M. El Azhari TRAVAUX DE HUSAIN ET AL. SUR LA CONTINUITÉ

Математичнi Студiї. Т.45, №2 Matematychni Studii. V.45, No.2
УДК 512.7
M. El Azhari
TRAVAUX DE HUSAIN ET AL. SUR LA CONTINUIT´ E AUTOMATIQUE
DES CARACT` ERES
M. El Azhari. Works of Husain and others on the automatic continuity of characters, Mat.
Stud. 45 (2016), 205–212.
We give a survey of Husain, Ng and Liang’s results concerning the automatic continuity of
algebra homomorphisms. We also give the improvements obtained by Joseph, Akkar, Oudadess,
Zelazko and ourselves.
1. Introduction. Nous donnons un aper¸cu des r´esultats de T. Husain, S. B. Ng et J. Liang
concernant la continuit´e ou la bornitude des homomorphismes d’alg`ebres. Nous donnons
aussi les am´eliorations apport´ees par G. A. Joseph, M. Akkar, M. Oudadess, W. Zelazko et
nous mˆemes (cf. [2], [3], [15], [18] et [20]).
Nous obtenons d’abord un th´eor`eme (th´eor`eme III.1.6) de continuit´e s´equentielle des
homomorphismes sur les alg`ebres s´equentielles. Ce th´eor`eme recouvre et g´en´eralise les r´esul-
tats de T. Husain et S. B. Ng ([12, th´eor`eme 1]), G. A. Joseph ([15, th´eor`eme 2.1]), M. Ouda-
dess ([18, th´eor`eme 5.2]), et T. Husain ([6, th´eor`eme 2]).
Ensuite, nous obtenons un th´eor`eme (th´eor`eme III.3.3) de continuit´e automatique sur
les alg`ebres r´eelles. Comme cons´equence, on a deux r´esultats de T. Husain et S. B. Ng ([11,
th´eor`eme 1] et [10, th´eor`eme 1]).
Dans la derni`ere partie consacr´ee aux alg`ebres `a bases, nous donnons deux nouvelles
preuves du r´esultat de T. Husain et J. liang affirmant que si Aest une alg`ebre de Fr´echet `a
base orthogonale et inconditionnelle, alors tout caract`ere de Aest continu.
2. Pr´eliminaires. 2.1. Alg`ebres topologiques. Une alg`ebre topologique est une alg`ebre
(sur K=Rou C) munie d’une topologie s´epar´ee, compatible avec sa structure d’espace
vectoriel et pour laquelle la multiplication est s´epar´ement continue. Une alg`ebre topologique
est dite localement convexe (en abr´eg´e a.l.c.) si elle munie d’une topologie d’espace localement
convexe (en abr´eg´e e.l.c.). Si elle m´etrisable et compl`ete, on dit que c’est une B0-alg`ebre. Une
alg`ebre topologique Aest dite localement multiplicativement convexe (en abr´eg´e a.l.m.c.) si
Aest munie d’une topologie d´efinie par une famille (pλ)λ∈Λde semi-normes d’espace vectoriel
v´erifiant en outre pλ(xy)≤pλ(x)pλ(y)pour tout λ∈Λet tous x, y in A. Une a.l.m.c compl`ete
m´etrisable est dite une alg`ebre de Fr´echet. Soit Aune alg`ebre topologique, on note par M(A)
l’ensemble des caract`eres continus (non nuls) de A.
Soient Aune a.l.c. et βAl’ensemble des born´es, absolument convexes, ferm´es, idempotents
de A. Pour chaque B∈βA,on note par ABle sous espace vectoriel engendr´e par B, AB
2010 Mathematics Subject Classification: 46H40.
Keywords: automatic continuity; algebra homomorphisms.
doi:10.15330/ms.45.2.205-212
c
⃝M. El Azhari, 2016

206 M. EL AZHARI
munie de la jauge ∥·∥Best une alg`ebre norm´ee. Si (AB,∥·∥B)est compl`ete pour tout B∈βA,
on dit que Aest pseudocomplete.
2.2. Alg`ebres infras´equentielles et rayon de r´egularit´e. Soit Aune alg`ebre topologique.
(i) Aest fortement s´equentielle s’il existe un voisinage Ude 0tel que, pour tout x∈U,
xk→k0.
