sous-espace ferme de Lp

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Sous-espaces fermés de Lp(µ)
Théorème 1. Soit (X, F, µ)un espace de mesure positive finie, ie µ(X)<∞. Soit p∈[1,∞[
et Fun sev fermé de Lp(µ)tel que F⊂L∞(µ). Alors, Fest de dimension finie.
Démonstration. :
Etape 1 : montrons que k.kpet k.k∞sont équivalentes sur F. L’injection i:L∞(µ)→Lp(µ)
est continue puisque Xest de mesure finie. En effet, pour f∈L∞(µ), il existe un ensemble
mesurable Ωtel que µ(Ωc) = 0 ce qui équivaut à µ(Ω) = µ(X)car µest finie et pour lequel on
ait pour tout x∈Ω,|f(x)| ≤ kfk∞<∞. On a alors :
RX|f(x)|pdµ(x) = RΩ|f(x)|pdµ(x)≤RΩkfkp
∞dµ(x)≤µ(Ω)kfkp ∞
Ainsi, kfkp≤µ(Ω) 1
pkfk∞=µ(X)1 pkfk∞(∇1).
Objectif 1. Cf. (∇1)il reste à montrer que l’injection i: (F, k.kp)→(F, k.k∞)est aussi
continue.
Méthode 1. Comme Fest un sev fermé de l’espace de Banach Lp(µ),(F, k.kp)est lui-même
un espace de Banach. Par linéarité de i: (F, k.kp)→(F, k.k∞)⊂(L∞(µ),k.k∞), on va prouver
sa continuité à l’aide du théorème du graphe fermé.
Soit donc (fn)n∈Nune suite de (F, k.kp)et (f, g)∈Lp(µ)×L∞(µ)tels que :
lim
n→∞ kfn−fkp= 0 et lim n→∞ ki(fn)−gk∞= lim n→∞ kfn−gk∞= 0
Notre obectif est de montrer que i(f) = g⇐⇒ f=gdans L∞(µ). Pour ce faire, il suffit juste de
montrer que f∈L∞(µ)et que f=g,µ.p.p. Comme (fn)n∈Nest une suite de (F, k.kp), sev fermé
de Lp(µ), naturellement f∈(F, k.kp)et donc f∈L∞(µ). De plus, par l’inégalité de Minkowski
on a :
kf−gkp≤ kf−fnkp+kfn−gkp≤ kf−fnkp+µ(X)1
pkfn−gk∞
| {z }
cf. (∇1)
D’après, nos hypothèses de convergence sur la suite (fn)n∈N, on en déduit kf−gkp= 0 =⇒f=g
µ.p.p et la continuité de i: (F, k.kp)−→ (F, k.k∞). Ainsi, il existe K > 0tel que pour tout
f∈F, kfk∞≤Kkfkp(∇2)
Etape 2 : Remarquons comme précédemment que F⊂L2(µ). En effet, comme F⊂L∞(µ), avec
le même raisonnement qu’à l’étape 1, on a pour tout f∈F,RX|f(x)|2dµ(x)≤µ(X)2kfk∞<∞
et donc f∈L2(µ). Montrons alors qu’il existe M > 0, tel que pour tout f∈F, on ait alors
kfk∞≤Mkfk2
Pour ce faire, montrons qu’il existe une constante Cste >0tel kfkp≤Cstekfk2, ce qui donnera
le résultat en recollant avec (∇2).
1. Si p≤2, l’injection (F, k.k2)→(F, k.kp)est continue, via le théorème d’emboîtement
décroissant puisque Xest de mesure finie et il existe donc une constante C > 0tel que
k.kp≤Ck.k2.
2. Si p > 2, et f∈F, on a :
||f||p
p=RX|f(x)|pdµ(x) = RX|f(x)|p−2|f(x)|2dµ(x)≤ kfkp−2 ∞kfk2
2.
