Ch11 :probabilités

niveau seconde - Chapitre 10: probabilités - échantillonnage
Ch11 :probabilités - échantillonnage
1. Probabilités
(a) probabilité d’un évènement
(b) Réunion et intersection de deux évènements ; formule :p(A∪B)+p(A∩B)=p(A)+p(B)
2. Échantillonnage
(a) notion d’échantillon
(b) Intervalle de fluctuation d’une fréquence au seuil de 95 %
p: proportion du caractère dans une population
f: fréquence observée dans un échantillon de taille n. (n>25 et 0.2 <p<0.8
(c) Réalisation d’une simulation
(d) Concevoir et mettre en œuvre, exploiter des simulations concrètes ( tableur ou calculatrice)
(e) Exploiter et faire une analyse critique d’un résultat d’échantillonnage.
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I Probabilités et fréquences
I-A Modélisation d’une expérience aléatoire
I-A-a) Expérience aléatoire
(i) :::::::: Étude 1 : on lance un dé cubique , et on note le numéro de la face supérieure.Cette expérience est un expérience aléatoire
dont les issues possibles sont : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(ii) ::::::::::: Définition : une expérience est dite aléatoire lorsqu’on ne peut pas prévoir l’issue de l’expérience.
I-A-b) L’Univers Ω
(i) ::::::::::: Définition : L’univers est l’ensemble de tous les résultats possibles . On le note : Ω
(ii) :::::::::::: Étude 1 :suite Ω={..........................................}
(iii) ::::::::::: Définition : chaque résultat possible s’appelle une "issue" ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I-B Choix d’un modèle
I-B-a) Définition :
Définir un modèle de probabilité pour une expérience aléatoire consiste à :
– préciser l’ensemble des n(n∈N) issues possibles : Ω={x1;x2;...;xn}
– attribuer à chacune des issues xi(i∈{1;2;...;n}) un nombre pi, positif ou nul, appelé probabilité de xitelle
que :
p1+p2+... +pn=1
I-B-b) Étude 2 ( 1re méthode) : déterminer un modèle de probabilité par observation statistique de
fréquences
On lance deux dés cubiques en même temps, et on note la somme des nombres de la face supérieure.
(i) Soit : Ω={..................................................................}
(ii) Chaque élève lance les deux dés 50 fois, et remplit ensuite les deux premières lignes du tableau ci-dessous :
Ensuite, il faut récupérer les résultats d’autres élèves pour compléter le reste du tableau.Observez ensuite
l’évolution des fréquences.
Lancers n
issue ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......
50 ni
%
100 ni
%
1000 ni
%
(iii) Lorsqu’on répète l’expérience aléatoire nfois de façon indépendante, la fréquence fd’une issue a ten-
dance à se stabiliser ,lorsque ndevient grand, autour d’une valeur p
pdevient alors la probabilité de l’issue
I-B-c) 2eméthode : calcul grâce à un modèle théorique basé sur l’équiprobabilité
Modèle à choisir quand :
– on tire au hasard
– les dés sont équilibrés
– les boules sont indiscernables au toucher, etc ...
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II Probabilités
II-A Étude 3 : Probabilité d’un évènement
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes, et on note la carte obtenue.
Calculer la probabilité de l’évènement A "la carte est un valet" et B "la carte obtenue est un pique".
Vocabulaire : un évènement est une partie - ou sous-ensemble - de Ω.
Résolution :
•Ω={..................................................................} C ard(Ω)=......
• Modèlechoisi:..........................
Donc : p(A)=nombre d’issues favorables à A
nombre d’issues possibles =C ard(A) C ard(Ω)=...... ......
Donc : p(B)=nombre d’issues favorables à B
nombre d’issues possibles =C ar d(B) C ard(Ω)=...... ......
II-B Évènements particuliers
II-B-a) Évènement contraire
L’évènement contraire de A, noté ......... est réalisé par les évènements élémentaires - évènement à une seule
issue - qui ne réalisent pas A.
Etude 3 (suite) :nommer l’évènement ¯ B, puis calculer p(¯ B).
¯
B:".....................................................";C ard(¯ B)=.......... Donc : p(¯ B)=...............
Remarque : p(B)+p(¯ B)=......... ⇔p(¯ B)=1−p(B)
II-B-b) Évènements incompatibles
Deux évènements incompatibles ne peuvent se réaliser simultanément .
Étude 3 (suite) :Donner deux évènements incompatibles, que vous nommerez Cet D.
Calculer ensuite p(C) et p(D).
II-C Étude 4 :Union et intersection d’évènements
On lance un dé à 20 faces numérotées de 1 à 20.
II-C-a) Union de deux évènements
(i) Déterminer l’univers Ω:Ω={..................................................................} Card(Ω)=......
