TD 13 : les suites 1 Une suite ?

Université Paris Est Créteil
DAEU
TD 13 : les suites
On définit ce qu’est une suite et on en donne quelques exemples classiques.
1 Une suite ?
1.1 Exemples
Une suite est une succession d’une infinité de nombres réels. C’est à dire un premier nombre,
puis un deuxième ....
Concrètement, on utilise des suites un peu tout les jours, par exemple :
•lorsque l’on va faire une demande de prêt à la banque et que le banquier nous présente la
simulation de remboursement, le total dû mois après mois correspond à une suite [ou plutôt à
un morceau de suite].
•Si on étudie la population de lapin de l’île de la fécondité, alors l’évolution de la population
années après années correspond à une suite.
•Si on étudie le processus de division cellulaire (la mitose), le nombre de cellule à la n-ième
génération correspond à une suite.
Parmi les exemples (un peu moins concret) de suite en mathématiques on a :
1. La suite des entiers naturels (les éléments de N) : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...
2. La suite des nombres pairs (positifs) : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; ...
3. La suite des nombres impairs (positifs) : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; ...
4. La suite des puissance (positives) de 2:1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; ...
5. La suite qui donne l’écriture approché (par défaut) de √2avec une précision croissante :
1 ; 1,4 ; 1,41 ; 1,414 ; 1,4142 ; 1,41421 ; ...
6. La suite des nombres premiers : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; ...
7. Une suite qui permet de parcourir l’ensemble des entiers relatifs : 0; 1; −1; 2; −2; 3; −3; ...
8. La suite définie récursivement par "Je commence par la valeur 5et pour passer d’un nombre
au suivant je multiplie par 2et j’ajoute 1":5 ; 11 ; 23 ; 47 ; 95 ; ....
Notation. Généralement un suite est indéxer sur les entiers par exemple en notant unle n-ième
terme de la suite où n∈N. Parfois on ne commence pas en 0mais cela ne change rien ... On
note alors toute la suite par (un).
Par exemple dans les exemples précédents :
1. u0= 0 ; u1= 1 ; u2= 2 ; u3= 3 ; u4= 4 ; ...
2. u0= 0 ; u1= 2 ; u2= 4 ; u3= 6 ; u4= 8 ; ...
3. u0= 1 ; u1= 3 ; u2= 5 ; u3= 7 ; u4= 9 ; ...
4. u0= 1 ; u1= 2 ; u2= 4 ; u3= 8 ; u4= 16 ; u5= 32 ; ...
5. u0= 1 ; u1= 1,4 ; u2= 1,41 ; u3= 1,414 ; u4= 1,4142 ; u5= 1,41421 ; ...
6. u0= 2 ; u1= 3 ; u2= 5 ; u3= 7 ; u4= 11 ; u5= 13 ; u6= 17 ; u7= 19 ; ...
7. u0= 0 ; u1= 1 ; u2=−1 ; u3= 2 ; u4=−2 ; u5= 3 ; u6=−3 ; ...
8. u0= 5 ; u1= 11 ; u2= 23 ; u3= 47 ; u4= 95 ; ....
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1.2 Deux manières pour définir une suite
Une suite peut-être définie soit de manière fonctionnelle soit de manière récursive.
1.2.1 Suite donnée de manière fonctionnelle
Une suite est donnée de manière fonctionnelle lorsque l’on a un=f(n)pour tout noù fest une
fonction (bien définie).
Par exemple :
•dans l’exemple 1.on a un=n,
•dans l’exemple 2.on a un= 2n,
•dans l’exemple 3. un= 2n+ 1,
•dans l’exemple 4. un= 2n.
1.2.2 Suite donnée de manière récursive
Définir une suite de manière récursive consiste en deux choses :
i. Donner le premier terme [initialisation],
ii. Expliquer comment on passe d’un terme au suivant [hérédité].
La première étape correspond à donner u0(ou bien u1si on commence l’indexation en n= 1 ou
bien u2...). La deuxième étape consiste à avoir une relation du type un+1 =f(un)où fest une
fonction.
Cela est souvent écrit de manière concise en (u0=un certain nombre
un+1 =f(un).
La suite de l’exemple 8) est donnée de manière récursive : (u0= 5
un+1 = 2un+ 1 .
Remarque.
•Il existe des suites dont on ne connait ni expression fonctionnelle ni expression récursive.
Par exemple trouver soit une forme fonctionnelle soit une forme récursive pour la suite des
nombres premiers est un problème qui reste sans réponse depuis plus de 2500 ans.
•Connaître l’expression fonctionnelle d’une suite est en général beaucoup plus utile que connaître
une expression récursive car par exemple pour calculer u1000 on a pas besoin de calculer u999.
2 Deux exemples classiques de suite
2.1 Les suites arithmétiques
Définition. Une suite (un)est dite arithmétique si pour passer d’un terme au suivant on
ajoute toujours le même nombre. Ce nombre est appelé la raison de la suite.
Cela correspond à l’expression récursive : un+1 =un+ravec r∈Rqui est indépendant de n.
Exemple. Les suites donnée dans les exemples 1., 2. et 3. sont arithmétiques de raison r= 1
pour l’exemple 1. et r= 2 pour les deux autres.
Proposition.
•Une fois que l’on s’est donnée le premier terme u0∈Ret la raison r∈Ril existe une unique
suite arithmétique de premier terme u0et de raison r.
•De plus une expression fonctionnelle de cette suite est un=u0+n×r.
•Une suite est arithmétique si et seulement si un+1 −unest indépendant de n. Dans ce cas le
nombre trouver est la raison de la suite.