Les normes k.k∞et k.kpétant équivalentes sur F, il existe C > 0tel que k.k∞≤Ck.kpsur Fet
on en déduit donc pour p > 2:
kfkp
p≤Cp−2kfkp−2 pkfk2
2=⇒ kfk2
p≤Cp−2kfk2
2=⇒ kfkp≤Cp−2
2kfk2
et en recollant avec (∇2)on a l’existence de M > 0tel que pour tout f∈F:
kfk∞≤Mkfk2(∇3).
Etape 3 : Soient (f1, . . . , fn)∈F⊂L2(µ)une famille libre que l’on peut supposer orthonormale
(quitte à utiliser le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt). On note Bla boule unité
fermée de Cnpour la norme euclidienne et pour c= (c1, . . . , cn)∈Bon définit l’élément :
fc=c1f1+. . . +cnfn.

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Objectif 2. Montrer que kfck2≤1.
Tout d’abord, fc∈F⊂L2(µ)puisque fcest combinaison linéaire de f1, . . . , fn∈F⊂L2(µ).
La famille (fi)1≤i≤nétant orthonormale on a :
kfck2
2=
n
P
i=1
kcifik2
2=
n
P
i=1
|ci|2kfik2
2=
n
P
i=1
|ci|2=kck2
2≤1 =⇒ kfck2≤1
Objectif 3. montrer que |fc(x)| ≤ M µ.p.p.
Comme Cnest séparable, la boule unité fermée de Cnpour la norme euclidienne l’est aussi (cf.
Rappels) et il existe une suite (c(k))k∈Ndense dans la boule unité de (Cn,k.k2). Comme pour
tout k∈N,fc(k)∈F⊂L∞(µ), à k∈Nfixé, il existe Ωkmesurable tel que µ(Ωc
k) = 0 et pour
tout x∈Ωk:
|fc(k)(x)| ≤ kfc(k)k∞
On considère alors Ω = T
k∈N
Ωkqui est une partie mesurable dont le complémentaire est natu-
rellement de mesure nulle et telle que ∀x∈Ω,∀k∈N,|fc(k)(x)|≤ kfc(k)k∞. D’après (∇3), on a
alors pour tout k∈Net tout x∈Ω:
|fc(k)(x)| ≤ kfc(k)k∞≤Mkfc(k)k2≤M
Soit c∈B, comme (c(k))k∈Nest dense dans B, il existe une suite (c(ki))i∈Nde (c(k))k∈Nqui
converge vers cpour la norme k.k2. Sur Cn, toutes les normes étant équivalentes,(c(ki))k∈N
converge vers ccomposantes par composantes et notant c(ki) = (c(ki)(1), c(ki)(2), . . . , c(ki)(n))∈
Bet c= (c1, . . . , cn)on a alors lim
i→∞ c(ki)(1) =c1,..., lim i→∞ c(ki)(n)=cn.
Objectif 4. Montrons que lim
i→∞ fc(ki)(x) = fc(x)et que |fc(x)| ≤ Mpour x∈Ωet c∈B.
Commençons par montrer que pour x∈Ωfixé, la fonction B−→ R
c7−→ |fc(x)|est continue. En
effet,
|fc(x)−fd(x)|=|
n
P
i=1
(ci−di)fi(x)|≤
n
P
i=1
|ci−di| | fi(x)|≤ max
1≤i≤n||fi||∞
n
P
i=1
|ci−di|
soit lim
c→d|fc(x)−fd(x)|= 0 car ci7→ dicomposantes par composantes et donc la continuité de
l’application ci-dessus. On a donc lim
i→∞|fc(ki)(x)|=|fc(x)| ≤ Mcar |fc(ki)(x)| ≤ Mpour tout
i∈N. Finalement pour tout x∈Ωet tout c∈B,|fc(x)| ≤ M.
Objectif 5. Montrons que n≤µ(X)M2.
