nombres de Fermat

Notation.
On appelle nombres de Fermat les nombres F n =
2
2
n
+ 1 où n  .
Partie 1 (un peu d’algorithmique)
1. Ecrire un algorithme en langage CASIO qui affiche les 8 premiers nombres de Fermat. (L’écrire sur votre feuille).
2. Conjecturer le chiffre des unités de F n suivant l’entier n.
3. Démontrer que pour tout n de , F n + 1 – 1= (F n – 1) 2.
4. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n  2, 10 divise F n – 7. En déduire le chiffre des unités de F n.
Partie 2 (Etude de la primalité de F 5 )
1. Sachant que 641 = 5 4 + 2 4 = 5 × 2 7 + 1, démontrer que 641 divise 2 32 + 5 4 × 2 28.
2. Démontrer que 5 × 2 7 + 1 divise 5 4 × 2 28 – 1.
3. Vérifier que F 5 = 2 32 + 5 4 × 2 28 – (5 4 × 2 28 – 1). En déduire que 641 divise F 5. Que venez-vous de démontrer ?
Partie 3. (deux nombres de Fermat sont premiers entre eux).
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, F n + p – 1 =
2
( 1)
n
p
F où p est un entier naturel fixé.
2. a. Si q  R – {1}, et N  *, rappeler la valeur de la somme : 1 + q + q 2 + … + q 2 N – 1.
b. Soient a  * et N  *, en remplaçant dans la formule précédente q par 1 – a, démontrer que a divise (a – 1) 2 N – 1.
c. Déduire de la relation précédente que F p divise F p + n – 2 pour p et n entiers naturels quelconques.
d. Soit maintenant d un diviseur commun de F n et F p pour p et n entiers naturels quelconques, montrer que p divise 2.
e. Déduire de tout ce qui précède que deux nombres de Fermat distincts n’ont pas de diviseurs communs (autre que 1).
Remarque : on dit que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.
Partie 4
Justifier les affirmations suivantes :
1. Si p n diviseur premier de F n et p n + 1 un diviseur premier de F n + 1 alors p n ≠ p n + 1.
2. La suite des nombres de Fermat est strictement croissante et tend vers + ∞.
3. Déduire du 1 et 2 qu’il y a une infinité de nombres premiers.
CORRECTION
Partie 1 (un peu d’algorithmique)
1.
Programme
For 0  N to 8
2^(2^N) + 1
Next
L
a
machine affic
h
e
:
2.
n
F
n
0
3
1
5
2
17
3
257
4
65537
5
4294967297
6
18446744073709551617
7
340282366920938463463374607431768211457
8
115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937
9
13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721
764030073546976801874298166903427690
031858186486050853753882811946569946433649006084097
Apparemment si n  2, le chiffre des unités est 7.
3. F n – 1 =
2
2
n
donc (F n – 1) 2 =
1
2
2 2 2 2
2 2 2
n n n 
  = F n + 1 – 1.
4. Initialisation : F 2 = 17 donc le chiffre des unités de F 2 est 7.
Hérédité : Montrons que pour tout n de , n  2, si le chiffre des unités de F n est 7 alors le chiffre des unités de F n + 1 est 7.
10 divise F n – 7 donc il existe un entier naturel k tel que F n = 10 k + 7
F n + 1 – 1 = (F n – 1) 2 = (10 k + 6) 2 = 100 k 2 + 120 k + 36
F n + 1 = 100 k 2 + 120 k + 37 = 100 k 2 + 120 k + 30 + 7
F n + 1 = 10 (10 k 2 + 12 k + 3) + 7 donc F n + 1 – 7 = 10 (10 k 2 + 12 k + 3)
10 k 2 + 12 k + 3 est un entier naturel donc 10 divise F n + 1 – 7 donc le chiffre des unités de F n + 1 est 7.