(ii) Aest s´equentielle si pour toute suite (xn)n, xn→n0,il existe un xmtel que xk
m→k0.
(iii) Aest infras´equentielle si, pour tout born´e Bde A, il existe λ > 0tel que, pour tout x
de B,(λx)k→k0
On a (i)⇒(ii)⇒(iii).
Soit A une a.l.c. Pour x∈A, on pose:
β(x) = inf{r > 0: ((r−1x)n)nest born´ee },o`u inf ∅=∞.
β(x)est la r´egularit´e de xet βle rayon de r´egularit´e. Un ´el´ement xest r´egulier si, et
seulement si, β(x)<∞.D’apr`es [4], on a:
(1) β(λx) = |λ|β(x)pour tous x∈Aand λ∈K;
(2) ∞>|λ|> β(x)entraine (λ−1x)n→n0.
Soit Aune a.l.c. D’apr`es [18], on a:
(i) Aest infras´equentielle si, et seulement si, βest born´e;
(ii) Aest s´equentielle si, et seulement si, pour toute suite (xn)nconvergeant vers 0,il existe
un certain mtel que β(xm)<1.
(iii) Aest fortement s´equentielle si, et seulement si, βest continue.
2.3. Alg`ebres topologiques `a bases. Soit Eun espace vectoriel topologique (en abr´eg´e
e.v.t.). Eest dit `a base s’il existe une suite (xi)i≥1d’´el´ements de Etelle que pour tout xde E
il existe une suite complexe unique (αi)i≥1tel que x= limn→∞ ∑n
i=1 αixi=∑∞ i=1 αixi.Pour
chaque i≥1, l’application lin´eaire ci:E→C, ci(x) = αi,est appel´ee fonction coordonn´ee.
(xi)i≥1est dite une base inconditionnelle de Esi ∑∞
i=1 aiαixi∈Ed`es que ∑∞ i=1 αixi∈Eet
|ai| ≤ 1.
Soit Aune alg`ebre topologique `a base (xi)i≥1,on dit que la base (xi)i≥1est orthogonale
si xixj=δij xipour tous i≥1et j≥1, o`u δij est le symbole de Kronecker.
Soit Eun espace de Fr´echet dont la topologie est d´efinie par la famille {∥.∥r:r∈N}de
seminormes et soit (xn)n≥1une base inconditionnelle de E. Soient f∈E′(le dual topologique
de E) et x∈E, supf∈Λr∑∞
n=1 |cn(x)||f(xn)|<∞,o`u Λr={f∈E′: sup∥x∥r≤1|f(x)| ≤ 1}.
Posons ∥x∥′
r= supf∈Λr∑∞
n=1 |cn(x)||f(xn)|,alors {∥.∥′
r:r∈N}est une famille de semi-
normes d´efinissant la topologie originale de E.
3. Sur les travaux de Husain, Ng et Liang. 3.1. Alg`ebres s´equentielles. Dans [12],
T. Husain et S. B. Ng consid´erent les alg`ebres s´equentielles et donnent les r´esultats suivants:
Th´eor`eme 3.1.1 ([12]). Soit Aune a.l.c. s´equentiellement compl`ete. Si Aest s´equentielle,
alors tout caract`ere de Aest born´e.

TRAVAUX DE HUSAIN ET AL. SUR LA CONTINUIT ´ E AUTOMATIQUE 207
Corollaire 3.1.2 ([12]). Soit Aune B0-alg`ebre s´equentielle, alors tout caract`ere de Aest
continu.
La d´emonstration du th´eor`eme 3.1.1 est assez longue, elle repose sur le fait suivant: ´etant
donn´e z∈Atel que zk→k0,on construit une alg`ebre de Banach commutative (B, ∥ · ∥)
telle que B⊂A, z ∈Bet ∥z∥ ≤ 1.
Dans [15], G. A. Joseph donne une d´emonstration courte du th´eor`eme 3.1.1 en utilisant
quelques notions bornologiques dues `a G. R. Allan. Le r´esultat de G. A. Joseph est le suivant:
Th´eor`eme 3.1.3 ([15]). Soit Aune a.l.c. pseudocompl`ete. Si Aest s´equentielle, alors tout
caract`ere de Aest born´e.
