TD n°2 corrigé Courbe d`équation y=f(x+a)+b à partir de celle de y=f

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TD n°2
corrigé
Courbe d’équation y=f(x+a)+b à partir de celle de y=f(x)
figure dynamique
Figures :
En rouge : courbe de f ; en noir : courbe de f1, avec f1(x)=f(x+a)+b.
Observation :
En faisant varier a, b et A ; induire par quelle transformation simple on passe de la courbe de f à la courbe
de f1. Enoncer un théorème.
Théorème : La courbe représentant la fonction xf(x+a)+b s’obtient par translation de la courbe de la
fonction xf(x) du vecteur u (− a, b) .
Démonstration :
Démontrer votre théorème.
On veut démontrer que tu (C f ) = C f1 (c’est-à-dire que la courbe de f1 est l’image par translation d’un vecteur
u (− a, b) de la courbe de f).
Le principe de la démonstration repose sur la double inclusion :
• D’abord on montre que t u (C f ) ⊂ C f1 , c’est-à-dire que le translaté du vecteur u d’un point A quelconque
de Cf est sur Cf1. On pourra écrire les coordonnées de A (point d’abscisse x qui est sur la courbe de f), de C
translaté de A du vecteur u et montrer que C est sur la courbe de f1 :
A est d’abscisse x sur Cf donc les coordonnées de A sont ( x , f(x) ).
C est le translaté de A du vecteur u (− a, b) , donc AC (− a, b) donc xC-xA = -a et yC-yA = b
Il en résulte que xC = x-a et yC = f(x)+b. Les coordonnées de C sont ( x-a ; f(x)+b).
C est il sur Cf1 ?
Il suffit de vérifier que xC∈Df1 et que yC = f1(xC) :
xC∈Df1 car Df1 = R. [On s’est restreint au cas où f1 est définie sur R]
f1(xC) = f1( x-a) = f(x-a+a)+b = f(x)+b = yC. Donc C est sur Cf1 . cqfd.
Donc t u (C f ) ⊂ C f1 .
• Puis on montre que C f1 ⊂ tu (C f ) , c’est-à-dire un point C quelconque de Cf1 est l’image par tu d’un point
A de Cf .
C est un point de Cf1 : Ses coordonnées sont (x ;f1(x)) = (x ;f(x+a)+b).
Il faut trouver un point A de C tel que C soit l’image de A par la translation tu.
Choisissons le point A antécédent de C par tu : AC = u (− a, b) donc xC-xA=-a et yC-yA=b.
Donc xA = xC+a = x+a et yA = yC-b = f(x+a)+b-b = f(x+a) : A ( x+a , f(x+a))
Il faut vérifier que A est sur Cf. Il suffit de vérifier que xA∈Df et que yA = f(xA) :
xA∈Df car Df = R. [On s’est restreint au cas où f est définie sur R]
f (xA) = f( x+a) = yA. Donc A est sur Cf. cqfd.
Applications:
1) Tracer sur la feuille géogébra la courbe de la fonction g : x x²-8x+13. Trouver la position des curseurs
a et b pour que les courbes de f1 et de g coïncident. Donner alors l’expression de f1 qui est dans la fenêtre
algèbre. Cette expression est la forme canonique de x²-8x+13.
2) En utilisant votre théorème : comment tracer les courbes des fonctions suivantes à partir des courbes des
fonctions usuelles vues en seconde ( xx², x1/x, xsin(x), xcos(x) ) ?
g : x(x-3)²-2 : Si f est la fonction xx², g(x)=f(x-3)-2. La courbe de g s’obtient par translation de la
courbe de f du vecteur u (3, −2) .
h : xx²+4x+1 (chercher la forme canonique) : h(x)=(x+2)²-3 = f(x+2)-3 . La courbe de h s’obtient par
translation de la courbe de f du vecteur u (−2, 3) . Les courbes sont page suivante.
1
: Si f est la fonction x1/x, k(x)=f(x-2)+1. La courbe de k s’obtient par translation de la
k : x 1 +
x−2
courbe de f du vecteur u (2,1) .
3x + 7
1
(chercher la forme canonique b +
)
x+2
x+a
3 x + 7 3( x + 2) + 1
1
=
= 3+
= f ( x + 2) + 3
m( x ) =
x+2
x+2
x+2
La courbe de m s’obtient par translation de la courbe de f du vecteur u (−2, 3) . Les courbes sont ci-dessous.
m : x
p : x sin( x + π / 6) + 1 : Si f est la fonction xsin(x), p(x)=f(x+π/6)+1. La courbe de p s’obtient par
translation de la courbe de f du vecteur u (π / 6,1) . Les courbes sont ci-dessous.
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