sous-espace ferme de Lp

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Sous-espaces fermés de Lp (µ)
Théorème 1. Soit (X, F, µ) un espace de mesure positive finie, ie µ(X) < ∞. Soit p ∈ [1, ∞[
et F un sev fermé de Lp (µ) tel que F ⊂ L∞ (µ). Alors, F est de dimension finie.
Démonstration. :
Etape 1 : montrons que k.kp et k.k∞ sont équivalentes sur F . L’injection i : L∞ (µ) ,→ Lp (µ)
est continue puisque X est de mesure finie. En effet, pour f ∈ L∞ (µ), il existe un ensemble
mesurable Ω tel que µ(Ωc ) = 0 ce qui équivaut à µ(Ω) = µ(X) car µ est finie et pour lequel on
ait pour tout x ∈ Ω, |f (x)| ≤ kf k∞ < ∞. On a alors :
R
R
R
|f (x)|p dµ(x) = Ω |f (x)|p dµ(x) ≤ Ω kf kp∞ dµ(x) ≤ µ(Ω)kf kp∞
X
1
1
Ainsi, kf kp ≤ µ(Ω) p kf k∞ = µ(X) p kf k∞ (∇1 ).
Objectif 1. Cf. (∇1 ) il reste à montrer que l’injection i : (F, k.kp ) ,→ (F, k.k∞ ) est aussi
continue.
Méthode 1. Comme F est un sev fermé de l’espace de Banach Lp (µ), (F, k.kp ) est lui-même
un espace de Banach. Par linéarité de i : (F, k.kp ) ,→ (F, k.k∞ ) ⊂ (L∞ (µ), k.k∞ ), on va prouver
sa continuité à l’aide du théorème du graphe fermé.
Soit donc (fn )n∈N une suite de (F, k.kp ) et (f, g) ∈ Lp (µ) × L∞ (µ) tels que :
lim kfn − f kp = 0 et lim ki(fn ) − gk∞ = lim kfn − gk∞ = 0
n→∞
n→∞
n→∞
Notre obectif est de montrer que i(f ) = g ⇐⇒ f = g dans L∞ (µ). Pour ce faire, il suffit juste de
montrer que f ∈ L∞ (µ) et que f = g, µ.p.p. Comme (fn )n∈N est une suite de (F, k.kp ), sev fermé
de Lp (µ), naturellement f ∈ (F, k.kp ) et donc f ∈ L∞ (µ). De plus, par l’inégalité de Minkowski
on a :
1
kf − gkp ≤ kf − fn kp + kfn − gkp ≤ kf − fn kp + µ(X) p kfn − gk∞
|
{z
}
cf. (∇1 )
D’après, nos hypothèses de convergence sur la suite (fn )n∈N , on en déduit kf −gkp = 0 =⇒ f = g
µ.p.p et la continuité de i : (F, k.kp ) −→ (F, k.k∞ ). Ainsi, il existe K > 0 tel que pour tout
f ∈ F, kf k∞ ≤ Kkf kp (∇2 )
Etape 2 : Remarquons comme précédemment que F ⊂ L2 (µ). En effet, comme F ⊂ L∞ (µ), avec
R
le même raisonnement qu’à l’étape 1, on a pour tout f ∈ F , X |f (x)|2 dµ(x) ≤ µ(X)2 kf k∞ < ∞
et donc f ∈ L2 (µ). Montrons alors qu’il existe M > 0, tel que pour tout f ∈ F , on ait alors
kf k∞ ≤ M kf k2
Pour ce faire, montrons qu’il existe une constante Cste > 0 tel kf kp ≤ Cstekf k2 , ce qui donnera
le résultat en recollant avec (∇2 ).
1. Si p ≤ 2, l’injection (F, k.k2 ) ,→ (F, k.kp ) est continue, via le théorème d’emboîtement
décroissant puisque X est de mesure finie et il existe donc une constante C > 0 tel que
k.kp ≤ Ck.k2 .
2. Si p > 2, et f ∈ F , on a :
R
R
p−2
||f ||pp = X |f (x)|p dµ(x) = X |f (x)|p−2 |f (x)|2 dµ(x) ≤ kf k∞
kf k22 .