Le th´eor`eme 3.1.3 constitue une am´elioration du th´eor`eme 3.1.1.
Remarque. Etant donn´e z∈Atel que zk→k0.Soit Cz={z, z2, ..., zn, ...},Czest un born´e
idempotent. On consid`ere Fla fermeture de l’enveloppe disqu´ee de Cz, alors (AF,∥.∥F)est
une alg`ebre de Banach commutative telle que AF⊂A, z ∈AFet ∥z∥F≤1,ainsi une bonne
partie de la d´emonstration de Husain et Ng est simplifi´ee.
Dans [18], M. Oudadess caract´erise les alg`ebres s´equentielles `a l’aide du rayon de r´egula-
rit´e. Comme cons´equence, il obtient le r´esultat suivant:
Th´eor`eme 3.1.4 ([18]). Soit Aune a.l.c. s´equentielle et pseudocompl`ete. Alors tout carac-
t`ere de Aest s´equentiellement continu.
Le th´eor`eme 3.1.4 recouvre et g´en´eralise les th´eor`emes 3.1.1 et 3.1.3. Dans [6], T. Husain
donne le r´esultat suivant:
Th´eor`eme 3.1.5 ([6]). Soient A, B deux a.l.c. s´equentiellement compl`etes, A´etant s´equen-
tielle et Bsatisfait `a la condition suivante:
(C): Pour toute suite (yn)ndans B, yn̸= 0, yn90,il existe une suite (fm)mde caract`eres
de Btel que infn,m |fm(yn)|=ϵ > 0.
Alors tout homomorphisme T:A→Best s´equentiellement continu.
Le th´eor`eme 3.1.4 ne peut pas se d´eduire du th´eor`eme 3.1.5 car le corps des complexes
Cne satisfait pas `a la condition (C), en effet soit (yn)nla suite de Cd´efinie par yn=1
nsi
nest pair et yn= 1 si nest impair. Il est clair que yn̸= 0 et yn90.Pour toute suite de
caract`eres de C,on a infn,m |fm(yn)|= 0 car pour tout m, fmest ou bien l’application nulle
ou bien l’application identique.
En modifiant la condition (C) par la condition (D), on obtient un th´eor`eme qui recouvre
et g´en´eralise les th´eor`emes 3.1.1, 3.1.3, 3.1.4 et 3.1.5.
Th´eor`eme 3.1.6. Soient A, B deux a.l.c., A´etant s´equentielle et pseudocomplete et B
satisfait `a la condition suivante:
(D): Pour toute suite (yn)ndans B, yn̸= 0, yn90,il existe un caract`ere fde Btel que
f(yn)90.
Alors tout homomorphisme T:A→Best s´equentiellement continu.
Preuve. Supposons que Tn’est pas s´equentiellement continu. Alors il existe une suite (xn)n
dans A, xn→0mais T xn90.Posons yn=1
2T xn,on peut supposer que yn̸= 0 pour
tout n. D’apr`es (D), il existe un caract`ere fde Btel que f(yn)90.On peut trouver
une sous suite (ynk)kde (yn)ntelle que infk|f(ynk)|=ϵ > 0.Posons znk=ϵ−1xnk,
znk→k0.Comme Aest s´equentielle, il existe z∈ {znk}k, z =znk0pour un certain k0,tel
que zi→i0.Il est clair que f◦Test un caract`ere de A. Soit Fla fermeture de l’enveloppe

208 M. EL AZHARI
disqu´ee de {z, z2, ..., zn, ...}.(AF,∥ · ∥F)est une alg`ebre de Banach commutative telle que
AF⊂A, z ∈AFet ∥z∥F≤1.On a |f◦T(x)| ≤ ∥x∥Fpour tout x∈AF,en particulier
|f◦T(z)| ≤ ∥z∥F≤1.Par construction,
|f◦T(z)|=|f(ϵ−1T xnk0)|= 2ϵ−1|f(ynk0)| ≥ 2,ce qui est impossible.
