TD n°2 corrigé Courbe d`équation y=f(x+a)+b à partir de celle de y=f

TD n°2 corrigé Courbe d’équation y=f(x+a)+b à partir de celle de y=f(x)
Figures : figure dynamique
En rouge : courbe de f ; en noir : courbe de f
1
, avec f
1
(x)=f(x+a)+b.
Observation :
En faisant varier a, b et A ; induire par quelle transformation simple on passe de la courbe de f à la courbe
de f
1
. Enoncer un théorème.
Théorème : La courbe représentant la fonction xf(x+a)+b s’obtient par translation de la courbe de la
fonction xf(x) du vecteur
( , )
u a b
−
.
Démonstration :
Démontrer votre théorème.
On veut démontrer que
1
)(
ffu
CCt = (c’est-à-dire que la courbe de f
1
est l’image par translation d’un vecteur
( , )
u a b
−
de la courbe de f).
Le principe de la démonstration repose sur la double inclusion :
• D’abord on montre que
1
)(
ffu
CCt ⊂ , c’est-à-dire que le translaté du vecteur u d’un point A quelconque
de C
f
est sur C
f1
. On pourra écrire les coordonnées de A (point d’abscisse x qui est sur la courbe de f), de C
translaté de A du vecteur u et montrer que C est sur la courbe de f
1
:
A est d’abscisse x sur C
f
donc les coordonnées de A sont ( x , f(x) ).
C est le translaté de A du vecteur
( , )
u a b
−
, donc
( , )
AC a b
− donc x
C
-x
A
= -a et y
C
-y
A
= b
Il en résulte que x
C
= x-a et y
C
= f(x)+b. Les coordonnées de C sont ( x-a ; f(x)+b).
C est il sur C
f1
?
Il suffit de vérifier que x
C
∈D
f1
et que y
C
= f
1
(x
C
) :
x
C
∈D
f1
car D
f1
= R. [On s’est restreint au cas où f
1
est définie sur R]
f
1
(x
C
) = f
1
( x-a) = f(x-a+a)+b = f(x)+b = y
C
. Donc C est sur C
f1
. cqfd .
Donc
1
)(
ffu
CCt ⊂ .
• Puis on montre que )(
1
fuf
CtC ⊂, c’est-à-dire un point C quelconque de C
f1
est l’image par
u
t d’un point
A de C
f
.
C est un point de C
f1
: Ses coordonnées sont (x ;f
1
(x)) = (x ;f(x+a)+b).
Il faut trouver un point A de C tel que C soit l’image de A par la translation t
u
.
Choisissons le point A antécédent de C par t
u
:
( , )
AC u a b
= − donc x
C
-x
A
=-a et y
C
-y
A
=b.
Donc x
A
= x
C
+a = x+a et y
A
= y
C
-b = f(x+a)+b-b = f(x+a) : A ( x+a , f(x+a))
Il faut vérifier que A est sur C
f
. Il suffit de vérifier que x
A
∈D
f
et que y
A
= f(x
A
) :
x
A
∈D
f
car D
f
= R. [On s’est restreint au cas où f est définie sur R]
f (x
A
) = f( x+a) = y
A
. Donc A est sur C
f
. cqfd .
Applications:
1) Tracer sur la feuille géogébra la courbe de la fonction g : x x²-8x+13. Trouver la position des curseurs
a et b pour que les courbes de f
1
et de g coïncident. Donner alors l’expression de f
1
qui est dans la fenêtre
algèbre. Cette expression est la forme canonique de x²-8x+13.
2) En utilisant votre théorème : comment tracer les courbes des fonctions suivantes à partir des courbes des
fonctions usuelles vues en seconde ( xx², x1/x, xsin(x), xcos(x) ) ?
g : x(x-3)²-2 : Si f est la fonction xx², g(x)=f(x-3)-2. La courbe de g s’obtient par translation de la
courbe de f du vecteur
(3, 2)
u
−
.
h : xx²+4x+1 (chercher la forme canonique) : h(x)=(x+2)²-3 = f(x+2)-3 . La courbe de h s’obtient par
translation de la courbe de f du vecteur
( 2,3)
u
−
. Les courbes sont page suivante.
k : x
1
1
2
x
+
−
: Si f est la fonction x 1/x, k(x)=f(x-2)+1. La courbe de k s’obtient par translation de la
courbe de f du vecteur
(2,1)
u .

m : x
3 7
2
x
x
+
+
(chercher la forme canonique
1
b
x a
+
+
)
3 7 3( 2) 1 1
( ) 3 ( 2) 3
2 2 2
x x
m x f x
x x x
+ + +
= = = + = + +
+ + +
La courbe de m s’obtient par translation de la courbe de f du vecteur
( 2,3)
u
−
. Les courbes sont ci-dessous.
p : x
sin( /6) 1
x
π
+ +
: Si f est la fonction x sin(x), p(x)=f(x+π/6)+1. La courbe de p s’obtient par
translation de la courbe de f du vecteur
( /6,1)
u
π
. Les courbes sont ci-dessous.