Les normes k.k∞ et k.kp étant équivalentes sur F , il existe C > 0 tel que k.k∞ ≤ Ck.kp sur F et
on en déduit donc pour p > 2 :
kf kpp ≤ C p−2 kf kp−2
kf k22 =⇒ kf k2p ≤ C p−2 kf k22 =⇒ kf kp ≤ C
p
p−2
2
kf k2
et en recollant avec (∇2 ) on a l’existence de M > 0 tel que pour tout f ∈ F :
kf k∞ ≤ M kf k2 (∇3 ).
Etape 3 : Soient (f1 , . . . , fn ) ∈ F ⊂ L2 (µ) une famille libre que l’on peut supposer orthonormale
(quitte à utiliser le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt). On note B la boule unité
fermée de Cn pour la norme euclidienne et pour c = (c1 , . . . , cn ) ∈ B on définit l’élément :
fc = c1 f1 + . . . + cn fn .
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Objectif 2. Montrer que kfc k2 ≤ 1.
Tout d’abord, fc ∈ F ⊂ L2 (µ) puisque fc est combinaison linéaire de f1 , . . . , fn ∈ F ⊂ L2 (µ).
La famille (fi )1≤i≤n étant orthonormale on a :
n
P
kfc k22 =
kci fi k22 =
i=1
n
P
|ci |2 kfi k22 =
i=1
n
P
|ci |2 = kck22 ≤ 1 =⇒ kfc k2 ≤ 1
i=1
Objectif 3. montrer que |fc (x)| ≤ M µ.p.p.
Comme Cn est séparable, la boule unité fermée de Cn pour la norme euclidienne l’est aussi (cf.
Rappels) et il existe une suite (c(k))k∈N dense dans la boule unité de (Cn , k.k2 ). Comme pour
tout k ∈ N, fc(k) ∈ F ⊂ L∞ (µ), à k ∈ N fixé, il existe Ωk mesurable tel que µ(Ωck ) = 0 et pour
tout x ∈ Ωk :
|fc(k) (x)| ≤ kfc(k) k∞
T
On considère alors Ω =
Ωk qui est une partie mesurable dont le complémentaire est natu-
k∈N
rellement de mesure nulle et telle que ∀x ∈ Ω, ∀k ∈ N, |fc(k) (x)|≤ kfc(k) k∞ . D’après (∇3 ), on a
alors pour tout k ∈ N et tout x ∈ Ω :
|fc(k) (x)| ≤ kfc(k) k∞ ≤ M kfc(k) k2 ≤ M
Soit c ∈ B, comme (c(k))k∈N est dense dans B, il existe une suite (c(ki ))i∈N de (c(k))k∈N qui
converge vers c pour la norme k.k2 . Sur Cn , toutes les normes étant équivalentes, (c(ki ))k∈N
converge vers c composantes par composantes et notant c(ki ) = (c(ki )(1) , c(ki )(2) , . . . , c(ki )(n) ) ∈
B et c = (c1 , . . . , cn ) on a alors lim c(ki )(1) = c1 , . . . , lim c(ki )(n) = cn .
i→∞
i→∞
Objectif 4. Montrons que lim fc(ki ) (x) = fc (x) et que |fc (x)| ≤ M pour x ∈ Ω et c ∈ B.
i→∞
B
c
Commençons par montrer que pour x ∈ Ω fixé, la fonction
−→
7−→
R
est continue. En
|fc (x)|
effet,
n
P
|fc (x) − fd (x)| =|
n
P
(ci − di )fi (x) |≤
i=1
|ci − di | | fi (x) |≤ max ||fi ||∞
1≤i≤n
i=1
n
P
|ci − di |
i=1
soit lim |fc (x) − fd (x)| = 0 car ci 7→ di composantes par composantes et donc la continuité de
c→d
l’application ci-dessus. On a donc lim |fc(ki ) (x)| = |fc (x)| ≤ M car |fc(ki ) (x)| ≤ M pour tout
i→∞
i ∈ N. Finalement pour tout x ∈ Ω et tout c ∈ B, |fc (x)| ≤ M .
Objectif 5. Montrons que n ≤ µ(X)M 2 .
