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Sous-espaces fermés de Lp(µ)
Théorème 1. Soit (X, F, µ)un espace de mesure positive finie, ie µ(X)<∞. Soit p∈[1,∞[
et Fun sev fermé de Lp(µ)tel que F⊂L∞(µ). Alors, Fest de dimension finie.
Démonstration. :
Etape 1 : montrons que k.kpet k.k∞sont équivalentes sur F. L’injection i:L∞(µ)→Lp(µ)
est continue puisque Xest de mesure finie. En effet, pour f∈L∞(µ), il existe un ensemble
mesurable Ωtel que µ(Ωc) = 0 ce qui équivaut à µ(Ω) = µ(X)car µest finie et pour lequel on
ait pour tout x∈Ω,|f(x)| ≤ kfk∞<∞. On a alors :
RX|f(x)|pdµ(x) = RΩ|f(x)|pdµ(x)≤RΩkfkp
∞dµ(x)≤µ(Ω)kfkp
∞
Ainsi, kfkp≤µ(Ω) 1
pkfk∞=µ(X)1
pkfk∞(∇1).
Objectif 1. Cf. (∇1)il reste à montrer que l’injection i: (F, k.kp)→(F, k.k∞)est aussi
continue.
Méthode 1. Comme Fest un sev fermé de l’espace de Banach Lp(µ),(F, k.kp)est lui-même
un espace de Banach. Par linéarité de i: (F, k.kp)→(F, k.k∞)⊂(L∞(µ),k.k∞), on va prouver
sa continuité à l’aide du théorème du graphe fermé.
Soit donc (fn)n∈Nune suite de (F, k.kp)et (f, g)∈Lp(µ)×L∞(µ)tels que :
lim
n→∞ kfn−fkp= 0 et lim
n→∞ ki(fn)−gk∞= lim
n→∞ kfn−gk∞= 0
Notre obectif est de montrer que i(f) = g⇐⇒ f=gdans L∞(µ). Pour ce faire, il suffit juste de
montrer que f∈L∞(µ)et que f=g,µ.p.p. Comme (fn)n∈Nest une suite de (F, k.kp), sev fermé
de Lp(µ), naturellement f∈(F, k.kp)et donc f∈L∞(µ). De plus, par l’inégalité de Minkowski
on a :
kf−gkp≤ kf−fnkp+kfn−gkp≤ kf−fnkp+µ(X)1
pkfn−gk∞
| {z }
cf. (∇1)
D’après, nos hypothèses de convergence sur la suite (fn)n∈N, on en déduit kf−gkp= 0 =⇒f=g
µ.p.p et la continuité de i: (F, k.kp)−→ (F, k.k∞). Ainsi, il existe K > 0tel que pour tout
f∈F, kfk∞≤Kkfkp(∇2)
Etape 2 : Remarquons comme précédemment que F⊂L2(µ). En effet, comme F⊂L∞(µ), avec
le même raisonnement qu’à l’étape 1, on a pour tout f∈F,RX|f(x)|2dµ(x)≤µ(X)2kfk∞<∞
et donc f∈L2(µ). Montrons alors qu’il existe M > 0, tel que pour tout f∈F, on ait alors
kfk∞≤Mkfk2
Pour ce faire, montrons qu’il existe une constante Cste >0tel kfkp≤Cstekfk2, ce qui donnera
le résultat en recollant avec (∇2).
1. Si p≤2, l’injection (F, k.k2)→(F, k.kp)est continue, via le théorème d’emboîtement
décroissant puisque Xest de mesure finie et il existe donc une constante C > 0tel que
k.kp≤Ck.k2.
2. Si p > 2, et f∈F, on a :
||f||p
p=RX|f(x)|pdµ(x) = RX|f(x)|p−2|f(x)|2dµ(x)≤ kfkp−2
∞kfk2
2.
Les normes k.k∞et k.kpétant équivalentes sur F, il existe C > 0tel que k.k∞≤Ck.kpsur Fet
on en déduit donc pour p > 2:
kfkp
p≤Cp−2kfkp−2
pkfk2
2=⇒ kfk2
p≤Cp−2kfk2
2=⇒ kfkp≤Cp−2
2kfk2
et en recollant avec (∇2)on a l’existence de M > 0tel que pour tout f∈F:
kfk∞≤Mkfk2(∇3).
Etape 3 : Soient (f1, . . . , fn)∈F⊂L2(µ)une famille libre que l’on peut supposer orthonormale
(quitte à utiliser le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt). On note Bla boule unité
fermée de Cnpour la norme euclidienne et pour c= (c1, . . . , cn)∈Bon définit l’élément :
fc=c1f1+. . . +cnfn.