Calcul intégral: Mesures et intégrales.

Licence de mathématiques 2004-2005
Calcul intégral: Mesures et intégrales.
Exercice 1
Soit (X, T, µ)un espace mesuré.
1. Soient A, B ∈T. Montrer que si A⊂Balors µ(A)≤µ(B).
2. Soient (An)n∈Nune suite de parties mesurables de X. Montrer que µ [
n∈N
An!≤X
n∈N
µ(An)
3. Soient (An)n∈Nune suite décroissantes de parties mesurables de X.
Montrer que, si µ(A1)<∞alors lim
n→∞ µ(An) = µ \
n∈N
An!
Donner un contrexemple quand (X, T, µ) = (N,P(N), µ)avec µla mesure de dénombrement.
Exercice 2
Montrer qu’il n’existe pas de mesure non nulle sur (Z, P (Z)) finie et invariante par translation.
Exercice 3
Pour chacun des cas suivants
1. prouver que µest une mesure sur (X, T),
2. déterminer la classe des parties µ−négligeables de X,
3. expliciter à quelle condition une propriété est vraie µ−presque-partout,
4. pour f∈M+(X, T),exprimer RXf dµ à l’aide de f.
1er cas Xest un ensemble quelconque, T=P(X),aest un élément de Xfixé et µest définie par µ(A) = 1A(a).
2ème cas X=N∗,T=P(N∗)et µest défnie par: µ(A) = X
n∈A
1
navec µ(∅) = 0.
Exercice 4
Soit (X, T, µ)un espace mesuré.
1. Soit (En)n∈Nune suite de parties mesurables telles que
+∞
X
n=0
µ(En)<+∞.
Montrer que l’ensemble des points qui appartiennent à une infinité de Enest négligeable (Lemme de Borel-Cantelli).
2. Soit (En)n∈Nune suite de parties mesurables telles que
µ(∪n∈NEn)<+∞et inf
n∈Nµ(En) = α > 0 (o`u α∈R).
Montrer que l’ensemble Ades points qui appartiennent à une infinité d’ensembles Enest mesurable et que µ(A)≥α.
Exercice 5
Dans cet exercice on se propose de démontrer le théorème d’Egoroff:
Théorème 1 Soit (Ω,T, µ), un espace mesuré de mesure finie (i.e. µ(Ω) est finie). Soit (fn)n∈N∗une suite de fonctions
mesurables sur (Ω,T)à valeurs dans R.On suppose que la suite (fn)n∈N∗admet une limite simple f: Ω →R.On a alors:
Pour tout  > 0, il existe un ensemble mesurable A, tel que µ(A)6et que la suite (fn)n∈N∗tende uniformément vers fsur
X\A.
1. On suppose que µ(Ω) est finie. On se donne une suite (fn)n∈N∗comme dans les hypothèses du théorème.
(a) Pour tout n, k ∈N∗,on considère les ensembles
An,k ={x∈Ω ; |fn(x)−f(x)|>1
k}, Bn,k =[
i>n
Ai,k.
Démontrer que, pour tout k∈N∗,\
n>1
Bn,k =∅.

(b) Déduire qu’il existe un entier n(k)tel que µ(Bn(k),k)6
2k.
(c) Poser A=[
k>1
Bn(k),k et conclure.
2. En considérant (N,P(N), µ), µ la mesure du cardinal, et fnla fonction caractéristique de l’ensemble des entiers compris
entre 1et n, montrer que le théorème est faux si l’espace mesuré n’est pas de mesure finie.
Exercice 6
Soit (X, T, µ)un espace mesuré. On dit que N⊂Xest µ-négligeable s’il existe A∈Ttel que N⊂Aet µ(A) = 0.
1. Montrer que la classe Tdes ensembles du type A∪Navec A∈Tet Nun ensemble µ-négligeable est une tribu sur X.
2. Montrer qu’on définit une mesure ¯µsur (X, T)en posant: ¯µ(A∪N) = µ(A).
Exercice 7
Soient (X, X, µ)un espace mesuré, (Y, Y)un espace mesurable et ϕ:X→Yune application (X,Y)−mesurable.
On pose pour tout A∈ Y,ϕ∗µ(A) = µ(ϕ−1(A)).
1. Montrer que ϕ∗µest une mesure sur (Y, Y).
2. Montrer que ZY fd(ϕ∗µ) = ZX f◦ϕdµ
3. Déterminer ϕ∗µdans le cas où µest la mesure de Dirac sur (X, X)au point a∈X.
Exercice 8
Soit (Ω,T, µ), un espace mesuré. On suppose que la mesure µest finie. On dit que l’application f: Ω →Ωpréserve la
mesure µsi
1. l’application fest T − T mesurable et
2. la mesure image f∗µde µpar fcoincide avec la mesure µ(i.e. f∗µ=µ).
On fixe une application fqui préserve la mesure µet on fixe une partie mesurable A.
Soit FA={ω∈Ω| ∀n∈N∗, fn(ω)6∈ A}où fndésigne la composée de favec elle-même nfois (i.e. f1=fpuis
∀n>1, fn+1 =f◦fn).
1. Montrer que ∀n>1,l’application fnpréserve la mesure µ.
2. Montrer que FA∈ T .
3. ∀p>1,on pose Fp= (fp)−1(F).Montrer que les parties (Fp)p>1sont des parties mesurables deus à seux disjointes
dans Ω.
4. Déduire de ce qui précède que FAest µ-négligeable.
5. Interpréter ce résultat.
Exercice 9
Soit (X, X, µ)un espace mesuré et fnune suite de fonctions mesurables fn:X→[0,+∞].
1. Montrer que Z(lim inf
n(fn))dµ≤lim inf nZfndµ.
2. On suppose qu’il existe une fonction g:X→[0,+∞]telle que Rgdµet |fn| ≤ gpresque partout, pour tout n∈N.
Montrer que Zlim sup
n
(fn)dµ≥lim sup
nZfndµ.
3. Soient fn= 1[n,+∞]. Montrer que la suite (fn)est décroissante et converge vers la fonction nulle. Calculer Rfndλoù
λest la mesure de lebesgue sur R. En déduire que l’hypothèse de majoration par gest nécessaire dans b).

Exercice SI
Soient (X, T, µ)un espace mesuré et (Tn)n∈Nune suite de parties mesurables de X, . Montrer qu’on a l’inégalité:
µ(lim inf
n∈NTn)≤lim inf n∈Nµ(Tn).
(Indication: on remarquera que pour tout entier m≥non a l’inclusion ∩k≥nTn⊂Tm.
Exercice SII
On considère deux espaces mesurables (X, X)et (Y, Y), une application fde Xdans Yet une suite (An)n∈Nd’éléments
de Xtelle que X=∪n∈NAn.
1. Démontrer que f est (X,Y)-mesurable si est seulement si pour tout n∈Nla restriction f|Ande fàAnest (XAn,Y)-
mesurable.
2. Montrer que l’application "partie entière" Edéfinie sur Rest borélienne, et déterminer la mesure-image de la mesure
de Lebesgue λpar l’application E.