Calcul intégral: Mesures et intégrales.

Licence de mathématiques
2004-2005
Calcul intégral: Mesures et intégrales.
Exercice 1
Soit (X, T, µ) un espace mesuré.
1. Soient A, B ∈ T. Montrer que si A ⊂ B alors µ(A) ≤ µ(B).
!
[
2. Soient (An )n∈N une suite de parties mesurables de X. Montrer que µ
An
≤
n∈N
X
µ (An )
n∈N
3. Soient (An )n∈N une suite décroissantes de parties mesurables de X.
!
\
Montrer que, si µ(A1 ) < ∞ alors lim µ(An ) = µ
An
n→∞
n∈N
Donner un contrexemple quand (X, T, µ) = (N, P(N), µ) avec µ la mesure de dénombrement.
Exercice 2
Montrer qu’il n’existe pas de mesure non nulle sur (Z, P (Z)) finie et invariante par translation.
Exercice 3
Pour chacun des cas suivants
1. prouver que µ est une mesure sur (X, T),
2. déterminer la classe des parties µ−négligeables de X,
3. expliciter à quelle condition une propriété est vraie µ−presque-partout,
R
4. pour f ∈ M + (X, T), exprimer X f dµ à l’aide de f .
1er cas X est un ensemble quelconque, T = P(X), a est un élément de X fixé et µ est définie par µ(A) = 1A (a).
X 1
avec µ(∅) = 0.
2ème cas X = N∗ , T = P(N∗ ) et µ est défnie par: µ(A) =
n
n∈A
Exercice 4
Soit (X, T, µ) un espace mesuré.
1. Soit (En )n∈N une suite de parties mesurables telles que
+∞
X
µ(En ) < +∞.
n=0
Montrer que l’ensemble des points qui appartiennent à une infinité de En est négligeable (Lemme de Borel-Cantelli).
2. Soit (En )n∈N une suite de parties mesurables telles que
µ(∪n∈N En ) < +∞
et
inf µ(En ) = α > 0
n∈N
(où α ∈ R).
Montrer que l’ensemble A des points qui appartiennent à une infinité d’ensembles En est mesurable et que µ(A) ≥ α.
Exercice 5
Dans cet exercice on se propose de démontrer le théorème d’Egoroff:
Théorème 1 Soit (Ω, T , µ) , un espace mesuré de mesure finie (i.e. µ(Ω) est finie). Soit (fn )n∈N∗ une suite de fonctions
mesurables sur (Ω, T ) à valeurs dans R. On suppose que la suite (fn )n∈N∗ admet une limite simple f : Ω → R. On a alors:
Pour tout > 0, il existe un ensemble mesurable A, tel que µ(A) 6 et que la suite (fn )n∈N∗ tende uniformément vers f sur
X\A.
1. On suppose que µ(Ω) est finie. On se donne une suite (fn )n∈N∗ comme dans les hypothèses du théorème.
(a) Pour tout n, k ∈ N∗ , on considère les ensembles
An,k = {x ∈ Ω ; |fn (x) − f (x)| >
Démontrer que, pour tout k ∈ N∗ ,
\
n>1
Bn,k = ∅.
1
} ,
k
Bn,k =
[
i>n
Ai,k .
(b) Déduire qu’il existe un entier n(k) tel que µ(Bn(k),k ) 6 k .
2
[
(c) Poser A =
Bn(k),k et conclure.
k>1
2. En considérant (N, P(N), µ), µ la mesure du cardinal, et fn la fonction caractéristique de l’ensemble des entiers compris
entre 1 et n, montrer que le théorème est faux si l’espace mesuré n’est pas de mesure finie.
Exercice 6
Soit (X, T, µ) un espace mesuré. On dit que N ⊂ X est µ-négligeable s’il existe A ∈ T tel que N ⊂ A et µ(A) = 0.
1. Montrer que la classe T des ensembles du type A ∪ N avec A ∈ T et N un ensemble µ-négligeable est une tribu sur X.
2. Montrer qu’on définit une mesure µ̄ sur (X, T) en posant: µ̄(A ∪ N ) = µ(A).
Exercice 7
Soient (X, X , µ) un espace mesuré, (Y, Y) un espace mesurable et ϕ : X → Y une application (X , Y)− mesurable.
On pose pour tout A ∈ Y, ϕ∗ µ(A) = µ(ϕ−1 (A)).
1. Montrer que ϕ∗ µ est une mesure sur (Y, Y).
Z
Z
2. Montrer que
f d(ϕ∗ µ) =
f ◦ ϕ dµ
Y
X
3. Déterminer ϕ∗ µ dans le cas où µ est la mesure de Dirac sur (X, X ) au point a ∈ X.
Exercice 8
Soit (Ω, T , µ) , un espace mesuré. On suppose que la mesure µ est finie. On dit que l’application f : Ω → Ω préserve la
mesure µ si
1. l’application f est T − T mesurable et
2. la mesure image f∗ µ de µ par f coincide avec la mesure µ (i.e. f∗ µ = µ).
On fixe une application f qui préserve la mesure µ et on fixe une partie mesurable A.
Soit FA = {ω ∈ Ω | ∀n ∈ N∗ , f n (ω) 6∈ A} où f n désigne la composée de f avec elle-même n fois (i.e. f 1 = f puis
∀n > 1, f n+1 = f ◦ f n ).
1. Montrer que ∀n > 1, l’application f n préserve la mesure µ.
2. Montrer que FA ∈ T .
3. ∀p > 1, on pose Fp = (f p )−1 (F ). Montrer que les parties (Fp )p>1 sont des parties mesurables deus à seux disjointes
dans Ω.
4. Déduire de ce qui précède que FA est µ-négligeable.
5. Interpréter ce résultat.
Exercice 9
Soit (X, X , µ) un espace mesuré et fn une suite de fonctions mesurables fn : X → [0, +∞].
Z
Z
1. Montrer que
(lim inf (fn ))dµ ≤ lim inf
fn dµ .
n
n
2. On suppose qu’il
telle que
Z existe une fonction g : XZ→ [0, +∞]
Montrer que
lim sup(fn )dµ ≥ lim sup
fn dµ .
n
R
gdµ et |fn | ≤ g presque partout, pour tout n ∈ N.
n
3. Soient fn = 1[n,+∞] . Montrer que la suite (fn ) est décroissante et converge vers la fonction nulle. Calculer
λ est la mesure de lebesgue sur R. En déduire que l’hypothèse de majoration par g est nécessaire dans b).
R
fn dλ où
Exercice SI
Soient (X, T, µ) un espace mesuré et (Tn )n∈N une suite de parties mesurables de X, . Montrer qu’on a l’inégalité:
µ(lim inf Tn ) ≤ lim inf µ(Tn ).
n∈N
n∈N
(Indication: on remarquera que pour tout entier m ≥ n on a l’inclusion ∩k≥n Tn ⊂ Tm .
Exercice SII
On considère deux espaces mesurables (X, X ) et (Y, Y), une application f de X dans Y et une suite (An )n∈N d’éléments
de X telle que X = ∪n∈N An .
1. Démontrer que f est (X , Y)-mesurable si est seulement si pour tout n ∈ N la restriction f|An de f à An est (XAn , Y)mesurable.
2. Montrer que l’application "partie entière" E définie sur R est borélienne, et déterminer la mesure-image de la mesure
de Lebesgue λ par l’application E.