2014 Asie Corrige Ex. IVs

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Asie 2014
Exercice 4 Candidats ayant choisi la spécialité mathématique
Partie A
QUESTION 1
Le plus petit nombre premier est 2.
Par conséquent       
On a       
divise E,
De plus, on sait que  divise également le produit    .
Alors divise 1. Absurde (impossible).
divise E.
Donc, E est premier avec chacun des nombres    .
QUESTION 2
Tout nombre supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier, donc E admet un diviseur premier. Ce
diviseur premier ne peut être aucun des nombres      ; donc il existe un autre nombre premier,
 faite au départ. Il existe donc une infinité de nombres premiers.
Partie B
QUESTION 1a
k
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Mk
3
7
15
31
63
127
255
511
1023
QUESTION 1b
Dans le tableau, si k est premier (2, 3, 5 et 7) on constate que   aussi
QUESTION 2a
        est la somme des q premiers termes de la suite géométrique
de premier terme 1 et de raison  ; cette somme est égale à :
QUESTION 2b
question précédente,

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QUESTION 2c
Si k est un entier supérieur ou égal à 2 non premier alors il existe 2 entiers p et q tels que    .
Par conséquent       est divisible par   
QUESTION 3a
QUESTION 3b
La conjecture de la question 1.b. est donc fausse : 11 est premier et  
Partie C
QUESTION 1
-Lehmer,   est premier si et seulement si  
Le test de Lucas-Lehmer fonctionne pour
QUESTION 2
Variables : u, M, n et i sont des entiers naturels
Initialisation : u prend la valeur 4
Traitement : Demander un entier n > 3
M prend la valeur  
Pour i allant de 1 à  faire

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u prend la valeur  
Fin Pour
Si M divise u alors afficher « M est premier »
Sinon afficher « M  »