telle que Ω0A = Ω?
Problème de relevement équivalent
Notons ks une extension séparable de k et soit f : Gks → G un
morphisme surjectif continu. Existe-t-il un morphisme surjectif
continu f 0 : Gks → G0 tel que le diagramme suivant commute :
Gks
f0
/ G0
π
Gks
f
/G
Réponse de la cohomologie (galoisienne)
Théorème
Le problème de relevement à une solution si et seulement si
f ∗ ([α]) = 0 ∈ H 2 (Gks , A)
Notation
Dans la suite, on note :
• Ck la catégorie des extensions de k
• Ens la catégorie des ensembles
• Grpe la catégorie des groupes
• Si F : Ck → Ens est un foncteur, K , L des extensions de k
et ι : K → L un morphisme d’extension, pour a ∈ F(k ) on
notera aL := F(ι)(a) dans F(L).
• Si un groupe G agit sur un ensemble F, on note cette
action par ∗
Définition
Soient F : Ck → Ens un foncteur et G : Ck → Grpe un foncteur
en groupe. On dit que G agit sur F si :
1. Pour chaque extension k ⊂ K , le groupe G(K ) agit sur
F(K ).
2. Pour tout morphisme d’extensions ι : K → L, le diagramme
suivant est commutatif :
G(K ) × F(K )
G(ι),F(ι)
G(L) × F(L)
/ F(K )
F(ι)
/ F(L)
Notation
Dans la suite, on notera
• G y F à la place de “G : Ck → Grpe est un foncteur en
groupe agissant sur un foncteur F : Ck → Ens ”
• k ⊂ K ⊂ Ω à la place de ”k ⊂ K est une extension et
K ⊂ Ω est une extension galoisienne“
Définition
Soit G y F. Pour toute extension k ⊂ K , on définit une relation
d’équivalence ∼K sur F(K ) :
a ∼K a0 ⇐⇒ ∃g ∈ G(K ) tel que a = g ∗ a0
On note [a]K la classe d’équivalence correspondante.
Problème de descente galoisienne
Soit G : Ck → Grpe un foncteur en groupe agissant sur un
foncteur F : Ck → Ens. Soit k ⊂ Ω une extension galoisienne et
a, a0 ∈ k .
0 . A-t-on a ∼ a0 ?
Supposons que aΩ ∼Ω aΩ
k
Définition
Soit a ∈ F(k ), k ⊂ K ⊂ Ω. Un élément a0 ∈ F(K ) tel que
0 est appelé une K -forme tordue de a.
aΩ ∼Ω aΩ
On note Fa (Ω/K ) l’ensemble des classes de K -équivalence
des K -formes tordues de a :
0
Fa (Ω/K ) := [a0 ]K ; a0 ∈ F(K ) et aΩ ∼Ω aΩ
Soit a ∈ F(k ), k ⊂ K ⊂ Ω et soit G y F. On a une action de GΩ
sur F(Ω) et G(Ω) telle que
σ.(g ∗ a) = (σ.g) ∗ (σ.a) ∀σ ∈ GΩ , a ∈ F(Ω) and g ∈ G(Ω)
Définition
Un foncteur F : Ck → Ens satisfait la condition de descente si
pour chaque k ⊂ K ⊂ Ω, l’application F(K ) → F(Ω) est injective
et induit une bijection
F(K ) ' F(Ω)GΩ
À partir de maintenant, tout foncteur F : Ck → Ens satisfera la
condition de descente galoisienne.
Définition
Soit G y F. Pour chaque a ∈ F(k ) et chaque extension k ⊂ K ,
posons
StabG (a)(K ) := g ∈ G(K ); g ∗ aK = aK
Pour chaque morphisme d’extension K → L, l’application
G(K ) → G(L) se restreint en une application
StabG (a)(K ) → StabG (a)(L). On a donc un sous-foncteur
StabG (a) : Ck → Grpe
Le foncteur de cohomologie galoisienne
Soit k ⊂ K un extension et K ⊂ Ω une extension galoisienne.
GΩ est un groupe profini. On peut donc construire le groupe de
cohomologie galoisienne H 1 (GΩ , StabG (a)(Ω)), ainsi que le
foncteur de cohomologie galoisienne
H 1 (−, StabG (a)) : Ck → Ens∗
par
H 1 (−, StabG (a))(K ) := H 1 (GKs , StabG (a)(Ks ))
où K ⊂ Ks est une clôture séparable de K .
Lemme de descente galoisienne
Théorème
Soit G y F, a ∈ F (k ). Alors pour chaque k ⊂ K ⊂ Ω, on a une
bijection
Fa (Ω/K ) ' ker H 1 (GΩ , StabG (a)(Ω)) → H 1 (GΩ , G(Ω))
fonctorielle en K ⊂ Ω.
En particulier, si H 1 (−, G) = 1, on a un isomorphisme de
foncteurs
Fa ' H 1 (−, StabG (a))
Classification des algèbres
Définition
1. Une k -algèbre simple centrale est une k -algèbre simple
de centre k.
Classification des algèbres
Définition
1. Une k -algèbre simple centrale est une k -algèbre simple
de centre k.
2. On note CSAn : Ck → Ens∗ le foncteur des classes
d’isomorphismes des algèbres centrales simples de
dimensions n2
Classification des algèbres centrales simples
Définition
1. Une k-algèbre centrale simple est une k-algèbre simple
de centre k.
2. On note CSAn : Ck → Ens∗ le foncteur des classes
d’isomorphismes des algèbres centrales simples de
dimensions n2
3. On note PGLn : Ck → Grpe le foncteur
PGLn (K ) := AutK −alg (Mn (K ))
Théorème
On a un isomorphisme de foncteurs
CSAn ' H 1 (−, PGLn )
Classification des algèbres étales
Définition
1. Une k-algèbre commutative A est dite étale si elle verifie
l’une des conditions équivalentes suivantes :
• A ' k [X ]/(f ) où f est un polynôme séparable.
• A ⊗ ks ' ks × · · · × ks
Classification des algèbres étales
Définition
1. Une k-algèbre commutative A est dite étale si elle verifie
l’une des conditions équivalentes suivantes :
• A ' k [X ]/(f ) où f est un polynôme séparable.
• A ⊗ ks ' ks × · · · × ks
2. On note Étn : Ck → Ens∗ le foncteur des classes
d’isomorphismes des algèbres étales de dimension n
Théorème
On a un isomorphisme de foncteurs
Étn ' H 1 (−, Sn )
où Sn est considérer comme un GKs -groupe trivial pour toute
extension k ⊂ K .
Spoiler alert
La cohomologie galoisienne permet de classifier
• Les algèbre galoisiennes
• Les espaces principaux homogènes
• Les formes quadratiques (en particulier en construisant
l’invariant de Hasse)
• Applications en théorie de Galois inverse (problème du
plongement Galoisien, forme trace, problème de
Noether...)
• Et j’imagine que ça doit pouvoir prouver Riemann, mais qui
ça interesse?...