TD n°2 corrigé Courbe d’équation y=f(x+a)+b à partir de celle de y=f(x) figure dynamique Figures : En rouge : courbe de f ; en noir : courbe de f1, avec f1(x)=f(x+a)+b. Observation : En faisant varier a, b et A ; induire par quelle transformation simple on passe de la courbe de f à la courbe de f1. Enoncer un théorème. Théorème : La courbe représentant la fonction xf(x+a)+b s’obtient par translation de la courbe de la fonction xf(x) du vecteur u (− a, b) . Démonstration : Démontrer votre théorème. On veut démontrer que tu (C f ) = C f1 (c’est-à-dire que la courbe de f1 est l’image par translation d’un vecteur u (− a, b) de la courbe de f). Le principe de la démonstration repose sur la double inclusion : • D’abord on montre que t u (C f ) ⊂ C f1 , c’est-à-dire que le translaté du vecteur u d’un point A quelconque de Cf est sur Cf1. On pourra écrire les coordonnées de A (point d’abscisse x qui est sur la courbe de f), de C translaté de A du vecteur u et montrer que C est sur la courbe de f1 : A est d’abscisse x sur Cf donc les coordonnées de A sont ( x , f(x) ). C est le translaté de A du vecteur u (− a, b) , donc AC (− a, b) donc xC-xA = -a et yC-yA = b Il en résulte que xC = x-a et yC = f(x)+b. Les coordonnées de C sont ( x-a ; f(x)+b). C est il sur Cf1 ? Il suffit de vérifier que xC∈Df1 et que yC = f1(xC) : xC∈Df1 car Df1 = R. [On s’est restreint au cas où f1 est définie sur R] f1(xC) = f1( x-a) = f(x-a+a)+b = f(x)+b = yC. Donc C est sur Cf1 . cqfd. Donc t u (C f ) ⊂ C f1 . • Puis on montre que C f1 ⊂ tu (C f ) , c’est-à-dire un point C quelconque de Cf1 est l’image par tu d’un point A de Cf . C est un point de Cf1 : Ses coordonnées sont (x ;f1(x)) = (x ;f(x+a)+b). Il faut trouver un point A de C tel que C soit l’image de A par la translation tu. Choisissons le point A antécédent de C par tu : AC = u (− a, b) donc xC-xA=-a et yC-yA=b. Donc xA = xC+a = x+a et yA = yC-b = f(x+a)+b-b = f(x+a) : A ( x+a , f(x+a)) Il faut vérifier que A est sur Cf. Il suffit de vérifier que xA∈Df et que yA = f(xA) : xA∈Df car Df = R. [On s’est restreint au cas où f est définie sur R] f (xA) = f( x+a) = yA. Donc A est sur Cf. cqfd. Applications: 1) Tracer sur la feuille géogébra la courbe de la fonction g : x x²-8x+13. Trouver la position des curseurs a et b pour que les courbes de f1 et de g coïncident. Donner alors l’expression de f1 qui est dans la fenêtre algèbre. Cette expression est la forme canonique de x²-8x+13. 2) En utilisant votre théorème : comment tracer les courbes des fonctions suivantes à partir des courbes des fonctions usuelles vues en seconde ( xx², x1/x, xsin(x), xcos(x) ) ? g : x(x-3)²-2 : Si f est la fonction xx², g(x)=f(x-3)-2. La courbe de g s’obtient par translation de la courbe de f du vecteur u (3, −2) . h : xx²+4x+1 (chercher la forme canonique) : h(x)=(x+2)²-3 = f(x+2)-3 . La courbe de h s’obtient par translation de la courbe de f du vecteur u (−2, 3) . Les courbes sont page suivante. 1 : Si f est la fonction x1/x, k(x)=f(x-2)+1. La courbe de k s’obtient par translation de la k : x 1 + x−2 courbe de f du vecteur u (2,1) . 3x + 7 1 (chercher la forme canonique b + ) x+2 x+a 3 x + 7 3( x + 2) + 1 1 = = 3+ = f ( x + 2) + 3 m( x ) = x+2 x+2 x+2 La courbe de m s’obtient par translation de la courbe de f du vecteur u (−2, 3) . Les courbes sont ci-dessous. m : x p : x sin( x + π / 6) + 1 : Si f est la fonction xsin(x), p(x)=f(x+π/6)+1. La courbe de p s’obtient par translation de la courbe de f du vecteur u (π / 6,1) . Les courbes sont ci-dessous.