1 L`alg`ebre commutative K[ u], polynôme minimal

Polynˆomes d’endomorphismes en dimension finie. Applications
Les notions de valeurs, vecteurs, espaces propres et de polynˆome caract´eristique sont suppos´ees connues.
Dans ce qui suit, le corps commutatif Kest suppos´e infini et uest un endomorphisme de E.
1 L’alg`ebre commutative K[u],polynˆome minimal
Pour tout u∈ L(E),la sous alg`ebre de L(E) engendr´ee par uest constitu´ee des endomorphismes v=P(u) o`u Pest
dans K[X].On note naturellement K[u] cette alg`ebre qui est commutative.
On se donne u∈ L(E).
Th´eor`eme 1 Soit P∈K[X].Pour toute valeur propre λ∈Sp (u), P (λ)est valeur propre de P(u).
Dans le cas o`u Kest alg´ebriquement clos, on a :
Sp (P(u)) = {P(λ)|λ∈Sp (u)}
L’espace vectoriel L(E) ´etant de dimension n2,la famille ©uk|0≤k≤n2ªest li´ee et en cons´equence, il existe un
polynˆome P∈K[X]\ {0}tel que P(u) = 0.Il en r´esulte que l’ensemble :
Iu={P∈K[X]|P(u) = 0}
n’est pas r´eduit au polynˆome nul. Cet ensemble est le noyau du morphisme d’alg`ebres P7→ P(u),c’est donc un id´eal de
l’anneau K[X].Cet anneau ´etant principal, on peut donner la d´efinition suivante.
D´efinition 1 On appelle id´eal annulateur de ul’id´eal Iuet polynˆome minimal de ule g´en´erateur unitaire de cet id´eal. On
note πuce polynˆome.
On d´efinit de mani`ere analogue l’id´eal annulateur et le polynˆome minimal d’une matrice A∈ Mn(K).
Remarque 1 En dimension infinie, on peut d´efinir l’id´eal annulateur Iuet le polynˆome minimal πu`a condition que Iune
soit pas r´eduit `a {0}.Consid´erer l’endomorphisme de d´erivation sur C∞(R,R).
Remarque 2 Les homoth´eties sont les seuls endomorphismes ayant un polynˆome minimal de degr´e ´egal `a 1.
Exemple 1 Le polynˆome minimal d’un endomorphisme nilpotent est Xqet r´eciproquement.
Exemple 2 Le polynˆome minimal d’un projecteur est πu(X) = Xsi u= 0, πu(X) = X−1si u=Id, πu(X) = X2−X
dans les autres cas.
Exercice 1 Montrer que si Fest un sous-espace vectoriel de Estable par u, alors le polynˆome minimal de la restriction de
u`a Fdivise celui de u.
Th´eor`eme 2 Pour tout polynˆome annulateur P∈Iu,on a :
Sp (u)⊂P−1{0}
et dans le cas particulier du polynˆome minimal, on a :
Sp (u) = π−1
u{0}
En utilisant le th´eor`eme de division euclidienne dans K[X],on a le r´esultat suivant.
Th´eor`eme 3 L’espace vectoriel K[u]est de dimension ´egale au degr´e pude πu,une base ´etant donn´ee par ¡uk¢0≤k≤pu−1.
Exercice 2 Soient E1,··· , Erdes sous-espaces de Enon r´eduit `a {0},stables par uet tels que E=
r
M
k=1
Ek.Pour kcompris
entre 1et r, on d´esigne par uk∈ L(Ek)la restriction de u`a Eket par πkle polynˆome minimal de uk.Montrer que
πu=π1∨ ··· ∨ πr(ppcm de π1,··· , π2).
Exercice 3 Soit A∈ Mn(R)une matrice r´eelle. Cette matrice est aussi une matrice complexe. En d´esignant respectivement
par πA,Ret πA,Cle polynˆome minimal de Adans R[X]et C[X],montrer que πA,R=πA,C.
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2 Le th´eor`eme de Cayley-Hamilton
Th´eor`eme 4 (Cayley-Hamilton) Si Puest le polynˆome caract´eristique de u, on a alors Pu(u) = 0.
Corollaire 1 Le polynˆome minimal πudivise le polynˆome caract´eristique Pu.Il est donc de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n.
Remarque 3 Si le corps Kest alg´ebriquement clos, le polynˆome caract´eristique de us’´ecrit alors :
Pu(X) = (−1)n
p
Y
k=1
(X−λk)αk,
avec αk∈N−{0}et les λkdeux `a deux distincts. Le polynˆome minimal πu´etant un diviseur de Puavec les mˆemes racines,
il s’´ecrit :
πu(X) =
p
Y
k=1
(X−λk)βk
avec 1≤βk≤αk.
Remarque 4 Dans le cas o`u l’endomorphisme uest inversible, le th´eor`eme de Cayley-Hamilton nous donne un moyen de
calculer l’inverse de u, si on connaˆıt son polynˆome caract´eristique Pu.
En effet l’´egalit´e Pu(u) = 0 avec Pu(X) =
n
P
k=0
akXkdonne :
u−1=−1
a0
n
X
k=1
akuk−1=−1
det (u)
n
X
k=1
akuk−1.
On peut aussi remarquer que l’inverse de uest un polynˆome en u.
Remarque 5 Le th´eor`eme de Cayley-Hamilton permet ´egalement de calculer uppour tout entier psup´erieur ou ´egal `a nen
fonction de Id, u, ···, un−1.En effet pour p=n, de Pu(u) =
n
P
k=0
akuk= 0 avec an= (−1)n,on d´eduit que un= (−1)n+1
n−1
P
k=0
akuket pour p>nla division euclidienne de Xppar Pu, Xp=QPu+Ravec R= 0 ou R6= 0 et deg (R)< n, donne
up=R(u).
3 Le th´eor`eme de d´ecomposition des noyaux
Th´eor`eme 5 Soient P1,··· , Ppdes polynˆomes non nuls dans K[X]deux `a deux premiers entre eux et P=
p
Y
k=1
Pk.
On a :
ker (P(u)) =
p
M
k=1
ker (Pk(u))
et les projecteurs πk: ker (P(u)) →ker (Pk(u)) ,pour kcompris entre 1et p, sont des ´el´ements de K[u].
On peut remarquer que ce r´esultat est valable aussi pour Ede dimension infinie.
En utilisant le th´eor`eme de d´ecomposition des noyaux, on obtient le crit`ere de diagonalisation suivant.
Th´eor`eme 6 L’endomorphisme uest diagonalisable si, et seulement si, il existe un polynˆome annulateur de uqui est scind´e
`a racines simples.
4 La d´ecomposition de Dunford-Schwarz
Th´eor`eme 7 (Dunford-Schwarz) Soit uun endomorphisme de Edont le polynˆome caract´eristique est scind´e sur K.Il
existe un unique couple (d, v)d’endomorphismes de Etel que dsoit diagonalisable, vsoit nilpotent, det vcommutent et
u=d+v. De plus det vsont des polynˆomes en u.
Cette d´ecomposition permet le calcul des puissances successives de u. En effet comme det vcommutent, on peut utiliser
la formule du binˆome de Newton pour ´ecrire :
∀r≥1, ur= (d+v)r=
r
X
k=0
Ck
rdk◦vr−k.
Exercice 4 Ecrire la d´ecomposition de Dunford-Schwarz de :
A=
1 0 −1 1
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 1 0
∈M4(C)
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