Partie 2 (Etude de la primalité de F 5 )
1. 5 4 = 641 – 2 4 donc 2 32 + 5 4 × 2 28 = 2 32 + (641 – 2 4) × 2 28.
2 32 + 5 4 × 2 28 = 2 32 + 641 × 2 28 – 2 4 × 2 28 or 2 4 × 2 28 = 2 32 donc 2 32 + 5 4 × 2 28 = 641 × 2 28 donc 641 divise 2 32 + 5 4 × 2 28.
2. 5 4 × 2 28 – 1 = (5 2 × 2 14 ) 2 – 1 = (5 2 × 2 14 – 1 ) (5 2 × 2 14 + 1 ).
5 4 × 2 28 – 1 = [(5 × 2 7 ) – 1 ] (5 2 × 2 14 + 1 ).
5 4 × 2 28 – 1 = (5 × 2 7 – 1) (5 × 2 7 + 1) (5 2 × 2 14 + 1 ).
(5 × 2 7 + 1) (5 2 × 2 14 + 1 ) est un entier donc 5 × 2 7 + 1 divise 5 4 × 2 28 – 1.
3. F 5 =
5
2
2
+ 1 = 2 32 + 1 = 2 32 + 5 4 × 2 28 – (5 4 × 2 28 – 1).
641 divise 2 32 + 5 4 × 2 28.
641 = 5 × 2 7 + 1 et 5 × 2 7 + 1 divise 5 4 × 2 28 – 1 donc 641 divise 4 × 2 28 – 1.
641 divise donc la somme de ces deux nombres donc 641 divise 2 32 + 5 4 × 2 28 – (5 4 × 2 28 – 1).
641 divise F 5.
F 5 ≠ 641 donc F 5 admet un diviseur autre que 1 et lui-même donc F 5 n’est pas premier.
Partie 3. (deux nombres de Fermat sont premiers entre eux).
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, F n + p – 1 =
2
( 1)
n
p
F où p est un entier naturel fixé.
Initialisation : si n = 0,
2
( 1)
n
p
F= 0
20
( 1) 1 1
p p p
F F F  .
La propriété est vérifiée pour n = 0.
Hérédité, montrons que pour tout entier n, si F n + p – 1 =
2
( 1)
n
p
F alors F n + p + 1 – 1 =
1
2
( 1) n
p
F
F p – 1 =
2
2
p
donc
1
2
( 1) n
p
F =
11
2
2 2 2 1
2 2 2
n
p p n n p
  = F n + p + 1 – 1.
La propriété est initialisée et est héréditaire donc pour tout n de , F n + p – 1 =
2
( 1)
n
p
F
2. a. 1 + q + q 2 + … + q 2 N – 1 = 2 N
1
1
qq
2. b. Si q = 1 – a alors 1 + (1 – a) + (1 – a) 2 + … + (1 – a) 2 N – 1 = 2 N
(1 ) 1
1 1
aa
donc (1 – a) 2 N – 1 = – a [1 + (1 – a) + (1 – a) 2 + … + (1 – a) 2 N – 1 ]
(1 – a) 2 = (a – 1) 2 donc (1 – a) 2 N = (a – 1) 2 N donc (a – 1) 2 N = – a [1 + (1 – a) + (1 – a) 2 + … + (1 – a) 2 N – 1 ]
– [1 + (1 – a) + (1 – a) 2 + … + (1 – a) 2 N – 1 ]  Z donc a divise (a – 1) 2 N – 1.
2. c. F p + n – 1 =
2
( 1)
n
p
F donc F p + n – 2 =
2
( 1)
n
p
F – 1
d’après la question précédente, 2 n étant un entier pair alors 2 n est de la forme 2 N donc F p divise
2
( 1)
n
p
F – 1
F p + n – 2 =
2
( 1)
n
p
F – 1 donc F p divise F p + n – 2.
2. d. d est un diviseur commun à F n et à F p donc d divise F p or F p divise F p + n – 2 donc d divise F p + n – 2.
F p + n – 1 =
2
( 1)
p
n
F donc F p + n – 2 =
2
( 1)
p
n
F – 1
D’après la question 2. b., 2 p étant un entier pair alors 2 p est de la forme 2 N donc F n divise
2
( 1)
p
n
F – 1
F p + n – 2 =
2
( 1)
p
n
F – 1 donc F n divise F p + n – 2.
d divise F p or F n divise F p + n – 2 donc d divise F p + n – 2.
d divise F n + p et d divise F p + n – 2 donc d divise F p + n – (F p + n – 2) soit d divise 2.
2. e. Tout diviseur positif commun à F n et à F p est un diviseur de 2 donc est soit égal à 1 ou à 2.
F n est un nombre impair donc d ≠ 2 donc d = 1.
Deux nombres de Fermat distincts n’ont pas de diviseur commun positif autre que 1

PARTIE 4
1. D’après la question 1 de la partie 3, F n + 1 – 1 = (F n – 1) 2
F n + 1 = F n 2 – 2 F n + 2 = F n (F n – 2) + 2
Soit p n un diviseur premier de F n, F n est un nombre impair donc p n ≠ 2 donc p n est un nombre premier et p n  3
p n divise F n (F n – 2), si p n divise F n + 1 alors p n divise F n + 1 – F n (F n – 2) donc p n divise 2
Ce qui est impossible car p n  3 donc tout diviseur premier de F n n’est pas un diviseur de F n + 1 donc p n ≠ p n + 1.
2. F n + 1 – F n = F n (F n – 3) + 2
n  1 donc
2 2
2 2
n
donc F n  2 2 – 1 soit F n  3 donc F n (F n – 3) + 2  2 donc F n + 1 – F n > 0
La suite (F n ) est strictement croissante.
lim 2
n
n   = + ∞ donc
2
lim 2
n
n   = + ∞ donc lim Fn
n  
.
3. Supposons que le nombre de nombres premiers soit fini, Il existerait donc p 1, p 2 … p n nombres premiers distincts.
Soit N = p 1 × p 2 × … × p n + 1
N est un entier naturel supérieur à chacun des nombres premiers donc N n’est pas premier
Il existe donc un nombre premier qui divise N or aucun des nombres p 1, p 2 … p n divise p 1 × p 2 × … × p n + 1 donc il existe un
nombre premier qui ne fait pas partie de la suite donnée donc la suite des nombres premiers n’est pas finie.