Remarque. Toute alg`ebre v´erifiant la condition (C) satisfait `a la condition (D) et de mˆeme
le corps des complexes satisfait `a la condition (D).
3.2. Alg`ebres infras´equentielles. Dans [6], T. Husain consid`ere les alg`ebres infras´equen-
tielles et donne le r´esultat suivant:
Th´eor`eme 3.2.1 ([6]). Soit Aune a.l.c. s´equentiellement compl`ete. Si Aest infras´equen-
tielle, alors tout caract`ere de Aest born´e.
La d´emonstration du th´eor`eme 3.2.1 repose sur le fait d´ej`a cit´e: ´etant donn´e z∈Atel que
zk→k0,on construit une alg`ebre de Banach commutative (B, ∥ · ∥)telle que B⊂A, z ∈B
et ∥z∥ ≤ 1.
Dans [18], M. Oudadess caract´erise les alg`ebres infras´equentielles `a l’aide du rayon de
r´egularit´e β. Comme cons´equence, il obtient le r´esultat suivant:
Th´eor`eme 3.2.2 ([18]). Soit Aune a.l.c. β-r´eguli`ere pseudocomplete. Alors l’ensemble M∗
des caract`eres de Aest equiborn´e, i.e., pour tout born´e Bde A, ∪{f(B): f∈M∗}est
born´e. En particulier, tout caract`ere de Aest born´e.
Le th´eor`eme 3.2.2 g´en´eralise le th´eor`eme 3.2.1.
3.3. Alg`ebres r´eelles. L’outil fondamental dans cette partie est la technique de Do. Sin.
Sya ([19]) et sa g´en´eralisation. Dans [17], S. B. Ng et S. Warner g´en´eralisent la technique de
Do. Sin. Sya de la fa¸con suivante:
Th´eor`eme 3.3.1 ([17]). Soit Kun corps archim´edien. Soit (H, +) un groupe topologique
ab´elien, m´etrisable et complet. Soit s:H→Hune application continue telle que s(0) = 0.
Si fest un homomorphisme de (H, +) dans (K, +) tel qu’il existe v∈N, f (x)2≤v.f(s(x))
pour tout xde H, alors fest continu.
Dans [17], l’´enonc´e du th´eor`eme 3.3.1 est donn´e lorsque K=R, mais le r´esultat reste vrai
lorsque on remplace Rpar un corps archim´edien. Comme cons´equence du th´eor`eme 3.3.1,
on a:
Th´eor`eme 3.3.2 (Lemme de Do. Sin. Sya). Soit Aune alg`ebre topologique m´etrisable
compl`ete. Soit Bun R-sous espace vectoriel de A. On suppose que Best ferm´e et {x2:x∈
B} ⊂ B. Soit fune forme lin´eaire sur Btelle que f(x)2≤f(x2)pour tout xde B, alors f
est continue.
Nous donnons un th´eor`eme dont la d´emonstration repose essentiellement sur la g´en´erali-
sation de la technique de Do. Sin. Sya. Comme cons´equence, nous obtenons deux th´eor`emes
de T. Husain et S. B. Ng (th´eor`eme 1 de [11] et th´eor`eme 1 de [10]).
Th´eor`eme 3.3.3. Aet B´etant deux R-e.v.t. m´etrisables complets. Soient s:A→A,
h:B→Bdeux applications, s´etant continue et s(0) = 0.Consid´erons Ih={g∈
B∗:g(h(x)) = g(x)2pour tout xde B}(B∗dual alg´ebrique de B) et supposons que Ih
est non vide. Si Bsatisfait `a la condition:
(P) pour toute suite (yn)ndans B, yn̸= 0, yn90,il existe f∈Ihtel que f(yn)90;
alors toute application lin´eaire Tde Adans Btelle que T(s(x)) = h(T x)pour tout xde A,
est continue.