Pour x∈Ω, on définit c(x)∈Bpar c(x) = 
(f1(x),...,fn(x))
||(f1(x),...,fn(x))||2
s’il existe i tel que fi(x)6= 0
0sinon
Alors, s’il existe itel que fi(x)6= 0 :
fc(x)(x) = 1
k(f1(x),...,fn(x))k2
n
P
i=1
|fi(x)|2=k(f1(x), . . . , fn(x))k2
et on a encore l’égalité ci-dessus si fi(x)=0pour tout i∈[[1, n]]. Ainsi, pour tout x∈Ω:
fc(x)(x)2=k(f1(x), . . . , fn(x))k2
2=
n
P
i=1
|fi(x)|2≤M2.
En intégrant, on a : RX
n
P
i=1
|fi(x)|2dµ(x) =
n
P
i=1 RX|fi(x)|2dµ(x) =
n
P
i=1
kfik2
2=net par croissance
de l’intégrale :
n=RX
n
P
i=1
|fi(x)|2dµ(x)≤M2RX1 dµ(x) = M2µ(X)
Conclusion : Une famille libre de Fa donc au plus M2µ(X)éléments et donc Fest fini. On
peut aussi le voir ainsi : si on suppose que Fest de dimension infinie, alors on peut trouver une
famille libre orthonormée de m>M2µ(X)vecteurs de F⊂L2(µ)et d’après ce qui précède, on
aurait aussi m≤M2µ(X), absurde.

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Rappel 1. Soit Xespace mesuré muni d’une mesure positive µ. On a pour p∈[1,∞],Lp(µ)
est un espace vectoriel normé.
Rappel 2. Théorème des espaces emboîtés. On suppose Xde mesure finie. Alors, pour
1≤p≤qet f∈Lq(µ)on a :
Lq(µ)⊂Lp(µ)et kfkp≤µ(X)1
q−1 pkfkq.
et donc l’injection de Lq(µ)dans Lp(µ)est continue.
Rappel 3. L2(µ)est un espace de Hilbert pour le produit scalaire suivant
(f, g)7−→ RXf(x)g(x) dµ(x).
Rappel 4. Soient E, F deux espaces de Banach et T:E−→ Fune application linéaire. Alors,
Test continue si et seulement si son graphe Γ = {(x, T (x)) |x∈E}est fermé.
Rappel 5. Les parties complètes d’un espace métrique complet sont les parties fermées.
Rappel 6. Borne essentielle.
Soit g:X−→ [0,∞]mesurable. On note Sl’ensemble des réels αtels que :µ({x∈X|g(x)>
α}) = 0. Pour S=∅, on pose β=∞et sinon β=inf (S). On a β∈Set βest appelée la borne
essentielle de g.
Rappel 7. Pour tout fonction fmesurable à valeurs complexes définie sur X, on pose :
kfk∞= la borne essentielle de |f|.
On définit alors L∞(µ)comme l’ensemble des fonctions mesurables ftelles que kfk∞<∞et
L∞(µ) = L∞(µ)/N(µ)
où N(µ)est l’ensemble des fontions mesurables nulles µ.p.p.
Rappel 8. Pour f∈L∞(µ), il existe Ωmesurable tel que cΩsoit négligeable (µ(cΩ) = 0)
avec :
∀x∈Ω,|f(x)|≤ kfk∞<∞.
Rappel 9. Soit (E, T)un espace topologique. Il est dit séparable s’il contient une partie finie ou
dénombrable dense. Si (E, d)est un espace métrique, alors :
(E, d)est séparable si et seulement si (E, d)est à base dénombrable
c’est à dire qu’il existe une suite d’ouverts (Un)n≥1de Etel que tout ouvert Ude Es’écrive
comme la réunion d’ouverts Un. Ainsi si (E, d)est séparable, pour toute partie Ade E, munie
de la topologie induite, on a Aest aussi séparable.
Remarque 1. Attention, dans un espace topologique Enon métrique, Eséparable n’implique
pas forcément A⊂Eséparable.
Référence :
•Rudin. Analyse fonctionnelle.