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Exercice 1
1. Soit (un)une suite arithmétique dont on notera rla raison. Sachant que u0= 2 et r=−3,
donner une expression fonctionnelle de unet calculer u10 et u20.
2. Soit (un)une suite arithmétique. Sachant que u0= 2 et u1= 5, calculer u2et u1000.
3. Soit (un)une suite arithmétique. Sachant que u5= 17 et u10 = 12, calculer u0et u50.
2.2 Les suites géométriques
Définition. Une suite (un)est dite géométrique si pour passer d’un terme au suivant on
multiplie toujours par le même nombre. Ce nombre est appelé la raison de la suite.
Cela correspond à un+1 =q×unavec q∈Rqui est indépendant de n.
Exemple. La suite donnée dans l’exemple 4. est géométrique de raison q= 2.
Proposition.
•Une fois que l’on s’est donné le premier terme u0∈Ret la raison q∈Ril existe une unique
suite géométrique de premier terme u0et de raison q.
•De plus une expression fonctionnelle de cette suite est un=qn×u0.
•Une suite qui ne s’annule pas est géométrique si et seulement si un+1
un
est indépendant de n.
Dans ce cas le nombre trouver est la raison de la suite.
Exercice 2
1. Soit (un)une suite géométrique de raison q=1
4. Sachant que u0= 32, donner un expression
fonctionnelle de un.
2. Soit (un)une suite géométrique de raison q > 0telle que u0= 5 et u10 = 60. Calculer u100.
3. Soit (un)une suite géométrique de raison q > 0telle que u0= 3 et u2= 12. Calculer u5.
2.3 Variation et convergence d’une suite
2.3.1 Variation d’une suite
Définition.
•On dit qu’une suite (un)est croissante si pour tout non a un+1 ≥un[ou bien un+1 −un≥0] ;
•On dit qu’une suite (un)est strictement croissante si pour tout non a un+1 > un[ou bien
un+1 −un>0] ;
•On dit qu’une suite (un)est décroissante si pour tout non a un+1 ≤un[ou bien un+1 −un≤0] ;
•On dit qu’une suite (un)est strictement décroissante si pour tout non a un+1 < un[ou bien
un+1 −un<0].
Remarque. Une suite peut n’être ni croissante ni décroissante. [Par exemple la suite donnée
précédemment dans l’exemple 7.]
Théorème.
1. Une suite arithmétique de raison rest :
•croissante si r > 0
•décroissante si r < 0
•constante si r= 0.
2. Une suite géométrique de premier terme positif et de raison qest :
•croissante si q > 1
•décroissante si 0< q < 1
•constante si q= 1 ou bien u0= 0 et constante à partir de n= 1 si q= 0
•ni croissante ni décroissante si q < 0.
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Exercice 3 ⋆Démontrer le théorème précédent [on ne traitera que le cas où q≥0pour la
deuxième partie du théorème].
Exercice 4 On place 1000 euros, avec intérêts annuels composés (c’est-à-dire qu’à la fin de
chaque année, les intérêts sont incorporés au capital), à un taux de 2%. On note unla somme,
en euros, dont on dispose à la fin de la n-ème année, en convenant que u0= 1000.
1. Calculer unpour n= 0,1,2.
2. Calculer un+1 en fonction de un. Quelle est la nature de la suite (un)?
3. En déduire une expression de unen fonction de n.
4. Après combien d’années dispose-t-on d’au moins 2000 euros ?
2.3.2 Limite d’une suite
Définition. Sans rentrer dans les détails on dit que
•la suite (un)nconverge vers un nombre ℓsi pour nsuffisamment grand, unest arbitrairement
proche de ℓ. On note alors limn→∞ un=ℓ.
•la suite (un)ndiverge vers +∞(resp. −∞) si pour nsuffisamment grand, unest arbitrairement
grand (resp. négatif). On note alors limn→∞ un= +∞(resp. limn→∞ un=−∞).
Exercice 5 ⋆Montrer que :
1. Si unest une suite arithmétiques de raison r > 0alors limn→∞ un= +∞.
2. Si unest une suite arithmétiques de raison r < 0alors limn→∞ un=−∞.
3. Si unest une suite géométrique de raison q∈(−1,1) alors limn→∞ un= 0.
4. Si unest une suite géométrique de raison q > 1alors limn→∞ un=
+∞si u0>0
−∞ si u0<0
0si u0= 0
.
3 Quelques exercices
Exercice 6 Soit : 
u0=−2,
un+1 =2un
3−un
pour n≥0.
On pose vn=un
1−un
pour tout n∈N.
1. Montrer que (vn)est géométrique.
2. En déduire une expression de unen fonc-
tion de n.
3. Étudier la convergence de (un).
Exercice 7 Un particulier contracte un prêt de d0= 200 000edans le cadre d’une opération
immobilière. Les modalités de remboursement sont les suivantes :
•intérêts : à la fin de chaque année, la somme due au début de l’année augmente de 5%
•remboursement : à la fin de chaque année, le particulier rembourse une somme de Re.
On note dnla somme due (en euros) au bout de nannées.
1. Montrer que pour tout, dn+1 = 1,05dn−Rpour tout n∈N(du moins tant qu’il reste
quelque chose à rembourser).
2. Montrer que la suite (un)n∈Ndéfinie par un=dn−20Rest une suite géométrique dont on
déterminera la raison. En déduire que dn= 1,05nd0−1,05n×20R+ 20R.
3. Quel doit être le montant des annuités (remboursements annuels, à 10−2près) pour que le
prêt soit remboursé au bout de 15 ans ? Combien cela représente-t-il par mois ? À combien
se monteront les intérêts, au final ?
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