(ii) citer deux évènements élémentaires et leur probabilité.( le modèle choisi sera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
(iii) Déterminer l’évènement A :"Obtenir un nombre multiple de 5" en citant les évènements élémentaires le
composant : A={................................................} Card(A)=....... Donc :p(A)=.........
(iv) Déterminer l’évènement B :"Obtenir un nombre multiple de 7" en citant les évènements élémentaires le
composant : B={................................................} Card(B)=....... Donc :p(B)=.........
(v) Déterminer l’évènement A∪B:"................................................................................"
en citant les évènements élémentaires le composant : A∪B={...........................} Card(A∪B)=.......
Donc :p(A∪B)=...............
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II-C-b) Intersection de deux évènements
(i) Déterminer l’évènement C :"Obtenir un nombre multiple de 2" en citant les évènements élémentaires le
composant : C={................................................} Card(C)=....... Donc :p(C)=.........
(ii) Déterminer l’évènement A∩C:"................................................................................"
en citant les évènements élémentaires le composant : A∩C={...........................} Card(A∩C)=.......
Donc :p(A∩C)=...............
(iii) Déterminer l’évènement A∪C:"................................................................................"
en citant les évènements élémentaires le composant : A∪C={...........................} Card(A∪C)=.......
Donc :p(A∪C)=...............
(iv) Calculer : p(A∪C)+p(A∩C)=............ et p(A)+p(C)=....... Que remarquez-vous ?
(v) Calculer : p(A∩B)+p(A∪B)=.................. et p(A)+p(B)=....... Que remarquez-vous ?
Conclusion :soit deux évènements Aet B
p(A∩B)+p(A∪B)=p(A)+p(B)
remarque : si Aet Bsont incompatibles, alors :p(A∩B)=0
II-D Représenter une situation
II-D-a) Étude 5 :arbre de probabilité
Dans un sac, on met les lettres L, U, N et E. On tire successive-
ment les 4 lettres du sac ( sans les remettre à chaque fois). On
a ainsi formé un mot de 4 lettres ( qui n’ont pas forcément de
signification).
On note Ωl’ensemble des mots de 4 lettres qu’on peut ainsi
former.
(i) A l’aide de l’arbre ci-contre, déterminer le nombre d’élé-
ments de Ω.
Card(Ω)=......
(ii) Quelle est la probabilité d’obtenir le mot "LUNE" ?
P("LUNE") =............
(iii) Soit A l’évènement "Obtenir un mot commençant par N".
Déterminer p(A).
P(A)=............
(iv) Soit B l’évènement "Obtenir un mot commençant par
EL". Déterminer p(B).
P(B)=............
(v) Exercices : no57 , 60 p 210
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II-D-b) Étude 6 :diagramme de Venn
Dans un lycée, il y a 250 élèves qui font partie de l’asso-
ciation sportive : 120 élèves font partie de la section Bad-
minton.
90 élèves de la section Football et 50 élèves des deux
sections. On désigne au hasard un élève de l’association
sportive, tous les élèves ayant la même chance d’être dé-
signés.
On considère les évènements suivants :
– B :"l’élève fait partie de la section Badminton" – F :"l’élève fait partie de la section Football"
(i) Remplir le diagramme de Venn ci-dessus avec les effectifs correspondants.
(ii) Calculer P(B), P(F) et P(B∩F).
II-D-c) Étude 7 :tableau à double entrées
Cette représentation est indiqué lorsque les éléments sont classés selon deux critères différents.
Dans son mp3, Bryan a 250 chansons dont 50 sont sous forme de clips. La moitié de l’ensemble des chansons
françaises. Les autres sont des chansons internationales. De plus, il y a 40 chansons internationales sous forme de
clips. Bryan utilise le mode aléatoire de son mp3.
On considère l’univers Ωconstitué des 250 chansons.
Soit les évènements :
– C :"obtenir un clip"
– F :"obtenir une chanson française"
– G :"parmi les chansons françaises, obtenir
une chanson sans clip"
C.française C.Intern Total
C. + Clip
C. sans clip
Total
(i) Remplir le tableau ci-contre. (ii) Calculer P(C), P(F), P(G) et P(C∪F).
(iii) Exercice : No54 p 208
III Simulation
III-A But
Méthode statistique - par répétition d’un grand nombre d’expériences à la machine - qui permet de proposer
une réponse au problème posé en terme de probabilité.
III-B Étude 2 :validation du modèle sur machine
III-B-a) Calcul des probabilités avec un tableau à double entrée
Chaqueissueest ........................................,donc:
dé 1
dé 2 123456
1
2
3
4
5
6
p(2) =p(...) =...
... '......%
p(3) =p(...) =...
... '......%
p(4) =p(...) =...
... '......%
p(5) =p(...) =...
... '......%
p(6) =p(...) =...
... '......%
p(7) =...
... '......%
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