Pour x ∈ Ω, on définit c(x) ∈ B par c(x) =


(f1 (x),...,fn (x))
||(f1 (x),...,fn (x))||2
s’il existe i tel que fi (x) 6= 0
0

sinon
Alors, s’il existe i tel que fi (x) 6= 0 :
fc(x) (x) =
1
k(f1 (x),...,fn (x))k2
n
P
|fi (x)|2 = k(f1 (x), . . . , fn (x))k2
i=1
et on a encore l’égalité ci-dessus si fi (x) = 0 pour tout i ∈ [[1, n]]. Ainsi, pour tout x ∈ Ω :
fc(x) (x)2 = k(f1 (x), . . . , fn (x))k22 =
n
P
|fi (x)|2 ≤ M 2 .
i=1
En intégrant, on a :
n
P
R
X
|fi (x)|2 dµ(x) =
i=1
n R
P
n
P
i=1
i=1
|f (x)|2 dµ(x) =
X i
kfi k22 = n et par croissance
de l’intégrale :
n=
R
X
n
P
|fi (x)|2 dµ(x) ≤ M 2
i=1
R
X
1 dµ(x) = M 2 µ(X)
Conclusion : Une famille libre de F a donc au plus M 2 µ(X) éléments et donc F est fini. On
peut aussi le voir ainsi : si on suppose que F est de dimension infinie, alors on peut trouver une
famille libre orthonormée de m > M 2 µ(X) vecteurs de F ⊂ L2 (µ) et d’après ce qui précède, on
aurait aussi m ≤ M 2 µ(X), absurde.
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Rappel 1. Soit X espace mesuré muni d’une mesure positive µ. On a pour p ∈ [1, ∞], Lp (µ)
est un espace vectoriel normé.
Rappel 2. Théorème des espaces emboîtés. On suppose X de mesure finie. Alors, pour
1 ≤ p ≤ q et f ∈ Lq (µ) on a :
1
1
Lq (µ) ⊂ Lp (µ) et kf kp ≤ µ(X) q − p kf kq .
et donc l’injection de Lq (µ) dans Lp (µ) est continue.
Rappel 3. L2 (µ) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire suivant
R
(f, g) 7−→ X f (x)g(x) dµ(x).
Rappel 4. Soient E, F deux espaces de Banach et T : E −→ F une application linéaire. Alors,
T est continue si et seulement si son graphe Γ = {(x, T (x)) | x ∈ E} est fermé.
Rappel 5. Les parties complètes d’un espace métrique complet sont les parties fermées.
Rappel 6. Borne essentielle.
Soit g : X −→ [0, ∞] mesurable. On note S l’ensemble des réels α tels que :µ({x ∈ X | g(x) >
α}) = 0. Pour S = ∅, on pose β = ∞ et sinon β = inf (S). On a β ∈ S et β est appelée la borne
essentielle de g.
Rappel 7. Pour tout fonction f mesurable à valeurs complexes définie sur X, on pose :
kf k∞ = la borne essentielle de |f |.
On définit alors L∞ (µ) comme l’ensemble des fonctions mesurables f telles que kf k∞ < ∞ et
L∞ (µ) = L∞ (µ)/N (µ)
où N (µ) est l’ensemble des fontions mesurables nulles µ.p.p.
Rappel 8. Pour f ∈ L∞ (µ), il existe Ω mesurable tel que
avec :
c
Ω soit négligeable (µ( c Ω) = 0)
∀x ∈ Ω, |f (x)|≤ kf k∞ < ∞.
Rappel 9. Soit (E, T ) un espace topologique. Il est dit séparable s’il contient une partie finie ou
dénombrable dense. Si (E, d) est un espace métrique, alors :
(E, d) est séparable si et seulement si (E, d) est à base dénombrable
c’est à dire qu’il existe une suite d’ouverts (Un )n≥1 de E tel que tout ouvert U de E s’écrive
comme la réunion d’ouverts Un . Ainsi si (E, d) est séparable, pour toute partie A de E, munie
de la topologie induite, on a A est aussi séparable.
Remarque 1. Attention, dans un espace topologique E non métrique, E séparable n’implique
pas forcément A ⊂ E séparable.
Référence :
• Rudin. Analyse fonctionnelle.