TRAVAUX DE HUSAIN ET AL. SUR LA CONTINUIT ´ E AUTOMATIQUE 209
Preuve. Supposons que Tn’est pas continue. Il existe une suite (xn)ndans A, xn→0mais
T xn90.On peut supposer que xn̸= 0 et T xn̸= 0 pour tout n≥1.Par hypoth`ese, il
existe f∈Ihtel que f(T xn)90.On peut construire `a partir de la suite (xn)n,une suite
(am)mtelle que am→0et infmf(T am) = ϵ > 0.On a ϵ−1am→0,ainsi s(ϵ−1am)→0car
sest continue. Posons ym=s(ϵ−1am)pour tout m≥1.Alors f(T ym) = f(T(s(ϵ−1am))) =
f(h(T(ϵ−1am))) = f(T(ϵ−1am))2≥1pour tout m≥1.On d´efinit gk:Ak+1 →Apour
k≥0: g0(y1) = y1g1(y1, y2) = y1+s(y2)· · · gk(y1, ..., yk+1) = g1(y1, gk−1(y2, ..., yk+1)).
En utilisant la mˆeme construction faite dans [17], on peut d´efinir une sous suite (zk)k≥0
de (ym)m≥1telle que pour tout k≥0,(gp−k(zk, ..., zp))p≥kest une suite de Cauchy. Soit
ck= limp→∞ gp−k(zk, ..., zp).Par d´efinition gp−k(zk, ..., zp) = zk+s(gp−(k+1)(zk+1, ..., zp)),
on obtient ck=zk+s(ck+1),ainsi T ck=T zk+T(s(ck+1)).On a f(T ck) = f(T zk) +
f(T(s(ck+1))) = f(T zk) + f(h(T ck+1)) = f(T zk) + f(T ck+1)2≥1 + f(T ck+1)2pour tout
k≥0.D’ou f(T c0)≥1 + f(T c1)2≥2 + f(T c2)2≥k+f(T ck)2,i.e. f(T c0)≥kpour tout
k≥0,ce qui est absurde.
Comme cons´equence, on a:
Th´eor`eme 3.3.4. Soient A, B deux R-alg`ebres topologiques m´etrisables et compl`etes. On
suppose que Bsatisfait `a la condition:
(D): Pour toute suite (yn)ndans B, yn̸= 0, yn90,il existe un caract`ere fde Btel que
f(yn)90.
Alors toute application lin´eaire T:A→Bv´erifiant T(x2)=(T x)2pour tout xde A, est
continue.
Preuve. On consid`ere s:A→A, s(x) = x2et h:B→B, h(x) = x2.Remarquons que fde
la condition (D) est dans Ih.On applique alors le th´eor`eme 3.3.3.
Th´eor`eme 3.3.5. Soit Aune R-a.l.m.c. s´equentiellement compl`ete. Soit Bune R-alg`ebre
topologique m´etrisable compl`ete satisfaisant `a la condition (D) du th´eor`eme 3.3.4. Alors
toute application lin´eaire Tde Adans Bv´erifiant T(x2) = (T x)2, x ∈A, est born´ee.
Preuve. On applique le th´eor`eme 3.3.3 et le th´eor`eme de structure de M. Akkar ([1]) affirmant
que si Aest une a.l.m.c. s´equentiellement compl`ete, alors Aest bornologiquement limite
inductive d’alg`ebres de Fr´echet.
Remarques.
1. Les th´eor`emes 3.3.4 et 3.3.5 sont des am´eliorations des th´eor`emes 1 de [11] et 1 de [10].
2. Dans l’´enonc´e du th´eor`eme 3.3.3, on peut remplacer Rpar un corps archim´edien.
3. Cest une R-alg`ebre de Banach, mais Cne satisfait pas `a la condition (D) car le seul
caract`ere r´eel de Cest l’application nulle de Cdans R.
4. On peut remplacer Bdans les th´eor`emes 3.3.4 et 3.3.5 par R;c’est une R-alg`ebre de
Banach qui satisfait `a la condition (D).
Comme application du th´eor`eme 3.3.3, on a:
Corllaire 3.3.6. Soit Aun R-e.v.t. m´etrisable et complet. Soit s:A→Aune application
continue avec s(0) = 0. Consid´erons Is={g∈A∗:g(s(x)) = g(x)2pour tout xde A}et
supposons que Isest non vide. Si Asatisfait `a la condition:
(P): Pour toute suite (yn)ndans A, yn̸= 0, yn90,il existe f∈Istel que f(yn)90;
alors Aposs´ede une unique topologie d’e.v.t. m´etrisable complet.